旋转体的体积

旋转体就是由一个平面图形饶这平面内一条直线旋转一周而成的立体．这直线叫做旋转轴．圆柱圆锥圆台一、旋转体的体积一般地，如果旋转体是由连续曲线)(xfy、直线ax、bx及x轴所围成的曲边梯形绕x轴旋转一周而成的立体，体积为多少？取积分变量为x，],[bax在],[ba上任取小区间],[dxxx，取以dx为底的窄边梯形绕x轴旋转而成的薄片的体积为体积元素，dxxfdV2)]([xdxxxyo旋转体的体积为dxxfVba2)]([)(xfyy例1连接坐标原点O及点),(rhP的直线、直线hx及x轴围成一个直角三角形．将它绕x轴旋转构成一个底半径为r、高为h的圆锥体，计算圆锥体的体积．r解hPxhry取积分变量为x，],0[hx在],0[h上任取小区间],[dxxx，xo直线方程为OP以dx为底的窄边梯形绕x轴旋转而成的薄片的体积为dxxhrdV2圆锥体的体积dxxhrVh20hxhr03223.32hryrhPxoaaoyx例2求星形线323232ayx)0(a绕x轴旋转构成旋转体的体积.解,323232xay332322xay],[aax旋转体的体积dxxaVaa33232.105323a及x轴围成的图形绕x轴旋转而成的立体．旋转体(旋转椭球体)的体积．体积元素为于是所求旋转椭球体的体积为abxyOdVy2dx，例3计算由椭圆所成的图形绕x轴旋转而成的12222byax解这个旋转椭球体也可以看作是由半个椭圆22xaabyVy2dxaa(a2x2)dxaa22ab[a2xx322ab31aa]ab2．34ab22xaaby类似地，如果旋转体是由连续曲线)(yx、直线cy、dy及y轴所围成的曲边梯形绕y轴旋转一周而成的立体，体积为xyo)(yxcddyy2)]([dcV例4求摆线)sin(ttax，)cos1(tay的一拱与0y所围成的图形分别绕x轴、y轴旋转构成旋转体的体积.解绕x轴旋转的旋转体体积dxxyVax)(2202022)cos1()cos1(dttata20323)coscos3cos31(dtttta.532aa2a)(xy绕y轴旋转的旋转体体积可看作平面图OABC与OBC分别绕y轴旋转构成旋转体的体积之差.dtyxVay)(2202dtyxa)(2201oyxa2ABCa2)(2yxx)(1yxx222sin)sin(tdtatta022sin)sin(tdtatta2023sin)sin(tdttta.633a补充如果旋转体是由连续曲线)(xfy、直线ax、bx及x轴所围成的曲边梯形绕y轴旋转一周而成的立体，体积为dxxfxVbay|)(|2利用这个公式，可知上例中dxxfxVay|)(|22020)]sin([)cos1()sin(2ttadtatta2023)cos1)(sin(2dtttta.633a例4求由曲线24xy及0y所围成的图形绕直线3x旋转构成旋转体的体积.解取积分变量为y,]4,0[y体积元素为dyQMPMdV][22dyyy])43()43([22,412dyydyyV40412.643dyPQMxoab二、平行截面面积为已知的立体的体积xdxx如果一个立体不是旋转体，但却知道该立体上垂直于一定轴的各个截面面积，那么，这个立体的体积也可用定积分来计算.)(xA表示过点x且垂直于x轴的截面面积，)(xA为x的已知连续函数,)(dxxAdV.)(badxxAV立体体积例5一平面经过半径为R的圆柱体的底圆中心，并与底面交成角，计算这平面截圆柱体所得立体的体积.RRxyo解取坐标系如图底圆方程为222Ryx垂直于x轴的截面为直角三角形x截面面积,tan)(21)(22xRxA立体体积dxxRVRRtan)(2122.tan323R例6求以半径为R的圆为底、平行且等于底圆半径的线段为顶、高为h的正劈锥体的体积.解取坐标系如图底圆方程为,222RyxxyoRx垂直于x轴的截面为等腰三角形截面面积22)(xRhyhxA立体体积dxxRhVRR22.212hR旋转体的体积平行截面面积为已知的立体的体积绕轴旋转一周x绕轴旋转一周y绕非轴直线旋转一周三、小结思考题求曲线4xy，1y，0x所围成的图形绕y轴旋转构成旋转体的体积.思考题解答xyo14yxy交点),1,4(立体体积dyxVy12dyy1216116y.161y一、填空题：1、连续曲线,)(xfy直线ax，bx轴及x所围图形轴绕x旋转一周而成的立体的体积v__________，轴绕y旋转一周而成的立体的体v积____________；2、badxxfv)(常用来表示__________________立体的体积；3、抛物线axy42及直线)0(00xxx所围成的图形轴绕x旋转而成的立体的体积______；4、0,,0,coshyaxxaxay所围成的图x形绕轴旋转而成的立体的v体积_________；练习题二、有一铁铸件，它是由抛物线、2101xy11012xy与直线10y围成的图形，轴绕y旋转而成的旋转体，算出它的质量（长度单位是厘米，铁的密度是38.7厘米克）.三、把星形线323232ayx轴绕x旋转，计算所得旋转体的体积.四、求摆线)sin(ttax，)cos1(tay的一拱，0y，绕直线ay2旋转所成旋转体的体积.五、求222ayx绕)0(abbx旋转所成旋转体的体积.六、设有一截锥体，其上，下底均为椭圆，椭圆的轴长分别为和BA2,2ba2,2,h高为，求这截锥体的体积.七、设直线baxy与直线0x，1x及0y所围成梯形面积等于A，试求ba,使这个梯形轴绕y旋转所得体积最小.一、1、badxxf)(2,badxxxf)(2；2、已知平行截面面积的；3、202ax；4、]22[43sha.二、(克).三、310532a.四、327a.五、ba222.六、])(2[61bAaBABabh.七、Aba,0.练习题答案