直线与圆锥曲线专题复习设计

第1页共11页Page1of11直线与圆锥曲线专题复习设计一、2010年考纲要求（一）掌握过两点的直线的斜率公式，掌握直线方程的点斜式，两点式，一般式，能熟练求出直线方程。掌握两条直线平等与垂直的条件，两条直线所成的角和点到直线的距离公式，能够判断两条直线的位置关系。理解直线的倾斜角和斜率的概念，了解二元一次不等式表示平面区域，了解线性规划的意义，并会简单的应用，了解解析几何的基本思想，了解坐标法。（二）掌握圆的标准方程和一般方程，了解参数方程的概念，理解圆的参数方程。掌握椭圆，双曲线，抛物线的定义，标准方程，及其简单几何性质，了解椭圆的参数方程,了解圆锥曲线的简单应用。二、考题特征剖析直线与圆锥曲线是高考解析几何的重要内容，是用坐标方法研究曲线特征的重要体现，因此这一部分内容成为历年考试的热点。解析法与向量知识的结合常常作为高考的压轴题出现，是考查能力的重要题型。纵观近三年的高考题，试题的数目在逐渐增加，虽然题型在不断变化，但直线与圆锥曲线这一部分一直都在发挥着其主角作用，演义着高考的神话。通过认真分析可以发现，本专题在高考中占25分左右，涉及的题目有选择题，填空题及简答题。因此，能否顺利解答这一部分题目对考试成绩有着很大的影响。选择题一般有两种不同的解题思路：一是直接计算，二是采用数形结合。尤其是直线与圆的考查，灵活利用圆的性质通常可以化解难度。一般属于中档题，成为高考的焦点问题。对圆锥曲线定义的考查通常会把两个定义联系在以起，以准线方程，离心率等为载体考查对性质的灵活应用。体现了数形结合，等价转换等基本思想的应用。直线与圆锥曲线的位置关系一般以简答题的形式出现，有一定的难度，除了考查基本概念，圆锥曲线的性质外，还考查实际问题中的计算技巧，渗透的数学思想有：分类讨论，数形结合，等价转换，函数与方程等。第2页共11页Page2of11对本专题的复习要重视知识之间的联系，熟练掌握教材重视知识外，还加强对综合能力的训练，重视交汇知识的把握，做到通法与技巧相结合，合理运算，提高准确率。三、专题讲解【一】定义与性质例1.（1）若抛物线22yx上的两点A,B到焦点的距离和是5，则线段AB的中点到y轴的距离是（2）设12,FF是椭圆22221(0)xyabab的两个焦点，若椭圆上存在点P，使12120FPF，则椭圆离心率的取值范围是【解析】：（1）设A，B，P在抛物线的准线l上的射影分别是111,,ABP，则由抛物线的定义知115AABBAFBF，11115()22PPAABB,P到y轴的距离51222d。（2）（法一）设12,,PFmPFn，由余弦定理得222(2)2cos120cmnmn2222()()()32mnmnmnmna，即233(),1.42cea（法二）设椭圆的长半轴，短半轴，半焦距分别为：a,b,c.如图，在1RtBFO中，160,FBO即130BFO，这时1113cos,2FOcBFOFBa又椭圆离心率小于1，故所求离心率的范围是3,12，【答案】（1）2（2）3,12第3页共11页Page3of11【点评】：（1）说明在处理抛物线中有关“焦半径”长的问题时，借助抛物线的定义及平面几何的有关知识可简化问题的求解。（2）求椭圆离心率的取值范围时，可利用122PFPFa这个定植，挖掘题目中隐含的不等关系，如2()2mnmn；也可利用数形结合判定P点位于短轴顶点B时12FPF最大，于是12120FBF。例2.(2009全国)已知椭圆C:2212xy的右焦点F，右准线为l，点Al，线段AF交C于点B，若3,FAFB，则AF（）Ａ．2Ｂ．2Ｃ．3Ｄ．3解析：设准线l与x轴交于点C，由B点向准线l引垂线，垂足为D，依据椭圆的第二定义有：1222BFcBDa，又//BDABBDFCFCAF，223BDAFBFaAFcc,22222;3323bBDBFBDc32AFBF.故选A，点评：本题考查了椭圆的定义，数形结合思想的具体应用。有效地考查了考生对圆锥曲线的相关知识的掌握程度以及如何恰当地应用相关方法解决问题。【二】轨迹与方程例3（2009江西）已知点100(,)Pxy为双曲线222218xybb（b为正常数）上任一点，2F为双曲线的右焦点，过1P作右准线的垂线，垂足为A，连接2FA并延长交y轴于2P.(1)求线段12PP的中点P的轨迹E的方程(2)设轨迹E与x轴交于B,D两点，在E上任取一点11(,)Qxy1(0)y，直线QB,QD分别交y轴于M,N两点，求证：以MN为直径的圆过两定点。第4页共11页Page4of11解析：（1）由已知得28(3,0),(,0)3FbAb，则直线2FA的方程为：03(3)yyxbb，令x=0得09yy，即20(0,9)Py。设P（x,y），则00002952xxyyyy，即002.5xxyy代入22002218xybb，得222241825xybb即P的轨迹E的方程为22221225xybb。（2）在22221225xybb中，令y=0，得222,xb，则不妨设(2,0),(2,0)BbDb，于是直线QB的方程为：11(2)2yyxbxb，直线QD的方程为:11(2)2yyxbxb，可得111122(0,),(0,)22bybyMNxbxb，则以MN为直径的圆的方程为：2111122()()022bybyxyyxbxb。令y=0得22212212,2byxxb而11(,)Qxy在22221225xybb上，则2221122,25xby于是5xb，即以MN为直径的圆过两定点(5,0),(5,0)bb。【点评】轨迹方程是反映曲线特征的重要标志，也是高考的重点。在高考题型中常与圆锥曲线向量的运算结合在一起进行考查。常见的方法：定义法，相关点法，点差法，交轨法与待定系数法，灵活利用常见曲线的性质求解轨迹方程。【三】定值与范围例4（2009辽宁）已知，椭圆C经过点3(1,)2A，两个焦点为(1,0),(1,0).（1）求椭圆C的方程。（2）E,F是椭圆C上的两个动点，如果直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数，证明直线EF的斜率为定值，并求出这个定值。第5页共11页Page5of11解：(1)由题意，c=1，可设椭圆方程为222211xybb，因为A在椭圆上，所以2219114bb，解得2233,4bb（舍去）。所以椭圆方程为22143xy。设直线AE方程为：3(1)2ykx，代入22143xy，得2223(34)4(32)4()1202kxkkxk，设(,),(,)EEFFExyFxy。因为点3(1,)2A在椭圆上，所以2234()1232,342EEEkxykxkk，又直线AF的斜率与AF的斜率互为相反数，在上式中以-k代k，可得2234()1232,342FFFkxykxkk，所以直线EF的斜率FEEFFEyykxx()212EFFEkxxkxx，即直线EF的斜率为定值，其值为12。【点评】求解圆锥曲线方程的关键是能够通过题中的已知条件确定构成方程的各个元素。直线与圆锥曲线问题一般要注重三个要点：一是要善于应用直线方程与圆锥曲线方程的联立；二是要注意注意直线与曲线的关系对相关参数的限制；三是要能够根据题意依据顺势思维进行求解。在具体的问题中要注意有关方程思想和函数思想的应用。例5（2009陕西）已知双曲线C的方程为22221(0,0)yxabab，离心率52e，顶点到渐近线的距离为255。（1）求双曲线C的方程；（2）如图，P是双曲线C上一点，A，B两点在双曲线C的两条渐近线上，且分别位于第一，二象限，若1,,23APPB，求AOB面积的取值范围。【解析】：（法一）（1）由题意知，双曲线C的顶点（0，a）到渐近线0axby第6页共11页Page6of11的距离为255。即255abc，由2222555,2abccacab得215abc，所以双曲线C的方程为2214yx。（2）由（1）知双曲线C的两条渐近线方程为2yx。设(,2),(,2),0,0.AmmBnnmn由,APPB得P点的坐标为2()(,),11mnmn将P点坐标代入2214yx，化简得2(1)4mn设2,AOB14tan()2,tan,sin2225，又1115,5,sin22()22AOBOAmOBnSOAOBmn记111()()1,,2,23s则211()(1),2s由()0s得1。又189(1)2,(),(2)334sss，所以当1时，AOB的面积取得最小值2，当13时AOB的面积取得最大值，所以AOB面积的取值范围是82,3。（法二）（1）同一（2）设直线AB的方程为ykxm，由题意知2,0km，由2ykxmyx，得A点的坐标为2(,)22mmkk，由2ykxmyx，得B点的坐标为2(,)22mmkk，第7页共11页Page7of11由,APPB得P点的坐标为121[(),()]122122mmkkkk，将P点坐标代入2214yx，得2224(1)4mk，设Q为直线AB与y轴的交点，则Q点的坐标为（0，m），AOBAOQBOQSSS1122ABOQxOQx11()()2222ABmmmxxmkk221411()1242mk以下同一【点评】本小题主要考查双曲线的定义、标准方程、直线和双曲线位置关系等平面解析几何的基础知识，考查待定系数法、不等式的解法以及综合运用数学知识进行推理运算的能力.涉及到三角形的面积问题。在直线与圆锥曲线的位置关系处命题一直是个热点，基本方法是联立方程，利用判别式、韦达定理求解，运算量一般较大。这类综合题中常涉及的问题有弦长问题，面积问题，对称问题，轨迹问题，定点、定值问题，是历年来高考中的热点问题，复习时要注重通性通法的训练【四】直线与二次曲线例6(2009天津)已知椭圆22221(0)xyabab的两个焦点分别为1(,0)Fc和2(,0)(0)Fcc，过点2(,0)aEc的直线与椭圆相交于A,B两点，且1212//,2,FAFBFAFB（1）求椭圆的离心率；（2）求直线AB的斜率（3）设点C与点A关于坐标原点对称，直线2FB上有一点(,)(0)Hmnm在1AFC的外接圆上，求nm的值。【解析】（1）由12//,FAFB且122,FAFB，得221112EFFBEFFA第8页共11页Page8of11从而2212accacc，整理，得223ac。故离心率33cea（2）由（1），得22222bacc，所以椭圆的方程可写为222236xyc。设直线AB的方程为2(),aykxc即(3)ykxc，由已知设1122(,),(,)AxyBxy，联立方程222236(3)xycykxc，消去y并整理，得222222(23)182760kxkcxkcc依题意，2248(13)0ck，得3333k。而212218,23kcxxk①22212227623kccxxk②由题设知，点B为线段AE的中点，所以1232xcx③联立①③，解得2212229292,,2323kcckccxxkk将12,xx代入②中，解得2.3k