7.弧微分与平面曲线的曲率

1§7弧微分与平面曲线的曲率二、平面曲线的曲率三、曲率圆与曲率半径一、弧微分2一、弧微分..),()(.],[)(.],[)(00有向曲线正方向的曲线称为这样规定了正方向增大的方向作为曲线的并规定依作为度量弧长的基点，上取固定点在曲线称为光滑曲线）转动，这样的曲线点连续移动时切线连续都有切线，且当切曲线（曲线上每一点处上的图形是一条光滑在这时函数内具有连续导数在区间设函数xyxAxfybaxfybaxfy3NRTA0xMxxxxyo单调增函数).(xss.)(,.0,0,),(00的单调增加函数是弧于是时当时当等于这段弧的长度；）如下：（称为弧的值规定有向弧段一点为曲线上的任意xsssxxsxxsssAMyxM︵4),,(yyxxN设如图，,0时当x22)()(yxMNxxy2)(1,12dxysMN,ds,)(为单调增函数因为xss.12dxyds故弧微分公式MNs1lim1,0MNMNMNx，即长度之比的极限等于这时弧的长度与弦的NRTA0xMxxxxyo.12dxyds故︵︵︵5).()()(ttytx设曲线弧为22)d()d(dyxs,d)()(22ttt2.参数方程情形.],[)(),(上具有连续导数在其中tt6),()(rr曲线弧为),(sin)(cos)(ryrx因为22)d()d(dyxs所以,d)()(22rr3.极坐标方程情形.],[)(上具有连续导数在其中rd]cos)(sin)([dd]sin)(cos)([drryrrx7.d1d0(dcossindπ)20(sincos.d91d2222243krkkrttbtasttbytaxxxsxy为常数）的弧微分为曲线的弧微分为曲线的弧微分为曲线例18问题:曲线的弯曲程度如何描述?-2-112-2-112直线:不弯曲圆:半径越小,弯曲得越厉害一般的曲线:在不同的点处,弯曲程度不同二、平面曲线的曲率概念9研究典型曲线的弯曲程度转角相同弧段越短弯曲程度越大1M2M3M切线转角越大弧段弯曲程度越大.1M2M1N2N曲线的弯曲程度取决于两个量切线的转角、弧长是等长的，与弧3221MMMM︵︵10设曲线C是光滑的..0是基点MsMM0ssMM'0xyo0MM'MC曲线sssMM'.切线转角为MM︵11xyo0MM'MC曲线sssKKMMsMMs，即记为的为弧段称比值的平均弯曲程度弧段来表示转角的大小我们用单位弧段上切线.,平均曲率︵︵12ssKMMs'0limlim，即点的在为曲线，则称的极限存在且极限值为率时，如果弧段的平均曲即当曲率MCKKKMMs)(0sKsssddddlim0存在，则如果13对曲率定义的解释直线不弯曲M'M00limlim''ssKMMMM圆的弯曲程度处处相同rsrs1rK1M'Msr圆的半径越小,K越大,圆弯曲得越厉害.14,)(二阶可导设xfy'tany，由导数的几何意义可知'arctany所以由于,d1dd1d)(arctand22xysxyyxy下面推导曲率的计算公式.xyo0MM'MC曲线ss1523222)1(d1d1ddyyxyxyysKxyo0MM'MC曲线ss232)'1(''yyK16,),(),(二阶可导设tytx,)()(ddttxy.)()()()()(dd322tttttxy2322)]()([)()()()(ttttttK17.1,2πsin处的曲率上点求曲线xy例112π12π12π,02π,sin,cos232yyKyyxyxy所以解18.3π)cos1()sin(处的曲率在求摆线ttayttax例2.)cos1(221]sin)cos1([sinsincos)cos1(.cos)(,sin)(,sin)(),cos1()(232222tatatatatatataKtatytatytatxtatx由公式得解19.216πsin413π,2sin41aaKtta时，有当20..3131.31.某一点的弯曲程度圆来进一步刻画曲线在的因此要用具有相同曲率地想象出他的弯曲形象而直观径，就可以由这个圆的半一个圆的曲率为但是，如果告诉我们某的形象地想象到曲线弯曲，我们还是不能很直观曲率，比如说当给定曲线在某一点的个数字特征附近的弯曲程度的一曲率是表示曲线在一点KRKK三、曲率圆与曲率半径21.),(,.1,,).0(),()(曲率圆处的称此圆为曲线在点如图为半径作圆为圆心以使点在凹的一侧取一法线上处的曲线的在点处的曲率为在点设曲线MDKDMDMKKyxMxfy曲率中心D曲率半径xyo)(xfyMDK122注意2.曲线上一点处的曲率半径越大,曲线在该点处的曲率越小(曲线越平坦);曲率半径越小,曲率越大(曲线越弯曲).1.曲线上一点处的曲率半径与曲线在该点处的曲率互为倒数..1,1kk即23.)1,1(5333处的曲率半径上点求曲线yxyx1)1(1,1,10)2(3)(36.1)1(1,103)(3353222233yyyxyyyyyxyyxxyyxyyyxyxxyxyx代入，解得将求导，得上式两端同时对代入，解得将求导，得的两端同时对在例3解24.221,221)]1(1[)1(11232KRyyK因此，所求曲率半径为）处的曲率为，由公式得曲线在点（