反比例函数、图象及其主要性质

反比例函数一.教学内容：反比例函数教学目标：1.理解反比例函数、图象及其主要性质，能根据所给信息确定反比例函数表达式，画出反比例函数的图象，并利用它们解决简单的实际问题。2.初步了解数学在实际生活中的应用，增强应用意识，体会数学的重要性。二.重点、难点：重点：能根据所给信息确定反比例函数表达式，画出反比例函数的图象，并利用它们解决简单的实际问题。难点：反比例函数的应用。三、知识要点1、经历抽象反比例函数概念的过程，并能类推归纳出反比例函数的表达式2、一般地，如果两个变量x，y之间的关系可以表示成y=xk（k为常数，k不等于0）的形式，那么称y是x的反比例函数从y=xk中可知，x作为分母，所以不能为零3、画反比例函数图像时要注意以下几点a列表时自变量的取值应取绝对值相等而符号相反的一对数值，这样既可以简化计算，又便于标点b列表、描点时，要尽量多取一些数值，多描一些点，这样方便连线c在连线时要用“光滑的曲线”，不能用折线4、反比例函数的性质反比例函数0kxkyk的取值范围0k0k图象性质①x的取值范围是0x，y的取值范围是0y②函数图象的两个分支分别在第一、三象限，在每一个象限内y随x的增大而减小①x的取值范围是0x，y的取值范围是0y②函数图象的两个分支分别在第二、四象限，在每一个象限内y随x的增大而增大注意：1）反比例函数是轴对称图形和中心对称图形；2）双曲线的两个分支都与x轴、y轴无限接近，但永远不能与坐标轴相交；3）在利用图象性质比较函数值的大小时，前提应是“在同一象限”内。5、反比例函数系数k的几何意义如图，过双曲线上任意一点P作x轴，y轴的垂线PM，PN，所得矩形的面积为PNPMSNMNM∵xky∴yxk∴NMS，即过双曲线上任一点作x轴，y轴的垂线，所得矩形的面积为k注意：①若已知矩形的面积为k，应根据双曲线的位置确定k值的符号。②在一个反比例函数图象上任取两点P，Q，分别过P，Q作x轴、y轴的平行线，与坐标轴围成的矩形面积为S1，S2，则有S1＝S2。四、重点难点重点：1、经历抽象反比例函数概念的过程2、反比例函数的图像特点及性质的探究3、通过观察图像，归纳总结反比例函数图像难点：1、理解反比例函数的概念2、画反比例函数的图像，并从图像中获取信息3、从反比例函数的图像中归纳总结反比例函数的主要性质五、典例解析考点一、反比例函数的定义例1、用电器的输出功率P与通过的电流I，用电器的电阻R之间的关系是，下面说法正确的是（）A.P为定值，I与R成反比例B.P为定值，2I与R成反比例C.P为定值，I与R成正比例D.P为定值，2I与R成正比例分析：掌握常见的数学公式，物理公式对学习是非常有用的，在以后的学习中我们会经常遇到跨学科的题目，RIP2可化为2IPR，当P为定值时，RI与2成反比例。本题的答案是：B例2、k为何值时，522kxky是反比例函数？分析：根据反比例函数表达式的一般形式xky0k也可以写成1kxy0k，后一种写法中的x的次数为－1，可知函数为反比例函数，必须具备两个条件：02k且152k二者缺一不可解：15k02k2由2k2k得。x2k，y2k2k5k2是反比例函数时当常见的错误：1）不会把反比例函数的一般形式xky写成1kxy形式；2）忽略了02k这个条件。考点二：反比例函数的图象例3、若321,1,,2,,3yCyByA三点都在函数xy1的图象上，则321,,yyy的大小关系是（）A.321yyyB.321yyyC.231yyyD.321yyy分析：主要考查反比例函数的图象和性质。解答时，应先画出xy1的图象，如图，然后把321y,1C,y,2B,y,3A三点在图中表示出来，依据数轴的特性。答案为A例4、观察下面函数xy2和xy2的图像，请大家对比着探索它们的异同点相同点：a、图像都是由两条曲线组成b、它们都不与坐标轴相交c、它们都不过原点不同点：它们所在的象限不同，xy2的两条曲线在第一和第三象限，xy2的两条曲线在第二和第四象限，大家再仔细观察一下每个函数图像是否为对称图形，轴对称图形，中心对称图形？由此看来，反比例函数的图像是两条双曲线，它们要么在第一、三象限，要么在第二、四象限，究竟什么时候在第一、三象限，什么时候在第二、四象限，大家能确定吗？可以，当k大于0时，图像的两条曲线在第一、三象限内，当k小于0时，两条曲线分别位于第二、四象限。考点三：反比例函数的性质例5、已知反比例函数xky4，分别根据以下条件求出k的取值范围。（1）函数图象位于第一、三象限内；（2）在每一个象限内，y随x的增大而增大。分析：反比例函数图象的位置是由k的符号决定的，当0k时，反比例函数的图象在第一、三象限，在每一个象限内y随x的增大而减小；当0k时，反比例函数的图象在第二、四象限，在每一个象限内y随x的增大而增大。另外，由k的符号可以推出反比例函数图象的位置和函数的变化情况，函数的增减性也可以推出k的符号。本题的反比例函数的系数是k4，可先根据反比例函数的性质列出不等式，再解不等式求出k的取值范围。解：（1）∵双曲线在第一、三象限内，∴04k4k（2）∵在每一个象限内y随x的增大而增大∴04k4k例6、如图，反比例函数图像上任取两点P、Q，过点P分别作x轴，y轴的平行线与坐标轴围成的矩形面积为1S，过点Q分别作x轴，y轴的平行线，与坐标轴围成的矩形面积为2S。（1）1S与2S有什么关系？为什么？（2）将反比例函数的图像绕原点旋转180度后，能与原来的图像重合吗？分析：任取P、Q两点有两种情况。一是在同一条曲线上取两点，二是在不同的曲线上取两点。根据所选的点的坐标与坐标轴所围成的面积=长×宽，可得yxS，另外，反比例函数既是轴对称图形又是中心对称图形，所以问题（2）将反比例函数的图像绕原点旋转180度后，能与原来的图像重合解：（1）①P、Q两点在同一条曲线上：设P（11,yx），过P点分别作x轴、y轴的平行线，与两坐标轴围成的矩形面积为1S，则111yxS因为（11,yx）在反比例函数xky的图像上，所以11xky即kyx11所以kS1同理可知kS2所以1S=2S②P、Q分别在不同的曲线上：解法同1同理可知1S=2S因此只要是在同一个反比例函数图像上任取两点P、Q，不管P、Q是在同一条曲线上，还是在不同的曲线上，过P、Q分别作x轴，y轴的平行线与坐标轴围成的矩形面积1S、2S都有1S=2S（2）若将反比例函数的图像绕原点旋转180度后，能与原来的图像重合.因为反比例函数既是轴对称图形又是中心对称图形。考点五：反比例函数的实际应用例7、小明将一篇24000字的社会调查报告录入电脑，打印成文.（1）如果小明以每分钟120字的速度录入，他需要多长时间才能完成录入任务？（2）录入文字的速度v（字/min）与完成录入的时间t（min）有怎样的函数关系．（3）小明希望能在3h内完成录入任务，那么他每分钟至少应录入多少个字？分析：题中的等量关系为：总字数=录入文字的速度×录入时间解：（1）24000÷120=200（分钟）所以他需要用200分钟才能完成录入工作。（2）函数关系式是：tv24000（3）3h=180min3.133340018024000v由于录入的字要为整数，所以他每分钟至少要录入134个字。例8、蓄电池的电压为定值，使用此电源时，电流I（A）与电阻R（）之间的函数关系如图所示。（1）蓄电池的电压是多少？你能写出这一函数的表达式吗？（2）完成下表，并回答问题：如果以此蓄电池为电源的用电器限制电流不得超过10A，那么用电器的可变电阻应控制在什么范围内？/R345678910A/4分析：从上图来看，I和R之间可能是反比例函数关系。电压U就相当于反比例函数中的k，要写出函数的表达式，实际上就确定了k（U），只需要一个条件即可，而图中已给出了一个点的坐标，所以这个问题就解决了，实际上填表是已知自变量求函数的值。解：（1）设函数表达式为RUI，∵4,9A在图象上，∴36IRU∴RI36蓄电池的电压是36伏。（2）/R345678910A/1297.267364.543.6电流不超过10A，即I最大为10A，代入关系式中得R=3.6，为最小电阻，所用电器的可变电阻应控制在6.3R这个范围内.例9、反比例函数的图象上有一点P（m，n）其坐标是关于t的一元二次方程032ktt的两根，且P到原点的距离为13，求该反比例函数的解析式.分析：要求反比例函数的解析式，就是要求出k，为此我们需要列出一个关于k的方程.解：∵m，n是关于t的方程032ktt的两根∴m+n=3，mn=k，又PO=13∴1322nm∴1322mnnm∴9－2k=13.∴k=－2当k=－2时，△=9+8＞0，∴k=－2符合条件，∴反比例函数的解析式为：x2y考点六：反比例函数与一次函数的应用例10、如图，一次函数bkxy的图象与反比例函数xmy的图象相交于A、B两点。（1）根据图象，写出B点的坐标；（2）求出两函数的解析式；（3）根据图象回答：当x为何值时，一次函数的函数值大于反比例函数的值。分析：（1）根据数轴上的坐标可以写出B点的坐标（2）根据图象上的点代入函数的一般形式中可以求出函数关系式（3）观察函数的图象，可以得出结论解：（1）由图象可得B（4，3）（2）把反比例函数上的点代入函数的关系式xmy得4m312m∴反比例函数的关系式为xy12由图可知一次函数与坐标轴的交点为（0，1）和（－2，0）把这两点代入一次函数关系式kxy+b得：bkb201解得：211kb∴一次函数的关系式为：121xy（3）由图象可知，当4x0x6或时，一次函数的函数值大于反比例函数的函数值。例11、如图，平行于直线xy的直线l不经过第四象限，且与函数03xxy的图象交于点A，过点A作AB⊥y轴于点B，AC⊥x轴于点C，四边形ABOC的周长是8，求直线l的解析式。分析：要求直线l的解析式，只要设直线l的解析式bxy且求A点坐标代入即可，要求A点坐标，可根据四边形ABOC的周长为8得到A点的纵坐标+横坐标=4，再结合03xxy，即可求出A点的坐标值。解：∵点A在函数03xxy的图象上，∴设A点的横坐标为a，由点A的纵坐标为a3，即A点的坐标为aa3,0a∵AB⊥y轴于点B，AC⊥x轴于点C，∠BOC=90°∴四边形ABOC是矩形，∵四边形ABOC的周长是8，C∴832aa即0342aa解得3,121aa当133,331a，aa，a时当时∴A点坐标为（1，3）或（3，1）（由题意可知xy）∴A点坐标为（1，3）设直线l的解析式为bxy把A点代入bxy得3=1+bb=2∴直线l的解析式为2xy【方法总结】本讲主要运用归纳式教学，采用“探究－实验－归纳”的课堂教学方法，适时启发诱导，让学生展开讨论，充分发挥学生的主体参与意识，激发学习兴趣，调动学习的积极性，培养学生良好的思维方法与习惯.课后检测一、选择题1.下列不是反比例函数图象的特点的是（）A.图象是由两部分构成B.图象与坐标轴无交点C.图象要么总向右上方，要么总向右下方D.图象与坐标轴相交而成的一对对顶角内2.若点（3，6）在反比例函数xky（k≠0）的图象上，那么下列各点在此图象上的是（）A.（3，6）B.（2，9）C.（2，9）D.（3，6）*3.当0x时，下列图象中表示函数xy1的图象的是（）4.如果x与y满足01xy，则y是x的（）A.正比例函数B.反比例函数C.一次函数D.二次函数5.已知反比例函数的图象过（2，－2）和（