暑假专题――三角恒等变换的基础、应用及技巧

暑假专题——三角恒等变换的基础、应用及技巧一.教学目的1、复习三角恒等变换的基本公式及相互关系2、分析三角恒等变换的常见形式、问题及解题技巧二.教学重点、难点三角恒等变换的常见形式、问题及解题技巧三.知识分析1.三角函数恒等变形公式（1）两角和与差公式sincoscossinsinsinsincoscoscostantan1tantantan（2）二倍角公式cossin22sin2222sin211cos2sincos2cos2tan1tan22tan（3）三倍角公式3sin4sin33sincos3cos43cos3（4）半角公式2cos12sin2cos12cossincos1cos1sincos1cos12tan（5）万能公式2tan12tan2sin2，2tan12tan1cos22，2tan12tan2tan2（6）积化和差sinsin21cossin，)]sin()[sin(21sincos，coscos21coscos，coscos21sinsin（7）和差化积2cos2sin2sinsin，2sin2cos2sinsin，2cos2cos2coscos，2sin2sin2coscos2.网络结构tantantantantantantantan22112coscossincossinsinsincos22112222222SSCCsincossinsincossinsinsincoscoscoscossinsincoscos12121212令ABsinsinsincossinsincossincoscoscoscoscoscossinsinABABABABABABABABABABABAB222222222222相除相除移项2相加减12212222coscoscossin变形sincoscoscos212212相除tancoscossincoscossin211113.基础知识疑点辨析（1）正弦、余弦的和差角公式能否统一成一个三角公式？实际上，正弦、余弦的和角公式包括它们的差角公式，因为在和角公式中，是一个任意角，可正可负。另外，公式CS、虽然形式不同，结构不同，但本质相同：cos()cos()换成－2sin()sin()换成－换成－。（2）怎样正确理解正切的和差角公式？正确理解正切的和差角公式需要把握以下三点：①推导正切和角公式的关键步骤是把公式sin()tan()cos()，右边的“分子”、“分母”都除以coscos，从而“化弦为切”，导出了T。②公式CS、都适用于,为任意角，但运用公式T时，必须限定,，都不等于2kkZ。③用代替，可把T转化为T，其限制条件同②。（3）正弦、余弦、正切的和差角公式有哪些应用？①不用计算器或查表，只通过笔算求得某些特殊角（例如15°，75°，105°角等）的三角函数值。②能由两个单角,的三角函数值，求得它们和差角的三角函数值；能由两个单角,的三角函数值与这两个角的范围，求得两角和的大小（注意这两个条件缺一不可）。③能运用这些和（差）角公式以及其它有关公式证明三角恒等式或条件等式，化简三角函数式，要注意公式可以正用，逆用和变用。运用这些公式可求得简单三角函数式的最大值或最小值。（4）利用单角的三角函数表示半角的三角函数时应注意什么？先用二倍角公式导出221cos1cossin,cos2222，再把两式的左边、右边分别相除，得到21costan21cos，由此得到的三个公式：2cos12sin，2cos12cos，1costan21cos分别叫做正弦、余弦、正切的半角公式。公式中根号前的符号，由2所在的象限来确定，如果没有给出限制符号的条件，根号前面应保持正、负两个符号。另外，容易证明sin1costan21cossin。4.三角函数变换的方法总结三角学中，有关求值、化简、证明以及解三角方程与解几何问题等，都经常涉及到运用三角变换的解题方法与技巧，而三角变换主要为三角恒等变换。三角恒等变换在整个初等数学中涉及面广，是常用的解题工具，而且由于三角公式众多，方法灵活多变，若能熟练掌握三角恒等变换的技巧，不但能加深对三角公式的记忆与内在联系的理解，而且对发展数学逻辑思维能力，提高数学知识的综合运用能力都大有益处。下面通过例题的解题说明，对三角恒等变换的解题技巧作初步的探讨研究。（1）变换函数名对于含同角的三角函数式，通常利用同角三角函数间的基本关系式及诱导公式，通过“切割化弦”，“切割互化”，“正余互化”等途径来减少或统一所需变换的式子中函数的种类，这就是变换函数名法．它实质上是“归一”思想，通过同一和化归以有利于问题的解决或发现解题途径。【例1】已知θ同时满足2seccos2aba和2cossec2bab,且a、b均不为0，求a、b的关系。解析：已知22seccos2cossec2ababab①②显然有：cos0由①×cos2θ＋②×cosθ，得：2acos2θ＋2bcosθ=0即有：acosθ＋b=0又a≠0所以，cosθ＝－b/a③将③代入①得：a（－a/b）2－b（－b/a）＝2a即a4＋b4＝2a2b2∴（a2－b2）2＝0即｜a｜＝｜b｜点评：本例是“化弦”方法在解有关问题时的具体运用，主要利用切割弦之间的基本关系式。（2）变换角的形式对于含不同角的三角函数式，通常利用各种角之间的数值关系，将它们互相表示，改变原角的形式，从而运用有关的公式进行变形，这种方法主要是角的拆变．它应用广泛，方式灵活，如α可变为（α＋β）－β；2α可变为（α＋β）＋（α－β）；2α－β可变为（α－β）＋α；α／2可看作α／4的倍角；（45°＋α）可看成（90°＋2α）的半角等等。【例2】求sin（θ＋75°）＋cos（θ＋45°）－3cos（θ＋15°）的值。解析：设θ＋15°＝α，则原式＝sin（α＋60°）＋cos（α+30°）－3cosα＝（sinαcos60°＋cosαsin60°）＋（cosαcos30°－sinαsin30°）－3cosα＝21sinα＋23cosα＋23cosα－21sinα－3cosα＝0点评：本例选择一个适当的角为“基本量”，将其余的角变成某特殊角与这个“基本量”的和差关系，这也是角的拆变技巧之一。【例3】已知sinα＝Ａsin（α＋β）（其中cosβ≠A），试证明：tan（α＋β）＝Acossin证明：已知条件可变为：sin[（α＋β）－β]＝Ａsin（α＋β）所以有：sin（α＋β）cosβ－cos（α＋β）sinβ＝Ａsin（α＋β）∴sin（α＋β）（cosβ－Ａ）＝cos（α＋β）sinβ∴tan（α＋β）＝Acossin点评：在变换中通常用到视“复角”为“单角”的整体思想方法，它往往是寻找解题突破的关键。（3）以式代值利用特殊角的三角函数值以及含有1的三角公式，将原式中的1或其他特殊值用式子代换，往往有助于问题得到简便地解决。这其中以“1”的变换为最常见且最灵活。“1”可以看作是sin2x＋cos2x,sec2x－tan2x,csc2x－cot2x，tanxcotx,secxcosx,tan45°等，根据解题的需要，适时地将“1”作某种变形，常能获得较理想的解题方法。【例4】化简：xxxx4466cossin1cossin1解析：原式＝xxxxxxxx442266322cossin)cos(sincossin)cos(sin＝xxxxxx224224cossin2cossin3cossin3＝xxxxxx222222cossin2)cos(sincossin3＝23点评：1＝“xx22cossin”的正用、逆用在三角变换中应用十分广泛。（4）和积互化积与和差的互化往往可以使问题得到解决，升幂和降次实际上就是和积互化的特殊情形。这往往用到倍、半角公式。【例5】解三角方程：sin2x＋sin22x＝sin23x解析：原方程变形为：21（1－cos2x）＋21（1－cos4x）＝21（1－cos6x）即：1＋cos6x＝cos2x＋cos4x2cos23x＝2cos3xcosx得：cos3xsin2xsinx＝0解得：x＝31k＋6或x＝21k（Zk）∴原方程的解集为｛x|x＝31k＋6或x＝21k,Zk｝点评：题中先降次后升幂，这种交错使用的方法在解三角方程中时有出现，其目的是为了提取公因式。（5）添补法与代数恒等变换一样，在三角变换中有时应用添补法对原式作一定的添项裂项会使某些问题很便利地得以解决。将原式“配”上一个因子，同时除以这个式子也是添补法的一种特殊情形。【例6】求证：)1cos)(sin1cos(sin2sinxxxxx＝xxsincos1证明：左边＝)1cos)(sin1cos(sin1)cos(sin2xxxxxx＝xxxxxxsinsin)1cos(sin)1cos(sin＝xxxxxxsin)1cos(sin)cos1(sin)cos1(2＝xxxxxxsin)1cos(sin)sincos1)(cos1(＝xxsincos1＝右边∴原式成立。点评：本例中采用“加一项再减去一项”，“乘一项再除以一项”的方法，其技巧性较强，目的都是为了便于分解因式进行约分化简。（6）代数方法三角问题有时稍作置换，用各种代数方法对三角函数式作因式分解、等量置换等的变形，从而将三角问题转换成代数问题来解，而且更加简捷。这其中有设元转化、利用不等式等方法。【例7】锐角α、β满足条件1sincoscossin2424，则下列结论中正确的是（）A.α+β≠2B.α+β＜2C.α+β＞2D.α+β＝2解析：令sinba22cos,,则有11)1(22baba整理得：（a－b）2＝0即a＝b即：sin2α＝cos2β（α，β同为锐角）∴sinα＝cosβ∴α＋β＝2，故应选D。点评：本例用设元转化法将三角问题转化为代数问题。换元法这种数学思想应用十分广泛，往往能收到简捷解题的效果．（7）数形结合有的三角变换问题蕴含着丰富的几何直观，此时若能以数思形，数形渗透，两者交融，则可开辟解题捷径。利用单位圆，构造三角形，利用直线、曲线的方程等方法都是数形结合的思想。【例9】已知：41sinsin，31coscos，求)tan(的值。解析：∵点Ａ)sin,(cos，Ｂ)sin,(cos均在单位圆上。由已知条件知：AB的中点坐标为Ｃ（1/6,1/8），即直线ＡＢ过定点C如下图所示∠xOC＝22∴43)2tan(OCk∴据万能公式得：724)tan(点评：本题用和差化积公式也不难求得