估计量的评选标准

§3估计量的评选标准返回目录1*无偏性)ˆ(E(1)不是无偏的估计量称有偏的,称为的偏，也称为的系统误差；ˆˆ(2)无偏估计实际意义就是无系统误差.若的期望存在，),,,(ˆˆ21nXXX)ˆ(E有，ˆ称是θ无偏估计量.,Θ22)(SE,)(XE22S样本方差是总体方差的无偏估计.样本平均值是总体期望μ无偏估计,X,)(1122niiXXnB22211)(nnSnnEBE样本的2阶中心矩是的有偏估计.2B2样本的2阶中心矩例如:只要总体X的期望μ与方差存在,无论总体的分布如何,2例1设总体X的k阶矩存在,证无论总体的分布如何,样本的k阶原点矩是总体X的k阶原点矩的无偏估计.证：总体X的k阶原点矩1),(kXEkk样本的k阶原点矩nikikXnA11niXEXEkkki,,2,1,)()(nikikXnEAE11)(.的无偏估计是kkAknikiXn)(110,0001)(xxexfx)()(XEXE例2总体X服从指数分布,概率密度为),,,min(21nXXXnnZ试证和都是θ的无偏估计.X证明:,X∴是θ的无偏估计.),,,min(21nXXXZ的概率密度000);(minxxenxfnx,)(nZE,)(nZE是θ的无偏估计.),,,min(21nXXXZ2*有效性（effectiveness）例3是来自总体X的样本123,,XXX3123111ˆ333XXX1123211ˆ5102XXX2123131ˆ3412XXX都是E(X)的无偏估计.123ˆˆˆ,,)ˆ()ˆ()ˆ(213DDD)()ˆ()ˆ()ˆ(321XEEEE),(5021)ˆ(1XDD),(7249)ˆ(2XDD).(31)ˆ(3XDD)ˆ()ˆ(21DD1ˆ2ˆ则称较有效.,Θ若与都是θ的无偏估计，),,,(ˆˆ2111nXXX),,,(ˆˆ2122nXXX有且至少存在某一个有,Θ),ˆ()ˆ(21DDnZ例4试证例2中θ的无偏估计较θ的无偏估计有效.XnXDXD)()(证明:,2n)()(2ZDnnZD222nn2,1n)()(nZDXDnZ∴较有效.X依赖于总体X的概率分布，依赖于n.Rao-Cramer不等式2);(ln1)ˆ(xfnEDˆ注：1.可以证明，在一定的条件下，估计量的方差永远不会小于一个正数，它是的一个下界，)ˆ(D)ˆ(D当等于方差下界时,称它是达到方差界的无偏的有效估计.)ˆ(D有效估计发现的很少,时常遇见的是渐近有效估计.更一般的，若是θ的两个估计量,如果21ˆ,ˆ2221)ˆ()ˆ(EE则称是比有效.1ˆ2ˆX2.是总体期望值的有效估计量.ˆ3.无偏有效估计量以最大概率保证,这估计的观察值在未知参数的真值θ附近摆动.1}ˆ{lim,0Pn3*相合性（一致性）pnXXXn),,,(ˆ21时，当),,,(ˆ21nXXX设是参数θ的估计量,,Θˆ称是θ的相合估计量(一致估计量).ˆ当n较大,充分接近θ.只有当样本容量较大时才起作用.通常我们得到的估计量一般都满足相合性的要求.,)(,)(2XDXE,1ˆ11niiXnnkXkkii,1ˆ12.ˆˆˆˆ2121更有效比都为无偏估计，，证：)1()ˆ(11niiXnEE)(11niiXEn:证明)1()ˆ(12kiiXkEE)(11kiiXEk无偏估计都为，21ˆˆnD21)ˆ(kD22)ˆ(.ˆˆ21更有效比nXXX,,,21例4为来自总体X的样本,)()(:2XDSE证))1((2SXE)()1()(2SEXE)1(，，10nXXX,,,21例5为来自泊松分布的一个样本,试证明样本方差是λ的无偏估计,且对2S2)1(SX也是λ的无偏估计.2S∴样本方差是λ的无偏估计.2)1(SX也是λ的无偏估计.)()(21XbXaEYE)()(21XbEXaE)()(21XbXaDYD)()(2212XDbXDa222212nbna2212)(:nbnaaF令2212)1(nana解：)(ba例6在总体中,分别抽取容量为的两个独立的样本,分别表示两个样本的平均值,21nn和),(~2NX21XX，21),1(,XbXaYbaba试证:是μ的无偏估计,并确定a,b的值,使Y的方差达到最小.21XbXaY是μ的无偏估计,211nnna022)(21nnaF,211nnna212nnnb.)(最小YD0)1(22)(21nanaaF)(aF2212)1(nana思考题：取自总体X的样本，nXXX,,,21),(~2NX试选择适当的c,使11212)(niiiXXcS为的无偏估计.2思考题答案：)1(21nc练习题：niiXn12)(1)1(已知，niiXn12)(11)2(已知，niiXn12)(1)3(未知，niiXn12)(11)4(未知，1.样本X1,X2,…,Xn取自总体X,E(X)=μ,D(X)=σ2则()可以作为σ2的无偏估计量.111)4(niiXnniiXn111)2(1111)3(niiXnniiXn21)1(2.设X1,X2,…,Xn是来自总体X的样本,E(X)=μ,D(X)=σ2,则()是μ的无偏估计.3.设总体的期望E(X)=μ,方差D(X)=σ2,X1,X2,…,Xn是总体的一个样本,则()是σ2的无偏估计211)(1)4(niiXXn21)(11)1(niiXXn211)(11)3(niiXXn21)(1)2(niiXXn202201)(21)(21)1(XX211)(11)4(niiXXn210)(11)3(niiXn210)(1)2(niiXn4.设X1,X2,…,Xn是总体X的一个样本,其中E(X1)=μ0,D(X1)=σ2,μ0已知,σ2未知,则()是σ2的一个无偏估计量.5.设X1,X2,…,Xn是来自总体X的样本,以下四个无偏估计量中最有效的是()212121)4(xx321313131)3(xxx323231)2(xx314341)1(xx2143231ˆ)4(XX2114143ˆ)1(XX2122121ˆ)2(XX2133121ˆ)3(XX6.设总体X的数学期望为μ,方差为σ2,(X1,X2)是X的一个样本,则在下述的4个估计量中,()是最优的.7.矩估计必然是（）(1)无偏估计(2)总体矩的函数(3)样本矩的函数(4)极大似然估计8.设θ是总体X的未知参数,是θ的一个估计量,则()ˆˆ(1)是一个数,且近似等于θ;ˆ(4)当n很大时，的值可任意靠近θ.ˆ(2)是一个随机变量;)ˆ(Eˆ(3)是一个统计量,且;9.设总体,均未知,则是()2,21)(1niiXXn),(~2NX22(1)μ的无偏估计(2)的无偏估计(3)μ的矩估计(4)的矩估计10.钢珠直径,其中μ为未知参数,现随机地抽取9个,求得则μ的矩估计值是())1,(~NX,06.31x,98.0)(912912iixxS298.0)2(98.006.31)3((4)9×31.06(1)31.06),,(~pmbXnXXX,,,2111.设是它的一个样本,验证mXnimXi21ˆ)2();,,2,1(ˆ)1(都是参数p的无偏估计量,并判断哪一个更有效.),,,(ˆ),,,(ˆ212211nnXXXXXX和12.设1ˆ是的两倍,试求常数,使得2ˆ21,kk2211ˆˆˆkk是参数θ的两个独立的无偏估计量,并且的方差是θ的无偏估计量,并使方差达到最小.13.是参数θ无偏估计量,且ˆ,0)ˆ(D证明：不是参数无偏估计.22ˆ14.设总体,其中θ为未知参数,]2,[~UXnXXX,,,21niixnX11X32ˆ证明：是θ的无偏估计.是来自总体的一个样本，15.设是从正态总体中抽nXXX,,,21),(~2NX21112)()1(21iniiXXn2是的无偏估计量.2,取的一个样本,其中均为未知参数,求证：,0],,0[~UX(1)参数θ的矩估计是θ的无偏估计.X2ˆ},,,max{ˆ21nnLXXXX(2)参数θ的最大似然估计16.总体X服从均匀分布,证明:是有偏的.(3)参数θ的矩估计量与最大似然估计纠偏后的估计量哪个较有效.并求纠偏后的估计量.1.(1)；2.(3)；3.(3);4.(2);5.(3);6.(2);练习题答案：7.(3)；8.(2)；9.(4);10.(1);;ˆ.112更有效32,31.1221kk)2()ˆ(XEE)(xFXnXn的分布函数nxF)()(zfXnXn的概率密度为其他,00,1znznn22)(2XE16.(1)∴参数θ的矩估计是θ的无偏估计.X2ˆ(2))()ˆ(nLXEEdznzznn101nn参数θ的最大似然估计是有偏的.nX实际问题中纠正有偏的方法：0,)ˆ(abaE是参数θ的无偏估计.nXnn1)ˆ(1ba是参数θ的无偏估计.(3)矩估计的方差)2()ˆ(XDDnXD)(4nn312422纠偏后的估计量的方差是nXnnD1)()1(22nXDnn22102221)1(nndznzznnnn)2(2nn)2(XDnXnnDn1,1最大似然估计纠偏后的估计量比矩估计量较有效.