热传导与热辐射大作业报告..

热传导与热辐射大作业报告热传导与热辐射大作业报告目录一、作业题目..............................................................................................................................-1-二、作业解答..............................................................................................................................-2-个人感想....................................................................................................................................-17-附件.计算中所用程序..............................................................................................................-18-热传导与热辐射大作业报告-1-一、作业题目一矩形平板ax0,by0，内有均匀恒定热源0g，在0x及0y处绝热，在ax及by处保持温度1T，初始时刻温度为0T，如右图1所示：1、求0t时，矩形区域内的温度分布tyxT,,的解析表达式；2、若ma18，mb12，301mWg，K6T001，KT2000，热传导系数KmWk0.1，热扩散系数20.8ms。请根据1中所求温度分布用MATLAB软件绘出下列结果，加以详细物理比较和分析：(a)300s内，在同一图中画出点)4,0(、)8,0(、0,6、)0,12(、)6,9(（单位：m）温度随时间的变化；(b)200s内，画出点)4,18(、)8,18(、12,6、)12,12(、)6,9(（单位：m）处，分别沿x、y方向热流密度值随时间的变化；(c)画出ssssst1501251007550、、、、时刻区域内的等温线；(d)300s内，在同一图中画出点0,9（单位：m）在0g分别等于31mW，32mW，33mW情况下的温度变化；(e)300s内，比较点(9,6)（单位：m）在其它参数不变情况下热导率分别为KmW5.0、KmW0.1和KmW5.1的温度、热流密度变化；(f)300s内，比较点(9,6)（单位：m）在其它参数不变情况下热扩散系数分别为sm24.0、sm28.0和sm22.1的温度、热流密度变化；3、运用有限差分法计算2中(b)、(d)和(e)，并与解析解结果进行比较，且需将数值解与解析解的相对误差减小到1‰以下；4、附上源程序和个人体会；以报告形式整理上述结果，用A4纸打印上交。热传导与热辐射大作业报告-2-二、作业解答1、求0t时，矩形区域内的温度分布tyxT,,的解析表达式；解答：我们令1TTθ，则可以得到一个方程和边界条件：t1kgyx02222T（1-1）.0,0dxdxa0x，0,0ydydby0，0t10，TT将上式分解为一个)yxs，（的稳态问题：0kgyx02s22s2（1-2）.0,0dsxdxa0sx，0,0ydydsby0s，和一个),,htyx（的其次问题：t1yx2222Thh（1-3）.0,0dxdxha0xh，0,0ydydh热传导与热辐射大作业报告-3-bhy0，其中),(),),(),hyxfyxyxFyxs（（则原问题的解根据下式求得：),,(),(),,tyxyxtyxhs（（1-4）发热强度为常数的特解可从表2-4中查的，则新变量)yxs，（可定义为：Axkg20s2)yx)yx，（，（（1-5）将（1-5）带入（1-2）整理得到：，（0y),(x),2222yxyxbyax0,0（1-6）.0,0dxdxaa220xAkg，0,0ydydbAxkgy220，若令常数202gakA，则上式可以变为：，（0y),(x),2222yxyxbyax0,0（1-7）.0,0dxdxa0x，0,0ydydbxfy)(，其中)(2)(220axkgxf假定),yx（可以分离出如下形式：热传导与热辐射大作业报告-4-)()(),yYxXyx（（1-8）对应于)()(yYxX和的分离方程为：0)()(d222xXdxxX（1-9）0,0xdxdXaxX，00)()(d222yYdyyY（1-10）0,0ydydYbyxfY，)(在)(xX中特征值问题的解可以直接从表2-2第6条中得到，只需要用a代替L，xxXmmcos),（（1-11）a2)1mN（（1-12）m是下面方程的正根：0acosm（1-13）方程（1-10）的解可以取为yhYmmcosy,）（（1-14）),yx（的完全解由下式组成：1coscosh),(mmmmxyCyx（1-15）热传导与热辐射大作业报告-5-此式满足热传导问题（1-7）及三个齐次边界条件，其中，系数mC可以根据方程的解还应满足非齐次的边界条件来决定。利用by的边界条件可得：1coscosh)(mmmmxbCxfax0（1-16）利用函数xmcos的正交性可以求得系数mC，ammdxxfxbNC0'''mm)(coscosh1）（（1-17）式中：3m0'2a01802'0''''sin)(2cos)(coskagdxaxkgxdxxfxmmm将这个表达式带入式（1-15），其中范数）（mN在前面已经给出，解得结果为301msincoscoshbcosh12),mmmmmkagxyayx（（1-18）则：Axkg20s2)yx)yx，（，（)(2singcoscoshbcosh12220301mxakgkaxyammmmm（1-19）假定),,(htyx分离成如下表达式)()()(),,(hyYxXttyx（1-20）对应于函数)(xX和)(yY的分离方程为热传导与热辐射大作业报告-6-)(xX：0)()(d222xXdxxXax0（1-21）0,0xdxdXaxX，0)(yY：0)()(d222yYdyyYby0（1-22）0,0ydydYbyY，0)(t的解为：tvt)(22ne)(（1-23）上述问题的完全解为：11)(h),(),(),,(22nmnvntmnyYxXeCtyxv（1-24）其中0xa,0yb。当t=0时，上式变为：11h),(),(),(mnvnnvyYxXCyx（1-25）其中0xa,0yb。确定未知系数mnC的方法是，在上式两边逐项用如下算子作运算：a0n),(dxxX及b0v),(dyyY并利用这些函数的正交性，得到：a0b0''''''vnnv),(),(),(1dydxyxyYxXNNChvn）（）（（1-26）热传导与热辐射大作业报告-7-最终得到问题的解为：11vn)(h),(),(1),,(22mnvntyYxXNNetyxvn）（）（a0b0''''''n),(),(dydxyxyYxXhv），（（1-27）式中出现的特征函数，特征值及范数可以从表2-2中直接查得：xxXnncos)(，（1-28）a2)(1nN（1-29）且m为如下方程的正根：0cosna（1-30）满足特征值问题的函数),(yYn对应于表2-2中的第6条，得到：yyYvcos),(v（1-31）b2)(1vN（1-32）且n是如下方程的正根：0bcosv最后得到：11)(hcoscos14),,(22nmnvntyxabetyxva0b0''''''n),(coscosdydxyxyxhv（1-33）令'''''v'na00),(coscosdydxyxyxIhba001''2203''010'')](2sincoscoshcoshk2[coscosbmmmmmmvndydxxakgaxybagTTyx热传导与热辐射大作业报告-8-a00''10''coscosbvndydxTTyx）（a001''3''0''sincoscoshcosh2coscosbmmmmmmvndydxaxybakgyxa00''220'')(2coscosbvndydxxakgyx其中令vnvnbvnbaTTdydxTTyxIsinsincoscos10a00''10''1）（）（令a001''3''0''2sincoscoshcosh2coscosbmmmmmmvndydxaxybakgyxI10b0''''''30coscoshcoscoscoshsin2mammvnmmmdydxxyyxbakag10b0''''''30coshcoscoscoscoshsin2mamvmnmmmdyyydxxxbakag根据余弦函数的正交性，只有当m=n时积分才不为0，故上式可以化为：anvnnnmdyyydxxxbakag0b0''''''3n0coshcoscoscoscoshsin2再令annadxxxI0'''212coscosbbhdyyyIvnvvnvsincoscoshcos22nb0'''22所以)(sinsincosh)1(2223n22213n02vnvmVnnbaIIbakgI令30a00''220''3sinsin)(2coscosnvnvbvnkabgdydxxakgyxI所以)()[(1222202010n321vnnvnvkgkgTTIIII由（1-4）、（1-19）及（1-33）可知)(2coscosh2),,(2201coshsin30xakgxytyxTmmmbakagmmm热传导与热辐射大作业报告-9-11v222202010n)(coscos])()[(sinsin422nmvnvnnvnvvmtyxkgkgTTbaeabv1T。以上是解析解的全过程，具体值的计算采用MATLAB编程计算求取。2、若ma18，mb12，301mWg，K6T001，KT2000，热传导系数KmWk0.1，热扩散系数20.8ms。请根据1中所求温度分布用MATLAB软件绘出下列结果，加以详细物理比较和分析：300s内，在同一图中画出点)4,0(、)8,0(、0,6、)0,12(、)6,9(（单位：m）温度随时间的变化；图1.不同点温度随时间变化曲线图分析：开始时刻通过右、上边界向内部导热，这时候尽管有内热源，但谁相对离右、上边界越近，温度曲线越陡。即开始