信息安全数学基础期末试卷及答案

贵州大学2007-2008学年第二学期考试试卷（标准答案）A信息安全数学基础注意事项：1.请考生按要求在试卷装订线内填写姓名、学号和年级专业。2.请仔细阅读各种题目的回答要求，在规定的位置填写答案。3.不要在试卷上乱写乱画，不要在装订线内填写无关的内容。4.满分100分，考试时间为120分钟。题号一二三四五六七八总分统分人得分一、设a,b是任意两个不全为零的整数，证明：若m是任一整数，则[am,bm]=[a,b]m.(共10分)解：22[,](3(,)(3(,)(2(,)[,](2abmambmambmabmabmabmababm分）分）分）分）==二、设n=pq,其中p,q是素数.证明：如果22=(mod),,,abnnabnab宎宎则(,)1,(,)1nabnab（共10分）证明：由2222=(mod),|-,|()()abnnabnabab得即aa(2分）又npq，则|()(),|()|(),pqababppabpab因为是素数，于是或aaa(2分）同理，|()|()qabqab或aa(2分）由于,nabnab宎?，所以如果|()paba，则|()qaba，反之亦然.(2分）由|()paba得(,)1nabp(1分）由|()qaba得(,)1nabq(1分）三、求出下列一次同余数的所有解.(共10分)32(mod7)x得分评分人得分评分人得分评分人解：(1)求同余式31(mod7)x的解，运用广义欧几里得除法得：5(mod7)x（5分）（2）求同余式32(mod7)x的一个特解：10(mod7)x（4分）（3）写出同余式32(mod7)x的全部解：102(mod7),0xtt（1分）四、求解同余式组：(共15分)1234(mod5)(mod6)(mod7)(mod11)xbxbxbxb解：令m=5.6.7.11=231012346.7.11462(15.7.11385(15.6.11330(15.6.7210(1MMMM分）分）分）分）分别求解同余式'M1(mod),1,2,3,4iiiMmi得到：''''12343,1,1,1(4MMMM分）故同余式的解为：12343462385330210(mod2310)(2xbbbb分）五、求满足方程23:51(mod7)Eyxx的所有点.(共10分)解:对x=0,1,2,3,4,5,6,分别求出y.得分评分人得分评分人22222220,1(mod7),1,6(mod7)(21,0(mod7),(22,5(mod7),(13(mod7),(11(mod7),1,6(mod7)(25,4(mod7),2,5(mod7)(16,2(mod7),3,4(mod7)(1xyyxyxyyyyxyyxyy分）y0(mod7)分）无解分）x=3,无解分）x=4,分）分）分）六、判断同余式2137(mod227)x是否有解.（共15分）解:因为227是素数，2137901235253227227227227227227－－＝＝＝－　　（分）又222712262288821(1)=13227－＝（－）＝－－　　（分）又251512271822522721==11322755－－－＝（－）（－）＝－　　（分）因此，13713227＝－　　（分）同余式2137(mod227)x无解.(3分)七、设1m是整数，a是与m互素的整数，假如()mordast，那么()smordat.（共10分）解:由()mordast得：()1(mod)5ststaam（分）由()mordast知，t是同余式()1(mod)stam成立的最小正整数，故，()smordat.(5分)八、证明整数环Z是主理想环.（共10分）得分评分人得分评分人得分评分人证：设I是Z中的一个非零理想.当aI时，有00(1)aIaaI及-.(2分)因此，I中有正整数存在.(1分)设d是I中的最小正整数，则()Id(1分)事实上，对任意aI，存在整数q,r使得(1分),0adqrrd(1分)这样，由aI及dqI，得到radqI.(1分)但rd以及d是I中的最小正整数.因此，r=0，()adqd.(1分)从而()Id，(1分)又显然()dI.故()Id，故Z是主理想.(1分)九、设p是素数，则()Pp是整数环Z的素理想.（共10分）证：对任意整数a,b，若(),|abPppab则.(3分)于是||.papb或(3分)因此得到，aPbP或.(3分)因此，()Pp是整数环Z的素理想.(1分)得分评分人