2013届学海导航 新课标高中总复习(第1轮)(数学文)江苏专版第2章第9讲 函数的单调性

函数单调性的判断与证明10afxxax讨论函数＝＋的单【例】调性．　12212121122112121221121221(0)(0)00()0(0[)11xxxfxfxaaxxxxxxaxxxxxxaxxafxfxfxaaxxxxafxfxfxa函数的定义域为－，，＋．当时，设，则－＝＋－－＝－．于是【方法：定义法：当时，，则．所以在，]上是单调解析】减函数；当时，，则．所以在，＋上是单调增函数．1221212112211212122112122100.()0[0)(][0)2(0](],[)xxxfxfxaaxxxxxxaxxxxaxxxxafxfxfxaxxaxxafxfxfxafxaaaa当时，设则－＝＋－－＝－．于是当－时，，则．所以在－，上是单调减函数；当－时，，则．所以在－，－上是单调增函数．综上，函数在－，，，上是单调减函数，在－，－，＋上是单(0)x调增函数．由于函数是奇函数，其实只需讨论的情况即可．2201.0.[[)(0](][0)[0)(0](],[)2axfxxfxaxxafxafxaaafxaaaa当时，＝－令，得，则于是在，＋上是单调增函数；同理可得在，上是单调减函数．在－，－上是单调增函数，在－，上是单调减函数．综上，函数在－，，，上方法：导数是单调减函数，在－，－，＋上是单法：调增函数．研究函数的单调性一般有两种方法，即定义法和导数法．定义法是基础，掌握定义法的关键是作差(f(x2)－f(x1))，运算的结果可以判断正、负．本题判断正、负的依据是代数式“x1x2－a”，处理这个代数式的符号是一个难点，要有一定的数学功底作基础．把x1、x2看成自变量，则转化为判断“x2－a”的符号，“”000xaxa转为断－号过＝数单调区间点导数导数数图点线变当点导数为时为，导数为数单调区间点导数运难点导数数单调运于是化判的符，自然渡到是函的分界．第二种方法是法．是研究函象上某的切斜率的化大小的，某的，斜率所以是函的分界，用法可以克服推理算中的．掌握法在函性研究中的用，能收到事半功倍的效果．【变式练习1】求证：函数f(x)＝x3＋x在R上是增函数．121233121122332212121212122212122221212212123()()(1)13()[()1]24130()10,240xxxxfxfxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxfxfxfxfxfxxxR任取实数，，且，则－＝＋－＋＝－＋－＝－＋＋＋＝－＋＋＋因为－，＋＋＋所以－，即，所以函数＝＋在上是【证明】增函数．求函数的单调区间212log(432)fxxx【例求函数＝＋－的单】调区间．2221243014.32543()24log.3(1]23[4)2xxxuxxxxyuxuxxux由＋－，得－令＝＋－＝－－＋，则原函数化为＝易知，当－，时，是单调增函数；当，时，是单调【解析】减函数．12121212121221231203420.log(43)3(1]23[4)2xxuxuxuxyyxxuxuxuxyyfxxx故当－时，因为是单调增函数，所以，所以；当时，因为是单调减函数，所以，所以故函数＝＋－在－，上是单调减函数，在，上是单调增函数．212143log233[4)(1]22log(0)uxxxyuuxyu复合函数的单调区间的求解可分为四步：①求函数的定义域；②把复合函数分解成两个常见函数．本题中，＝＋－是二次函数，＝是对数函数；③分别求各函数的单调区间．本题中，的单调减区间为，，单调增区间为－，，＝是，＋上的单调减函数；④根据复合函数单调性的判断法则写出单调区间．【变式练习2】求函数f(x)＝loga(3－2x－x2)(0a1)的单调区间．【解析】设u＝3－2x－x20，则x∈(－3,1)．由于函数u的图象的对称轴为直线x＝－1，所以函数u在[－1,1)上是单调减函数，在(－3，－1]上是单调增函数．又因为函数y＝logau(0a1)是单调减函数，所以函数f(x)＝loga(3－2x－x2)(0a1)的单调减区间为(－3，－1]，单调增区间是[－1,1)．函数单调性的应用【例3】若函数y＝log2(x2－ax＋3a)在[2，＋∞)上是单调增函数，求实数a的取值范围．2222230[)2loglog(3)[2)[2)[)230([2))4244.2423020(4,uxaxaauyuyxaxaauxaxaxaaaaaua设＝－＋，则函数在，＋上是单调增函数．又＝是单调增函数，根据复合函数的单调性，要使函数＝－＋在，＋上是单调增函数，，＋，＋只需＝－＋，＋即，即，解得－所以实数的取值范【围是】－解析4]．利用函数单调性讨论参数的取值范围是高考试题考查能力的知识结合点，一般要弄清三个环节：(1)考虑函数的定义域，保证研究过程有意义．本题中，不能忽视u＝x2－ax＋3a0(2)保证常见函数的单调区间与题目给出的单调区间的同一性．本题中，[a/2，＋∞)是单调增区间，与[2，＋∞)一致；(3)注意防止扩大参数的取值范围，本题中，u(2)0.【变式练习3】是否存在实数a，使函数f(x)＝loga(ax2－x)在区间[2,4]上是单调增函数？证明你的结论．220.12,41222420112uaxxaauaxxxaauaaa设＝－假设符合条件的存在．当时，由复合函数的单调性，知只需＝－在上是单调增函数，所以满足，解得，【于是解析】；22012,414.241640(1)log()2,4aauaxxxaaauaafxaxx当时，由复合函数的单调性，只需＝－在上是单调减函数，所以满足，得综上，当，＋时，函数＝－在区间上是单调增函数．抽象函数的单调性(0)101112()1()2243fxxfxxyfxyfxfyfxffxfxx已知函数的定义域为，＋，当时，，且对于任意的正数，都有＝＋．证明：函数在定义域上是单调增函数；如果＝－且－，求的【例】取值范围．122211112211112211210.(?)()()1(1)00.xxxfxfxfxfxxxxffxfxfxxxxfxxfxfxfx证明：设则－＝－＝＋－＝【解析．因为，所以，所以－故在定义域上是单】调增函数．221110.111()()1())131.31()(2)(2)222339290110.20[2110)xyfyxffxfffxxxfffxffxfxfxxxfffxxxxxxx当＝＝时，＝令＝，得＝＋，所以＝－．故由＝－，得＝于是－＝＋－＝－，而＝＋＝，－所以满足，解得＋故实数的取值范围是＋，＋．抽象函数单调性问题的特点是：(1)给出定义域；(2)给出满足函数意义的表达式(本题是f(xy)＝f(x)＋f(y))；(3)讨论函数的单调性和不等式求解等问题．处理方法：(1)在定义域内任意取值，找出某些具体的函数值，如f(1)等；(2)抓住关系式，如f(xy)＝f(x)＋f(y)，进行适当的赋值和配凑，如本题中找出f(x)＝－f(1/x)；(3)从函数值的大小关系中，根据单调性，脱掉函数符号，转化为自变量间的大小关系，但要注意自变量的取值必须在定义域内，最后通过解不等式(组)来完成．【变式练习4】定义在R上的函数y＝f(x)，f(0)≠0.当x0时，f(x)1，且对任意的x，y∈R都有f(x＋y)＝f(x)·f(y)．(1)证明：对任意的x∈R，f(x)0；(2)证明：f(x)是R上的单调增函数；(3)若f(x)·f(x2＋x)1，求x的取值范围．000001.1·()1.001()10.1xyffffyxfxfxfxfxxxfxfxfx证明：令＝＝，得＝，所以＝令＝－，得－＝，所以＝设，则－，所以由－，得＝【解析】(2)证明：设x1x2，则f(x2)－f(x1)＝f(x2－x1＋x1)－f(x1)＝f(x2－x1)f(x1)－f(x1)＝[f(x2－x1)－1]f(x1)．因为x2－x10，所以f(x2－x1)1，且f(x1)0，所以f(x2)－f(x1)0，故函数f(x)在R上是单调增函数．(3)由f(x)·f(x2＋x)＝f(x2＋2x)1＝f(0)，得x2＋2x0，解得－2x0.所以x的取值范围是(－2,0)．1.若函数f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2在(－∞，4]上是单调减函数，则实数a的取值范围是________________【解析】依题意得对称轴方程为x＝1－a，则1－a≥4，得a≤－3.(－∞，－3]2.y＝(log12a)x在R上为减函数，则a的取值范围是(12，1).【解析】因为y＝(log12a)x在R上为减函数，所以0log12a1，所以12a1.3.若函数f(x)＝x2－(2a－1)x＋a＋1是区间[32，72]上的单调函数，则实数a的取值范围是a≤2或a≥4.【解析】对称轴x＝2a－12，2a－12≤32或2a－12≥72，解得a≤2或a≥4.4.函数f(x)＝lg(2x－x2)的单调递减区间是[1,2).【解析】由2x－x20得，函数定义域为{x|0x2}．令t＝2x－x2，则它的单调递减区间为[1,2)，而y＝lgt为增函数，所以所求单调递减区间是[1,2)．5.0xafxabfxxbfx设函数＝，求的单调区间，并证明在其单调区间上的单调性．121212121212121212121212121212.000.0(xxxaxafxfxxbxbxaxbxbxabaxxxbxbxbxbabbaxxxxbbxxfxxxbbxxfxfxfx在定义域内任取所以－＝－＝＝因为，所以－，－所以只有当－或－时，函数才单调．而当－或－时，－，所【以析】在解)()bb－，＋和－，－上都是单调减函数．1212212112212121211()()0([]()10)DfxxxDxxfxfxfxfxfxDxxDfxfxfxfxxxxxfxD．判断函数的单调性给定区间上的函数，若对，且，都有或，则函数在上是单调增函数或单调减函数．与定义等价的判断，如对，定义，若或－－，则函数在上是单调法：增函数；(2)导数法：设f(x)定义在区间D上，求f′(x)，对x∈D，若f′(x)0(0)，则函数f(x)在D上是单调增函数(单调减函数)．2．求函数的单调区间的方法：(1)定义法；(2)图象法；(3)导数法；步骤：先求定义域，再选择合适的方法求单调区间；注意点：结论只能写成区间的形式；多个单调区间中间用“，”隔开，不能“并”；3．复合函数的单调性函数y＝f[u(x)]称为复合函数，其中u(x)称为“内层函数”，y＝f(u)称为“外层函数”．“内、外层函数”的单调性相同时，函数y＝f[u(x)]是单调增函数，相反时，函数y＝f[u(x)]是单调减函数．简称为“同增异减”．在讨论复合函数的单调性时，定义域是不能忽视的，要注意内层函数的值域是外层函数的定义域．在复合函数单调性问题中，对参数的讨论是一个难点，因为参数所具有的性质与单调区间有