导数的概念习题课

基础知识整合第三章导数及其应用A·数学·选修1-1菜单典型题例探究学习短板补救综合能力训练§3.1.2导数的概念基础知识整合第三章导数及其应用A·数学·选修1-1菜单典型题例探究学习短板补救综合能力训练[课标解读]1.通过具体的自然现象，认识函数的平均变化率.2.了解瞬时速度与平均速度的关系，进而了解瞬时变化率与平均变化率的关系，知道瞬时变化率即为导数.(难点）3.理解并掌握导数的定义，并体会导数的思想及其内涵.(重点）基础知识整合第三章导数及其应用A·数学·选修1-1菜单典型题例探究学习短板补救综合能力训练题型二求函数在某点处的导数[例2](1）函数y＝x在x＝1处的导数为________.(2）如果一个质点由定点A开始运动，在时间t的位移函数为y＝f(t）＝t3＋3，①当t1＝4，Δt＝0.01时，求Δy和比值ΔyΔt；②求t1＝4时的导数.基础知识整合第三章导数及其应用A·数学·选修1-1菜单典型题例探究学习短板补救综合能力训练【自主解答】(1）Δy＝1＋Δx－1，ΔyΔx＝1＋Δx－1Δx＝11＋Δx＋1，11＋Δx＋1＝12，所以y′|x＝1＝12.(2）①Δy＝f(t1＋Δt）－f(t1）＝3t21·Δt＋3t1·(Δt）2＋(Δt）3，故当t1＝4，Δt＝0.01时，Δy＝0.481201，ΔyΔt＝48.1201.基础知识整合第三章导数及其应用A·数学·选修1-1菜单典型题例探究学习短板补救综合能力训练②ΔyΔt＝[3t21＋3t1·Δt＋(Δt）2]＝3t21＝48，故函数y＝t3＋3在t1＝4处的导数是48，即y′|t1＝4＝48.【答案】(1）12(2）见自主解答基础知识整合第三章导数及其应用A·数学·选修1-1菜单典型题例探究学习短板补救综合能力训练[规律总结]1.求函数y＝f(x）在点x0处的导数的三个步骤简称：一差、二比、三极限.基础知识整合第三章导数及其应用A·数学·选修1-1菜单典型题例探究学习短板补救综合能力训练2.瞬时变化率的几种变形形式f（x0＋Δx）－f（x0）Δx＝f（x0－Δx）－f（x0）－Δx＝f（x0＋nΔx）－f（x0）nΔx＝f（x0＋Δx）－f（x0－Δx）2Δx＝f′(x0）.基础知识整合第三章导数及其应用A·数学·选修1-1菜单典型题例探究学习短板补救综合能力训练变式训练2.根据导数的定义求下列函数的导数.(1）求函数y＝x2＋3在x＝1处的导数；(2）求函数y＝1x在x＝a(a≠0）处的导数.解析(1）Δy＝f(1＋Δx）－f(1）＝[(1＋Δx）2＋3]－(12＋3）＝2Δx＋(Δx）2，∴ΔyΔx＝2Δx＋（Δx）2Δx＝2＋Δx.∴y′|x＝1＝(2＋Δx）＝2.基础知识整合第三章导数及其应用A·数学·选修1-1菜单典型题例探究学习短板补救综合能力训练(2）Δy＝f(a＋Δx）－f(a）＝1a＋Δx－1a＝a－（a＋Δx）a（a＋Δx）＝－Δxa（a＋Δx）.∴ΔyΔx＝－Δxa（a＋Δx）·1Δx＝－1a（a＋Δx）.∴y′|x＝a＝－1a（a＋Δx）＝－1a2.基础知识整合第三章导数及其应用A·数学·选修1-1菜单典型题例探究学习短板补救综合能力训练题型三求瞬时速度[例3]若一物体的运动方程为s＝29＋3（t－3）2，0≤t3，3t2＋2，t≥3，(路程单位：m，时间单位：s）.求：(1）物体在t＝3s到t＝5s这段时间内的平均速度；(2）物体在t＝1s时的瞬时速度.基础知识整合第三章导数及其应用A·数学·选修1-1菜单典型题例探究学习短板补救综合能力训练【自主解答】(1）因为Δs＝3×52＋2－(3×32＋2）＝48，Δt＝2，所以物体在t＝3s到t＝5s这段时间内的平均速度为ΔsΔt＝482＝24(m/s）.(2）因为Δs＝29＋3[(1＋Δt）－3]2－29－3×(1－3）2＝3(Δt）2－12Δt，所以ΔsΔt＝3（Δt）2－12ΔtΔt＝3Δt－12，则物体在t＝1s时的瞬时速度为s′(1）＝ΔsΔt＝(3Δt－12）＝－12(m/s）.基础知识整合第三章导数及其应用A·数学·选修1-1菜单典型题例探究学习短板补救综合能力训练[规律总结]1.求运动物体瞬时速度的三个步骤(1）求时间改变量Δt和位移改变量Δs＝s(t0＋Δt）－s(t0）.(2）求平均速度v－＝ΔsΔt.(3）求瞬时速度，当Δt无限趋近于0时，ΔsΔt无限趋近于常数v，即为瞬时速度.基础知识整合第三章导数及其应用A·数学·选修1-1菜单典型题例探究学习短板补救综合能力训练2.求ΔyΔx(当Δx无限趋近于0时）的极限的方法(1）在极限表达式中，可把Δx作为一个数来参与运算.(2）求出ΔyΔx的表达式后，Δx无限趋近于0就是令Δx＝0，求出结果即可.基础知识整合第三章导数及其应用A·数学·选修1-1菜单典型题例探究学习短板补救综合能力训练变式训练3.一个小球自由下落，它在下落3秒时的速度是多少？并说明它的意义(重力加速度为9.8m/s2）.解析自由落体的运动公式是s＝12gt2(其中g是重力加速度），Δs＝s(3＋Δt）－s(3）＝4.9(3＋Δt）2－4.9×32＝29.4Δt＋4.9(Δt）2，ΔsΔt＝29.4＋4.9Δt.所以v＝ΔsΔt＝(29.4＋4.9Δt）＝29.4(m/s）.说明在第3秒附近小球以29.4m/s的速率下降.基础知识整合第三章导数及其应用A·数学·选修1-1菜单典型题例探究学习短板补救综合能力训练学习短板补救易错误区(七）导数的概念理解不明典例剖析[典例]已知f(x）在x＝x0处的导数为4，则f（x0＋2Δx）－f（x0）Δx＝________.【解析】f（x0＋2Δx）－f（x0）Δx＝f（x0＋2Δx）－f（x0）2Δx×2＝2f（x0＋2Δx）－f（x0）2Δx＝2f′(x0）＝2×4＝8.【答案】8基础知识整合第三章导数及其应用A·数学·选修1-1菜单典型题例探究学习短板补救综合能力训练[易错防范]1.本题中x的增量是2Δx，即(x0＋2Δx）－x0＝2Δx，而分母为Δx，两者不同，若忽视这一点，则易得出结论为4的错误答案.2.在导数的概念中，增量的形式是多种多样的，但无论是哪种形式，分子中自变量的增量与分母中的增量必须保持一致，常见的形式还有：f（x0－Δx）－f（x0）Δx＝－f（x0－Δx）－f（x0）－Δx＝－f′(x0）.基础知识整合第三章导数及其应用A·数学·选修1-1菜单典型题例探究学习短板补救综合能力训练典题试解若函数f(x）在x＝a的导数为m，那么f（a＋2Δx）－f（a－2Δx）Δx的值为________.解析f（a＋2Δx）－f（a－2Δx）Δx＝f（a＋2Δx）－f（a）＋f（a）－f（a－2Δx）Δx＝f（a＋2Δx）－f（a）Δx＋f（a）－f（a－2Δx）Δx基础知识整合第三章导数及其应用A·数学·选修1-1菜单典型题例探究学习短板补救综合能力训练＝2f（a＋2Δx）－f（a）2Δx＋2f（a－2Δx）－f（a）－2Δx＝2m＋2m＝4m.答案4m