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第3讲┃整式及因式分解第3讲┃考点聚焦考点聚焦考点1整式的概念定义数与字母的________的代数式叫做单项式，单独的一个________或一个________也是单项式次数一个单项式中，所有字母的________叫做这个单项式的次数系数单项式中的数字因数叫做单项式的系数单项式防错提醒单独一个字母x的次数是1而不是0，单项式的系数包括前面的符号，如－4xy7的系数为－47，πx25的系数为π5乘积数字母指数的和第3讲┃考点聚焦定义几个单项式的________叫做多项式次数一个多项式中，_______________的次数，叫做这个多项式的次数多项式项多项式中的每个________叫做多项式的项整式_________和________统称整式和次数最高的项单项式单项式多项式第3讲┃考点聚焦考点2同类项、合并同类项名称概念防错提醒同类项所含字母________，并且相同字母的指数也分别________的项叫做同类项，几个常数项也是同类项同类项与系数无关，也与字母的排列顺序无关，如－7xy与yx是同类项合并同类项把多项式中的同类项合并成一项叫做合并同类项，合并同类项后，所得项的系数是合并前各同类项的系数的和，字母部分不变只有同类项才能合并，如x2＋x3不能合并相同相同第3讲┃考点聚焦考点3整式的运算类别法则整式的加减整式的加减实质就是____________．一般地，几个整式相加减，如果有括号就先去括号，再合并同类项同底数幂相乘底数不变，指数相加.即：am·an＝________(m，n都是整数)幂的乘方底数不变，指数相乘.即：(am)n＝________(m，n都是整数)积的乘方等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．即：(ab)n＝________(n为整数)幂的运算同底数幂相除底数不变，指数相减.即：am÷an＝________(a≠0，m，n都为整数)合并同类项am＋namnanbnam－n第3讲┃考点聚焦单项式与单项式相乘把它们的系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式单项式与多项式相乘就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加，即m(a＋b＋c)＝ma＋mb＋mc整式的乘法多项式与多项式相乘先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加，即(m＋n)(a＋b)＝ma＋mb＋na＋nb第3讲┃考点聚焦单项式除以单项式把系数与同底数幂分别相除，作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式整式的除法多项式除以单项式先把这个多项式的每一项分别除以这个单项式，然后把所得的商相加平方差公式(a＋b)(a－b)＝__________完全平方公式(a±b)2＝__________(1)a2＋b2＝____________＝____________乘法公式常用恒等变换(2)(a－b)2＝(a＋b)2－4aba2－b2a2±2ab＋b2(a＋b)2－2ab(a－b)2＋2ab第3讲┃考点聚焦考点4因式分解的概念定义把一个多项式化为几个________的形式，像这样的式子变形，叫做多项式的因式分解因式分解防错提醒(1)因式分解专指多项式的恒等变形；(2)因式分解的结果必须是几个整式的积的形式;(3)因式分解与整式乘法互为逆变形整式的积第3讲┃考点聚焦考点5因式分解的相关概念及基本方法公因式定义一个多项式各项都含有的公共的因式，叫做这个多项式各项的公因式定义一般地，如果多项式的各项都有公因式，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式的乘积形式，即ma＋mb＋mc＝__________提取公因式法应用注意(1)提公因式时，其公因式应满足：①系数是各项系数的最大公约数；②字母取各项相同字母的最低次幂；(2)公因式可以是数字、字母或多项式；(3)提取公因式时，若有一项全部提出，括号内的项应是“1”，而不是0m(a＋b＋c)第3讲┃考点聚焦平方差公式a2－b2＝_____________运用公式法完全平方公式a2＋2ab＋b2＝__________a2－2ab＋b2＝__________因式分解的一般步骤一提(提取公因式)；二套(套公式法)；一直分解到不能分解为止(a＋b)(a－b)(a＋b)2(a－b)2第3讲┃归类示例归类示例►类型之一同类项命题角度：1.同类项的概念；2.由同类项的概念通过列方程组求解同类项的指数中字母的值．[2012·雅安]如果单项式－12xay2与13x3yb是同类项，那么a，b的值分别为()A．2，2B．－3，2C．2，3D．3，2D[解析]依题意知两个单项式是同类项，根据相同字母的指数相同列方程，得a=3,b=2.第3讲┃归类示例(1)同类项必须符合两个条件：第一所含字母相同，第二相同字母的指数相同，两者缺一不可．(2)根据同类项概念——相同字母的指数相同，列方程(组)是解此类题的一般方法．►类型之二整式的运算第3讲┃归类示例命题角度：1.整式的加减乘除运算；2.乘法公式．[2012·湛江]下列运算中，正确的是()A．3a2－a2＝2B．(a2)3＝a5C．a3·a6＝a9D．(2a2)2＝2a4C[解析]A是合并同类项应为2a2；B为幂的乘方，底数不变，指数相乘，故不正确；C是同底数幂相乘，底数不变，指数相加，正确；D是积的乘方与幂的乘方综合运用，不正确．第3讲┃归类示例(1)进行整式的运算时，一要注意合理选择幂的运算法则，二要注意结果的符号．(2)不要把同底数幂的乘法和整式的加减法混淆，如a3·a5＝a8和a3＋a3＝2a3.(am)n和an·am也容易混淆．(3)单项式的除法关键：注意区别“系数相除”与“同底数幂相除”的含义，如6a5÷3a2＝(6÷3)a5－2＝2a3,一定不能把同底数幂的指数相除．第3讲┃归类示例[2012·杭州]化简：2[(m－1)m＋m(m＋1)][(m－1)m－m(m＋1)]．若m是任意整数，请观察化简后的结果，你发现原式表示一个什么数？解：2[(m－1)m＋m(m＋1)][(m－1)m－m(m＋1)]＝2(m2－m＋m2＋m)(m2－m－m2－m)＝－8m3.原式＝(－2m)3，表示3个－2m相乘．第3讲┃归类示例(1)对于整式的加、减、乘、除、乘方运算，要充分理解其运算法则，注意运算顺序，正确应用乘法公式以及整体和分类等数学思想．(2)在应用乘法公式时，要充分理解乘法公式的结构特点，分析是否符合乘法公式的条件．►类型之三因式分解第3讲┃归类示例命题角度：1．因式分解的概念；2．提取公因式法因式分解；3．运用公式法因式分解：(1)平方差公式；(2)完全平方公式．[2012·无锡]分解因式(x－1)2－2(x－1)＋1的结果是()A．(x－1)(x－2)B.x2C．(x＋1)2D.(x－2)2D[解析]首先把x－1看做一个整体，观察发现符合完全平方公式，直接利用完全平方公式进行分解．第3讲┃归类示例(1)因式分解时有公因式的要先提取公因式，再考虑是否应用公式法或其他方法继续分解．(2)提公因式时，若括号内合并的项有公因式应再次提取；注意符号的变换y－x＝－(x－y)，(y－x)2＝(x－y)2.(3)应用公式法因式分解时，要牢记平方差公式和完全平方式及其特点．(4)因式分解要分解到每一个多项式不能再分解为止．►类型之四整式运算与因式分解的应用第3讲┃归类示例命题角度：1.整式的有关规律性问题；2.利用整式验证公式或等式；3.新定义运算；4.利用因式分解进行计算与化简；5.利用几何图形验证因式分解公式．第3讲┃归类示例[2013·南京]用同样大小的黑色棋子按如图3－1所示的规律摆放：图3－1(1)第5个图形有多少颗黑色棋子？(2)第几个图形有2013颗黑色棋子？请说明理由．第3讲┃归类示例[解析](1)根据图中所给的黑色棋子的颗数，找出其中的规律，即可得出答案；(2)根据(1)所找出的规律，列出式子，即可求出答案．解：(1)第一个图需棋子6颗，第二个图需棋子9颗，第三个图需棋子12颗，第四个图需棋子15颗，第五个图需棋子18颗，…第n个图需棋子3(n＋1)颗．答：第5个图形有18颗黑色棋子．第3讲┃归类示例(2)设第n个图形有2013颗黑色棋子，根据(1)得3(n＋1)＝2013，解得n＝670，所以第670个图形有2013颗黑色棋子．第3讲┃归类示例解决整式的规律性问题应充分发挥数形结合的作用，从分析图形的结构入手，分析图形结构的形成过程，从简单到复杂，进行归纳猜想，从而获得隐含的数学规律，并用代数式进行描述．第3讲┃回归教材回归教材完全平方公式大变身教材母题北师大版八下P57例4把下列各式分解因式：(1)3ax2＋6axy＋3ay2；(2)－x2－4y2＋4xy.[解析]对一个三项式，如果发现它不能直接用完全平方公式分解时，要仔细观察它是否有公因式，若有公因式应先提取公因式，再考虑用完全平方公式分解因式．第3讲┃回归教材解：(1)3ax2＋6axy＋3ay2＝3a(x2＋2xy＋y2)＝3a(x＋y)2；(2)－x2－4y2＋4xy＝－(x2－4xy＋4y2)＝－[x2－2·x·2y＋(2y)2]＝－(x－2y)2.[点析]如果三项中有两项能写成两数或式的平方，但符号不是“＋”号时，可以先提取“－”号，然后再用完全平方公式分解因式．第3讲┃回归教材中考变式1．[2013·泸州]分解因式：x3－6x2＋9x＝________．2．[2012·南平]分解因式：2x2－4x＋2＝________．3．[2012·白银]分解因式：a3－a＝_____________．4．[2012·本溪]分解因式：9ax2－6ax＋a＝__________．x(x－3)22(x－1)2a(a＋1)(a－1)a(3x－1)2