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平面内两直线的位置关系一、判断题（2分×10＝20分）1．平分角的直线叫做角的平分线。（）2．互补的两个角一定是一个是钝角，一个是锐角。（）3．如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也平行。（）4．同位角相等。（）5．当两条直线被第三条直线所截成的8个角中，有一对同位角相等，所有的内错角都相等，所有同旁内角都互补。（）6．有且只有一条直线垂直于已知直线。（）7．过两条平行线的中点作垂线。（）8．有公共顶点的角是对顶角。（）9．图形平移后，形状、大小都不改变。（）10.两条直线被第三条直线所截，若一组同位角的平分线互相平行，则这两条直线也平行。（）二、填空题（3分×8＝24分）11.延长线段AB到Ｃ，使BC＝AB，则B点是线段AC的，且AB＝AC.12.锐角的余角是角，钝角的补角是角，一个角是x度，它的余角是，补角是。13.在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线。14.当两条平行直线被第三条直线所截时，下面各组直线的位置关系是：（1）内错角的平分线；（2）同位角的平分线；（3）同旁内角的平分线。15.如图①所示，m∥n，∠1=105°，∠2=140°，∠α=。16.平行公理：；其推论是：如果a∥b，b∥c，则∥。17.过平面内四点能画条直线。18.平移把直线变成的直线；一个边长为a的正三角形平移5㎝后，平移后的正三角形的边长是。三、选择题（3分×8＝24分）19.已知∠1和∠2互补，且∠1－∠2＝30°，则∠1和∠2分别是（）A.110°,70°B.105°,75°C.100°,70°D.110°,80°20.在同一平面内有不同的六点，过任意两点最多可确定直线（）A.4条B.6条C.12条D.15条21.如图②所示，已知∠1+∠2＝180°，∠4＝105°，则∠3为（）A．115°B．75°C．等于∠1的度数D．等于∠2的度数22.线段的垂线、平分线以及过中点的垂线（）A．都只有一条B．都有无数条C．平分线和垂线有无数条，过中点的垂线只有一条D．平分线和过中点的垂线只有一条，垂线有无数条23.两条直线被第三条直线所截，则（）A．同位角必相等B.内错角必相等C．同旁内角必互补D.同位角不一定相等24.如图③所示，已知∠1＝∠3，则AB和CD的位置关系是（）A．相交B．平行C．垂直D．不能确定25.下列语句正确的个数是（）①钝角没有余角；②过一点有无数条直线与已知直线垂直；③直线外一点到直线的垂线段是这点到直线的距离；④两条直线不相交就平行；⑤一个锐角的补角比这个角的余角大90度；⑥如果a∥b，b∥c，则a⊥c。A.1个B.2个C.3个D.4个26.下列叙述正确的是（）A.可以画一条长5㎝的直线B.线段MN与线段NM不是同一线段C.射线AP与射线PA是同一条射线D.直线AB过点C与点C在直线AB上意思相同四、解答题（8分×2＝16分）27.一个角的余角的补角是这个角的余角的35，那么这个角的余角是多少？28.如图④所示，直线AB、CD相交于点O，OE⊥AB，∠1＝∠2，∠3＝26°28′，求∠4和∠5的度数。五、推理证明（8分×2＝16分）29.已知：如图⑤所示，AE平分∠BAD，∠CFE＝∠E，AB∥CD。判定：AD∥BE。因为AE平分∠BAD（已知）所以∠1＝∠2（）又因为AB∥CD（）所以∠1＝（）因为∠CFE＝∠E（）所以∠2＝（）故AD∥BE.（）30.如图⑥所示，已知AD∥EC，AD平分∠BAC，试判定：∠ACE＝∠E。重点问题一：平行线的性质及其应用【例1】已知：如图（1），DE∥BC，CD是∠ACB的平分线，∠B＝70°，∠ACB＝50°，求∠EDC和∠BDC的度数。解因为CD平分∠ACB（已知）所以∠1＝21＝°（）因为DE∥BC（）所以∠EDC＝∠1＝25°（）∠BDE＋∠B＝180°（）因为∠B＝70°（已知）所以∠BDC＝∠BDE－∠EDC＝110°－25°＝85°重点问题二：平行线的判定及其应用【例2】如图（2），已知∠AED＝60°，∠2＝30°，EF平分∠AED，可以判断EF∥BD吗？为什么？解可以判断EF∥BD。理由如下：因为EF平分∠AED（已知）所以∠1＝21∠AED（）因为∠AED＝60°（）所以∠1＝°因为∠2＝30°所以∠1＝∠2（）所以EF∥BD.（）【例3】如图（3），已知∠1＝∠2，再添上什么条件可使AB∥CD？解添加以下任意一个条件都可使AB∥CD①∠MBE＝∠MDF；②∠EBN＝∠FDN；③∠EBD+∠BDF＝180°；④EB∥FD；⑤EB⊥MN，FD⊥MN。（自己证明）重点问题三：平行线的性质与判定的综合运用【例4】已知：如图（4），∠CDB＝90°,∠FEB＝90°，∠1＝∠2＝30°∠3＝84°，求∠4的度数。解因为∠CDB＝∠FEB＝90°所以CD∥()所以∠2＝（两直线平行，同位角相等）因为∠1＝∠2（已知）所以＝（等量代换）所以DG∥BC（内错角相等，两直线平行）所以∠BCA＝∠3＝84°（）所以∠4＝∠BCA－∠5＝84°－30°＝54°.逆向思维：如上图（4），已知∠1＝∠2，DG∥BC，EF⊥AB，求证：CD⊥AB.（提示：利用“垂直于两平行直线中的一条直线必定垂直于另一条直线”来证明，因此只需证CD∥EF，据已知DG∥BC有∠1＝∠5，又∠1＝∠2，所以∠2＝∠5从而有CD∥EF，又EF⊥AB，所以CD⊥AB.结论1：两平行线被第三条直线所截，同位角的角平分线互相平行已知如图（5），AB∥CD，EP、FQ分别平分∠MEP、∠EFD，求证：EP∥FQ.证明：∵AB∥CD（已知）∴∠MEP＝∠EFD（平行线性质1）∵EP平分∠MEP，FQ平分∠EFD∴∠1＝21∠MEP，∠2＝21∠EFD（角平分线的定义）∴∠1＝∠2（等量代换）∴EP∥FQ.（同位角相等，两直线平行）逆向思维：如果EP∥FQ，EP、FQ分别平分∠MEP、∠EFD，那么AB∥CD吗？结论2：两平行线被第三条直线所截，内错角的角平分线互相平行已知如图（6），AB∥CD，EP、FQ分别平分∠AEF、∠EFD，求证：EP∥FQ.试试看，你肯定行！结论3：两平行线被第三条直线所截，同旁内角的角平分线互相垂直已知如图（7），AB∥CD，EP、FQ分别平分∠BEF、∠EFD，且EP与FQ相交于点O，求证：EP⊥FQ.证明：∵AB∥CD（已知）∴∠BEF+∠EFD＝180°（两直线平行，同旁内角互补）∵EP平分∠BEF，FQ平分∠EFD∴∠1＝21∠BEF，∠2＝21∠EFD∴∠1+∠2＝21∠BEF+21∠EFD＝21（∠BEF+∠EFD）＝90°∵∠1+∠2+∠EOF＝180°（三角形内角和定理）∴∠EOF＝180°－（∠1+∠2）＝180°－90°＝90°∴EP⊥FQ.（垂直的定义）逆向思维：如果EP⊥FQ，EP、FQ分别平分∠BEF、∠EFD，则AB∥CD吗？课外研究：如图（8）中，AB∥CD，有∠B+∠D＝180°；（1）如果把BD折一次，如图（9），此时∠B+∠D+∠E＝？（2）如果再折一次，如图（10），此时∠B+∠D+∠E+∠F＝？（3）想一想，每多折一次，这些角的和增加了多少度？它们之间有什么规律？（图中虚线部分为辅助线）