山东省济宁市某教育咨询有限公司2015届高三数学人教A版一轮复习课件：第2章 第13节 定积分与微积

第十三节定积分与微积分基本定理课堂限时检测挖掘１大技法抓住３个基础知识点掌握３个核心考向[考情展望]1.利用微积分基本定理直接计算定积分的值.2.利用定积分的几何意义，考查曲边梯形的面积.3.利用定积分求变力做功、变速运动的质点的运动路程．一、定积分的概念与性质1．定积分的定义如果函数f(x)在区间[a，b]上连续，用分点a＝x0x1…xi－1xi…xn＝b将区间[a，b]等分成n个小区间，在每个小区间[xi－1，xi]上任取一点ξi(i＝1,2，…，n)，作和式_____________________，当n→∞时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数f(x)在区间[a，b]上的定积分，记作___________，即abf(x)dx＝limn→∞i＝1nb－anf(ξi)．i＝1nf(ξi)Δx＝i＝1nb－anf(ξi)abf(x)dx2．定积分的几何意义(1)当f(x)≥0时，定积分abf(x)dx表示由直线____________________和曲线y＝f(x)所围成的曲边梯形的面积．(2)当f(x)在[a，b]上有正有负时，如图2－13－1所示，图2－13－1x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0则定积分abf(x)dx表示介于x轴，曲线y＝f(x)以及直线x＝a，x＝b(a≠b)之间各部分曲边梯形面积的代数和，即abf(x)dx＝__________________.3．定积分的基本性质①abkf(x)dx＝_____________.(k为常数)②ab[f1(x)±f2(x)]dx＝____________________.③abf(x)dx＝___________＋cbf(x)dx(其中acb)．A1＋A3－A2－A4kabf(x)dxabf1(x)dx±abf2(x)dxacf(x)dx定积分与曲边梯形的面积如图，设阴影部分面积为S.①S＝abf(x)dx；②S＝－abf(x)dx；③S＝acf(x)dx－cbf(x)dx；④S＝abf(x)dx－abg(x)dx＝ab[f(x)－g(x)]dx.二、微积分基本定理一般地，如果f(x)是在区间[a，b]上的连续函数，且F′(x)＝f(x)．那么abf(x)dx＝____________．这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿—莱布尼兹公式．其中F(x)叫做f(x)的一个原函数．为了方便，常把F(b)－F(a)记作_________，即abf(x)dx＝F(x)|ba＝F(b)－F(a)．F(x)|baF(b)－F(a)三、定积分在物理中的应用变速直线运动作变速直线运动的物体所经过的路程s，等于其速度函数v＝v(t)(v(t)≥0)在时间区间[a，b]上的定积分，即__________.变力做功如果物体在变力F(x)的作用下做直线运动，并且物体沿着与F(x)相同的方向从x＝a移动到x＝b(a＜b)，那么变力F(x)所做的功为__________.abF(x)dxabv(t)dt1．已知质点的速度v＝10t，则从t＝0到t＝t0质点所经过的路程是()A．10t20B．5t20C.103t20D.53t20【解析】S＝0t0vdt＝0t010tdt＝5t2|t00＝5t20.【答案】B2．求曲线y＝x2与y＝x所围成图形的面积，其中正确的是()A．S＝01(x2－x)dxB．S＝01(x－x2)dxC．S＝01(y2－y)dyD．S＝01(y－y)dy【解析】由y＝x2y＝x得x＝0y＝0或x＝1y＝1，∴S＝01(x－x2)dx，故选B.【答案】B3．设f(x)＝x2x≥02xx＜0，则1－1f(x)dx的值是()A.1－1x2dxB.1－12xdxC.0－1x2dx＋012xdxD.0－12xdx＋01x2dx【解析】由分段函数的定义及积分运算性质，∴1－1f(x)dx＝0－12xdx＋01x2dx.【答案】D4．如果01f(x)dx＝1，02f(x)dx＝－1，则12f(x)dx＝________.【解析】∵02f(x)dx＝01f(x)dx＋12f(x)dx＝1＋12f(x)dx＝－1，∴12f(x)dx＝－2.【答案】－25．(2013·湖北高考)一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度v(t)＝7－3t＋251＋t(t的单位：s，v的单位：m/s)行驶至停止．在此期间汽车继续行驶的距离(单位：m)是()A．1＋25ln5B．8＋25ln113C．4＋25ln5D．4＋50ln2【解析】由v(t)＝7－3t＋251＋t＝0，可得t＝4t＝－83舍去，因此汽车从刹车到停止一共行驶了4s，此期间行驶的距离为04v(t)dt＝047－3t＋251＋tdt＝7t－32t2＋25lnt＋140＝4＋25ln5.【答案】C6．(2013·湖南高考)若0Tx2dx＝9，则常数T的值为________．【解析】∵0Tx2dx＝13x3T0＝T33＝9，∴T＝3.【答案】3考向一[044]定积分的计算(1)(2014·西安模拟)若∫π20(sinx＋acosx)dx＝2，则实数a等于()A．－1B．1C.3D．－3(2)定积分039－x2dx的值为()A．9πB．3πC.94πD.92π(3)设f(x)＝x2x∈[0，1]1xx∈1，e](e为自然对数的底数)，则0ef(x)dx的值为________．【思路点拨】(1)寻求使F′(x)＝sinx＋acosx的F(x)，运用微积分基本定理求值；(2)利用定积分的几何意义求解；(3)f(x)是分段函数，故根据定积分的性质把所求定积分转化为两个定积分和的形式求解．【尝试解答】(1)∵(asinx－cosx)′＝sinx＋acosx.∴∫π20(sinx＋acosx)dx＝(asinx－cosx)|π20＝asinπ2－cosπ2－(asin0－cos0)＝a＋1＝2.∴a＝1.(2)由定积分的几何意义知，039－x2dx是由曲线y＝9－x2，直线x＝0，x＝3，y＝0围成的封闭图形的面积，故039－x2dx＝π·324＝9π4，故选C.(3)∵f(x)＝x2x∈[0，1]1xx∈1，e]，∴0ef(x)dx＝01x2dx＋1e1xdx＝13x3|10＋lnx|e1＝13＋lne＝43.【答案】(1)B(2)C(3)43规律方法11.用微积分基本定理求定积分，关键是求出被积函数的原函数.此外，如果被积函数是绝对值函数或分段函数，那么可以利用定积分对积分区间的可加性，将积分区间分解，代入相应的解析式，分别求出积分值相加.2.根据定积分的几何意义可利用面积求定积分.3.若y＝fx为奇函数，则a-a－afxdx＝0.对点训练(1)02|1－x|dx＝________.(2)0－11－x2dx＝________.【解析】(1)02|1－x|dx＝01|1－x|dx＋12|1－x|dx＝01(1－x)dx＋12(x－1)dx＝x－12x2|10＋12x2－x|21＝1.(2)由定积分的几何意义知，0－11－x2dx是由曲线y＝1－x2，直线x＝－1，x＝0，y＝0围成的封闭图形的面积，故0－11－x2dx＝π·124＝π4.【答案】(1)1(2)π4考向二[045]利用定积分求平面图形的面积(1)(2014·烟台模拟)如图2－13－2，设OABC是图中边长分别为1和2的矩形区域，则矩形OABC内位于函数y＝1x(x＞0)图象下方的阴影部分区域面积为()A．ln2B．1－ln2C．2－ln2D．1＋ln2图2－13－2(2)(2014·广州模拟)曲线y＝x2与直线y＝kx(k＞0)所围成的曲边图形的面积为43，则k＝________.【思路点拨】(1)分割阴影部分的面积→求y＝1xx＞0与矩形OABC的交点→定积分的几何意义求值(2)先求交点坐标，确定积分区间，再利用定积分的几何意义求面积．【尝试解答】(1)如图，过D作DE⊥x轴于点E，由图可知，S阴影＝SOEDC＋1211xdx＝12×2＋lnx＝1＋ln2.(2)由y＝x2，y＝kx得x＝0，y＝0或x＝k，y＝k2，则曲线y＝x2与直线y＝kx(k＞0)所围成的曲边梯形的面积为0k(kx－x2)dx＝k2x2－13x3|k0＝k32－13k3＝43，即k3＝8，∴k＝2.【答案】(1)D(2)2规律方法21.求曲边图形面积的方法与步骤,1画图，并将图形分割为若干个曲边梯形；2对每个曲边梯形确定其存在的范围，从而确定积分的上、下限；3确定被积函数；4求出各曲边梯形的面积和，即各积分的绝对值的和.2.利用定积分求曲边图形面积时，一定要找准积分上限、下限及被积函数.当图形的边界不同时，要分不同情况讨论.对点训练(1)(2014·贵阳模拟)由直线x＝－π3，x＝π3，y＝0与曲线y＝cosx所围成的封闭图形的面积为()A.12B．1C.32D.3图2－13－3(2)已知函数f(x)＝－x3＋ax2＋bx(a，b∈R)的图象如图2－13－3所示，它与x轴在原点处相切，且x轴与函数图象所围区域(图中阴影部分)的面积为112，则a的值为________．【解析】(1)由题意知S＝∫π3－π3cosxdx＝sinx|π3－π3＝32－－32＝3.(2)f′(x)＝－3x2＋2ax＋b，∵f′(0)＝0，∴b＝0，∴f(x)＝－x3＋ax2，令f(x)＝0，得x＝0或a(a＜0)．S阴影＝－a0(－x3＋ax2)dx＝112a4＝112，∴a＝－1.【答案】(1)D(2)－1考向三[046]定积分物理意义的应用物体A以v＝3t2＋1(m/s)的速度在一直线l上运动，物体B在直线l上，且在物体A的正前方5m处，同时以v＝10t(m/s)的速度与A同向运动，出发后，物体A追上物体B所用的时间t(s)为()A．3B．4C．5D．6【思路点拨】利用定积分分别计算出物体A、B行驶的路程，然后利用它们之间的关系求解．【尝试解答】因为物体A在t秒内行驶的路程为0t(3t2＋1)dt，物体B在t秒内行驶的路程为0t10tdt，所以0t(3t2＋1－10t)dt＝(t3＋t－5t2)|t0＝t3＋t－5t2＝5⇒(t－5)(t2＋1)＝0，即t＝5.故选C.【答案】C规律方法3利用定积分解决变速直线运动问题和变力做功问题时，关键是求出物体做变速直线运动的速度函数和变力与位移之间的函数关系，确定好积分区间，得到积分表达式，再利用微积分基本定理计算即得所求.对点训练设变力F(x)作用在质点M上，使M沿x轴正向从x＝1运动到x＝10，已知F(x)＝x2＋1且方向和x轴正向相同，则变力F(x)对质点M所做的功为________J(x的单位：m，力的单位：N)．【解析】由题意知变力F(x)对质点M所做的功为∫101(x2＋1)dx＝13x3＋x|101＝342.【答案】342易错易误之五定积分的几何意义不明不白———[1个示范例]———[1个防错练]———(2011·课标全国卷)由曲线y＝x，直线y＝x－2及y轴所围成的图形的面积为()A.103B．4C.