高中数学解题基本方法

1高中数学解题基本方法一、配方法配方法是对数学式子进行一种定向变形（配成“完全平方”）的技巧，通过配方找到已知和未知的联系，从而化繁为简。何时配方，需要我们适当预测，并且合理运用“裂项”与“添项”、“配”与“凑”的技巧，从而完成配方。有时也将其称为“凑配法”。最常见的配方是进行恒等变形，使数学式子出现完全平方。它主要适用于：已知或者未知中含有二次方程、二次不等式、二次函数、二次代数式的讨论与求解，或者缺xy项的二次曲线的平移变换等问题。配方法使用的最基本的配方依据是二项完全平方公式(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2，将这个公式灵活运用，可得到各种基本配方形式，如：a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝(a－b)2＋2ab；a2＋ab＋b2＝(a＋b)2－ab＝(a－b)2＋3ab＝(a＋b2)2＋（32b）2；a2＋b2＋c2＋ab＋bc＋ca＝12[(a＋b)2＋(b＋c)2＋(c＋a)2]a2＋b2＋c2＝(a＋b＋c)2－2(ab＋bc＋ca)＝(a＋b－c)2－2(ab－bc－ca)＝…结合其它数学知识和性质，相应有另外的一些配方形式，如：1＋sin2α＝1＋2sinαcosα＝（sinα＋cosα）2；x2＋12x＝(x＋1x)2－2＝(x－1x)2＋2；……等等。Ⅰ、再现性题组：1.在正项等比数列{an}中，a1a5+2a3a5+a3a7=25，则a3＋a5＝_______。2.方程x2＋y2－4kx－2y＋5k＝0表示圆的充要条件是_____。A.14k1B.k14或k1C.k∈RD.k＝14或k＝13.已知sin4α＋cos4α＝1，则sinα＋cosα的值为______。A.1B.－1C.1或－1D.04.函数y＝log12(－2x2＋5x＋3)的单调递增区间是_____。A.（－∞,54]B.[54,+∞)C.(－12,54]D.[54,3)5.已知方程x2+(a-2)x+a-1=0的两根x1、x2，则点P(x1,x2)在圆x2+y2=4上，则实数a＝_____。2【简解】1小题：利用等比数列性质ampamp＝am2，将已知等式左边后配方（a3＋a5）2易求。答案是：5。2小题：配方成圆的标准方程形式(x－a)2＋(y－b)2＝r2，解r20即可，选B。3小题：已知等式经配方成(sin2α＋cos2α)2－2sin2αcos2α＝1，求出sinαcosα，然后求出所求式的平方值，再开方求解。选C。4小题：配方后得到对称轴，结合定义域和对数函数及复合函数的单调性求解。选D。5小题：答案3－11。Ⅱ、示范性题组：例1.已知长方体的全面积为11，其12条棱的长度之和为24，则这个长方体的一条对角线长为_____。A.23B.14C.5D.6【分析】先转换为数学表达式：设长方体长宽高分别为x,y,z，则211424()()xyyzxzxyz,而欲求对角线长xyz222，将其配凑成两已知式的组合形式可得。【解】设长方体长宽高分别为x,y,z，由已知“长方体的全面积为11，其12条棱的长度之和为24”而得：211424()()xyyzxzxyz。长方体所求对角线长为：xyz222＝()()xyzxyyzxz22＝6112＝5所以选B。【注】本题解答关键是在于将两个已知和一个未知转换为三个数学表示式，观察和分析三个数学式，容易发现使用配方法将三个数学式进行联系，即联系了已知和未知，从而求解。这也是我们使用配方法的一种解题模式。例2.设方程x2＋kx＋2=0的两实根为p、q，若(pq)2+(qp)2≤7成立，求实数k的取值范围。【解】方程x2＋kx＋2=0的两实根为p、q，由韦达定理得：p＋q＝－k，pq＝2,(pq)2+(qp)2＝pqpq442()＝()()pqpqpq2222222＝[()]()pqpqpqpq2222222＝()k22484≤7，解得k≤－10或k≥10。3又∵p、q为方程x2＋kx＋2=0的两实根，∴△＝k2－8≥0即k≥22或k≤－22综合起来，k的取值范围是：－10≤k≤－22或者22≤k≤10。【注】关于实系数一元二次方程问题，总是先考虑根的判别式“Δ”；已知方程有两根时，可以恰当运用韦达定理。本题由韦达定理得到p＋q、pq后，观察已知不等式，从其结构特征联想到先通分后配方，表示成p＋q与pq的组合式。假如本题不对“△”讨论，结果将出错，即使有些题目可能结果相同，去掉对“△”的讨论，但解答是不严密、不完整的，这一点我们要尤为注意和重视。例3.设非零复数a、b满足a2＋ab＋b2=0，求(aab)1998＋(bab)1998。【分析】对已知式可以联想：变形为(ab)2＋(ab)＋1＝0，则ab＝ω（ω为1的立方虚根）；或配方为(a＋b)2＝ab。则代入所求式即得。【解】由a2＋ab＋b2=0变形得：(ab)2＋(ab)＋1＝0，设ω＝ab，则ω2＋ω＋1＝0，可知ω为1的立方虚根，所以：1＝ba，ω3＝3＝1。又由a2＋ab＋b2=0变形得：(a＋b)2＝ab，所以(aab)1998＋(bab)1998＝(aab2)999＋(bab2)999＝(ab)999＋(ba)999＝ω999＋999＝2。【注】本题通过配方，简化了所求的表达式；巧用1的立方虚根，活用ω的性质，计算表达式中的高次幂。一系列的变换过程，有较大的灵活性，要求我们善于联想和展开。【另解】由a2＋ab＋b2＝0变形得：(ab)2＋(ab)＋1＝0，解出ba＝132i后，化成三角形式，代入所求表达式的变形式(ab)999＋(ba)999后，完成后面的运算。此方法用于只是未132i联想到ω时进行解题。假如本题没有想到以上一系列变换过程时，还可由a2＋ab＋b2＝0解出：a＝132ib，直接代入所求表达式，进行分式化简后，化成复数的三角形式，利用棣莫佛定理完成最后的计算。Ⅲ、巩固性题组：1.函数y＝(x－a)2＋(x－b)2（a、b为常数）的最小值为_____。4A.8B.()ab22C.ab222D.最小值不存在2.α、β是方程x2－2ax＋a＋6＝0的两实根，则(α-1)2+(β-1)2的最小值是_____。A.－494B.8C.18D.不存在3.已知x、y∈R，且满足x＋3y－1＝0，则函数t＝2x＋8y有_____。A.最大值22B.最大值22C.最小值22B.最小值224.椭圆x2－2ax＋3y2＋a2－6＝0的一个焦点在直线x＋y＋4＝0上，则a＝_____。A.2B.－6C.－2或－6D.2或65.化简：218sin＋228cos的结果是_____。A.2sin4B.2sin4－4cos4C.－2sin4D.4cos4－2sin46.设F1和F2为双曲线x24－y2＝1的两个焦点，点P在双曲线上且满足∠F1PF2＝90°，则△F1PF2的面积是_________。7.若x－1，则f(x)＝x2＋2x＋11x的最小值为___________。8.已知2〈βα〈34π，cos(α-β)＝1213，sin(α+β)＝－35，求sin2α的值。(92年高考题)9.设二次函数f(x)＝Ax2＋Bx＋C，给定m、n（mn）,且满足A2[(m+n)2+m2n2]＋2A[B(m+n)－Cmn]＋B2＋C2＝0。①解不等式f(x)0；②是否存在一个实数t，使当t∈(m+t,n-t)时，f(x)0？若不存在，说出理由；若存在，指出t的取值范围。10.设s1，t1，m∈R，x＝logst＋logts，y＝logs4t＋logt4s＋m(logs2t＋logt2s),①将y表示为x的函数y＝f(x)，并求出f(x)的定义域；②若关于x的方程f(x)＝0有且仅有一个实根，求m的取值范围。二、换元法解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法。换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理。5换元法又称辅助元素法、变量代换法。通过引进新的变量，可以把分散的条件联系起来，隐含的条件显露出来，或者把条件与结论联系起来。或者变为熟悉的形式，把复杂的计算和推证简化。它可以化高次为低次、化分式为整式、化无理式为有理式、化超越式为代数式，在研究方程、不等式、函数、数列、三角等问题中有广泛的应用。换元的方法有：局部换元、三角换元、均值换元等。局部换元又称整体换元，是在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通过变形才能发现。例如解不等式：4x＋2x－2≥0，先变形为设2x＝t（t0），而变为熟悉的一元二次不等式求解和指数方程的问题。三角换元，应用于去根号，或者变换为三角形式易求时，主要利用已知代数式中与三角知识中有某点联系进行换元。如求函数y＝x＋1x的值域时，易发现x∈[0,1]，设x＝sin2α，α∈[0,2]，问题变成了熟悉的求三角函数值域。为什么会想到如此设，其中主要应该是发现值域的联系，又有去根号的需要。如变量x、y适合条件x2＋y2＝r2（r0）时，则可作三角代换x＝rcosθ、y＝rsinθ化为三角问题。均值换元，如遇到x＋y＝S形式时，设x＝S2＋t，y＝S2－t等等。我们使用换元法时，要遵循有利于运算、有利于标准化的原则，换元后要注重新变量范围的选取，一定要使新变量范围对应于原变量的取值范围，不能缩小也不能扩大。如上几例中的t0和α∈[0,2]。Ⅰ、再现性题组：1.y＝sinx·cosx＋sinx+cosx的最大值是_________。2.设f(x2＋1)＝loga(4－x4)（a1），则f(x)的值域是_______________。3.已知数列{an}中，a1＝－1，an1·an＝an1－an，则数列通项an＝___________。4.设实数x、y满足x2＋2xy－1＝0，则x＋y的取值范围是___________。5.方程1313xx＝3的解是_______________。6.不等式log2(2x－1)·log2(2x1－2)〈2的解集是_______________。【简解】1小题：设sinx+cosx＝t∈[－2,2]，则y＝t22＋t－12，对称轴t＝－1，当t＝2，ymax＝12＋2；2小题：设x2＋1＝t(t≥1)，则f(t)＝loga[-(t-1)2＋4]，所以值域为(－∞,loga4]；63小题：已知变形为11an－1an＝－1,设bn＝1an，则b1＝－1,bn＝－1＋(n－1)(-1)＝－n，所以an＝－1n；4小题：设x＋y＝k，则x2－2kx＋1＝0,△＝4k2－4≥0,所以k≥1或k≤－1；5小题：设3x＝y，则3y2＋2y－1＝0,解得y＝13，所以x＝－1；6小题：设log2(2x－1)＝y，则y(y＋1)2，解得－2y1，所以x∈(log254,log23)。Ⅱ、示范性题组：例1.实数x、y满足4x2－5xy＋4y2＝5（①式），设S＝x2＋y2，求1Smax＋1Smin的值。（93年全国高中数学联赛题）【分析】由S＝x2＋y2联想到cos2α＋sin2α＝1,于是进行三角换元，设xSyScossinαα代入①式求Smax和Smin的值。【解】设xSyScossinαα代入①式得：4S－5S·sinαcosα＝5解得S＝10852sinα；∵-1≤sin2α≤1∴3≤8－5sin2α≤13∴1013≤1085sin≤103∴1Smax＋1Smin＝310＋1310＝1610＝85此种解法后面求S最大值和最小值，还可由sin2α＝810SS的有界性而求，即解不等式：|810SS|≤1。这种方法是求函数值域时经常用到的“有界法”。【另解】由S＝x2＋y2，设x2＝S2＋t，y2＝S