函数方程与零点(精)

第1页共10页函数的零点.【高考考情解读】常考查：1.结合函数与方程的关系，求函数的零点．2.结合根的存在性定理或函数图像，对函数是否存在零点或存在零点的个数进行判断．3.判定函数零点(方程的根)所在的区间．4.利用零点(方程实根)的存在求相关参数的值或取值范围．高考题突出数形结合思想与函数方程思想的考查，以客观题的形式为主．(1)函数与方程的关系：函数f(x)有零点⇔方程f(x)＝0有根⇔函数f(x)的图象与x轴有交点⇔f(x)与g(x)有交点⇔f(x)=g(x)．函数F(x)＝f(x)－g(x)的零点就是方程f(x)＝g(x)的根，即函数y＝f(x)的图像与函数y＝g(x)的图像交点的横坐标．(2)函数f(x)的零点存在性定理：如果函数f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的曲线，并且有f(a)·f(b)0，那么，函数f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使f(c)＝0.注：①如果函数f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的曲线，并且函数f(x)在区间[a，b]上是一个单调函数，那么当f(a)·f(b)0时，函数f(x)在区间(a，b)内有唯一的零点，即存在唯一的c∈(a，b)，使f(c)＝0.②如果函数f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的曲线，并且有f(a)·f(b)0，那么，函数f(x)在区间(a，b)内不一定没有零点．③如果函数f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的曲线，那么当函数f(x)在区间(a，b)内有零点时不一定有f(a)·f(b)0，也可能有f(a)·f(b)0.(3)判定函数零点的方法:①解方程法；②利用零点存在性定理判定；③数形结合法，尤其是方程两端对应的函数类型不同的方程多以数形结合求解．(2013·重庆)若abc，则函数f(x)＝(x－a)(x－b)＋(x－b)(x－c)＋(x－c)(x－a)的两个零点分别位于区间()A．(a，b)和(b，c)内B．(－∞，a)和(a，b)内C．(b，c)和(c，＋∞)内D．(－∞，a)和(c，＋∞)内(2)函数f(x)＝lnx－x2＋2xx0，2x＋1x≤0，的零点个数是()第2页共10页A．0B．1C．2D．3答案(1)A(2)D解析(1)由于abc，所以f(a)＝0＋(a－b)(a－c)＋00，f(b)＝(b－c)(b－a)0，f(c)＝(c－a)(c－b)0.因此有f(a)·f(b)0，f(b)·f(c)0，又因f(x)是关于x的二次函数，函数的图象是连续不断的曲线，因此函数f(x)的两零点分别位于区间(a，b)和(b，c)内，故选A.(2)依题意，当x0时，在同一个直角坐标系中分别作出y＝lnx和y＝x2－2x＝(x－1)2－1的图象，可知它们有两个交点；当x≤0时，作出y＝2x＋1的图象，可知它和x轴有一个交点．综合知，函数y＝f(x)有三个零点．(1)函数零点(即方程的根)的确定问题，常见的有①函数零点值大致存在区间的确定；②零点个数的确定；③两函数图象交点的横坐标或有几个交点的确定．解决这类问题的常用方法有解方程法、利用零点存在的判定或数形结合法，尤其是方程两端对应的函数类型不同的方程多以数形结合求解．(2)提醒：函数的零点不是点，是方程f(x)＝0的根，即当函数的自变量取这个实数时，其函数值等于零．函数的零点也就是函数y＝f(x)的图象与x轴的交点的横坐标．(1)(2012·天津)函数f(x)＝2x＋x3－2在区间(0,1)内的零点个数是()A．0B．1C．2D．3(2)已知函数f(x)＝ax＋x－b的零点x0∈(n，n＋1)(n∈Z)，其中常数a、b满足2a＝3,3b＝2，则n＝________.答案(1)B(2)－1解析(1)先判断函数的单调性，再确定零点．因为f′(x)＝2xln2＋3x20，所以函数f(x)＝2x＋x3－2在(0,1)上递增，且f(0)＝1＋0－2＝－10，f(1)＝2＋1－2＝10，所以有1个零点．(2)f(x)＝ax＋x－b的零点x0就是方程ax＝－x＋b的根．设y1＝ax，y2＝－x＋b，故x0就是两函数交点的横坐标，如图，当x＝－1时，y1＝1a＝log32y2＝1＋b＝1＋log32，∴－1x00，∴n＝－1.(2013·青岛模拟)函数f(x)＝log2x－1x的零点所在的区间为()A．(0,1)B．(1,2)C．(2,3)D．(3,4)[解答]由f(1)＝－10，f(2)＝120可得f(x)在(1,2)内必有零点．第3页共10页[答案]B2.若函数f(x)＝1－|x－1|，x∈－∞，2，12fx－2，x∈[2，＋∞，则函数F(x)＝xf(x)－1的零点的个数为()A．4B．5C．6D．7[解答]据题意，函数F(x)＝xf(x)－1的零点个数可转化为函数y＝f(x)与函数y＝1x图像交点的个数，在同一坐标系中画出两个函数图像如图所示：由图可知共有6个交点，故函数F(x)＝xf(x)－1的零点个数为6.[答案]C(2013·武汉模拟)定义运算M：x⊗y＝|y|，x≥y，x，xy.设函数f(x)＝(x2－3)⊗(x－1)，若函数y＝f(x)－c恰有两个零点，则实数c的取值范围是()A．[－3，－2)B．[－3，－2]∪[3，＋∞)C．[－2,2]D．(－3，－2)∪[2，＋∞)[解答]由x2－3≥x－1解得x≤－1或x≥2，所以f(x)＝|x－1|，x≤－1或x≥2，x2－3，－1x2.函数y＝f(x)－c恰有两个零点，即函数y＝f(x)，y＝c的图像恰有两个交点，作出函数y＝f(x)，y＝c的图像如图，由图可知－3c－2或c≥2时，两个图像有两个不同的交点，故实数c的取值范围是(－3，－2)∪[2，＋∞)．[答案]D3．函数f(x)＝2x－2x－a的一个零点在区间(1,2)内，则实数a的取值范围是()A．(1,3)B．(1,2)C．(0,3)D．(0,2)解析：∵函数f(x)有一个零点在(1,2)内，∴f(1)·f(2)0，即－a(3－a)0，∴0a3.答案：C4．若函数f(x)＝kx＋1，x≤0，lnx，x0，则当k0时，函数y＝f[f(x)]＋1的零点个数为()A．1B．2C．3D．4解析：结合图像分析，当k0时，f[f(x)]＝－1，则f(x)＝t1∈－∞，－1k或f(x)＝t2∈(0,1)．对第4页共10页于f(x)＝t1，存在两个零点x1，x2；对于f(x)＝t2，存在两个零点x3，x4，共存在4个零点．(2013·潍坊模拟)函数f(x)＝－x2＋12x，x0，lnx＋1，x≥0.若函数y＝f(x)－kx有三个零点，则k的取值范围为________．[考题揭秘]本题考查二次函数、对数函数的图像、性质以及函数的零点问题，意在考查考生的推理论证能力、运算求解能力、转化与化归能力以及数形结合思想的运用能力．[审题过程]第一步：审条件．题目已知函数f(x)的解析式以及函数y＝f(x)－kx有三个零点．第二步：审结论．求实数k的取值范围．第三步：建联系．问题等价于函数y＝f(x)的图像与直线y＝kx有三个不同的交点[规范解答]显然x＝0是函数y＝f(x)－kx的一个零点．因此只要函数y＝f(x)的图像与直线y＝kx的图像在x≠0时有两个不同的交点即可．又函数f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增，结合函数图像，只需寻找函数y＝f(x)的图像与直线y＝kx有两个交点的条件即可．…………………………………………………………①画出函数y＝f(x)及y＝kx的图像，如图所示．当直线y＝kx与曲线y＝ln(x＋1)相切时，y′＝1x＋1在x＝0时恰好等于1，即k＝1，所以直线y＝x与曲线y＝ln(x＋1)恰好相切于坐标原点．结合图像，可知只有当0k1时，y＝kx与y＝ln(x＋1)的图像在(0，＋∞)上只有一个交点．同理，直线y＝12x与曲线y＝－x2第5页共10页＋12x在坐标原点相切，结合函数的图像，可知只有当k12时，函数y＝kx与函数y＝－x2＋12x的图像在(－∞，0)上才存在交点．………………………………………………………③要使y＝f(x)－kx有三个零点，则k的值为上述两个k值的交集，故12k1.…………………………………………………………………………④[答案]12，11．设方程3x＝|lg(－x)|的两个根为x1，x2(x1x2)，则()A．x1x20B．x1x2＝0C．x1x21D．0x1x22解析：在同一平面直角坐标系中画出函数y＝3x和y＝|lg(－x)|的图像，可知－2x1－1，－1x20，所以0x1x22.答案：D2．当x∈(3,4)时，不等式loga(x－2)＋(x－3)20恒成立，则实数a的取值范围是()A．[2，＋∞)B．(1,2]C.1,21D．21,0解析：由loga(x－2)＋(x－3)20知(x－3)2－loga(x－2)＝)2(log1xa，要使函数y＝)2(log1xa(x∈(3,4))的图像在函数y＝(x－3)2(x∈(3,4))的图像的上方，则1a1，数形结合可知)24(log1a≥(4－3)2，即2log1a≥aa1log1，故1a≤2，a≥12，故12≤a1.答案：C1．已知函数f(x)＝(13)x－log2x，实数a，b，c满足f(a)·f(b)·f(c)0(0abc)，若实数x0为方程f(x)＝0的一个解，那么下列不等式中，不可能成立的是()A．x0bB．x0bC．x0cD．x0c第6页共10页答案D解析函数f(x)＝(13)x－log2x，在其定义域(0，＋∞)上是减函数，∵0abc，∴f(a)f(b)f(c)．又∵f(a)f(b)f(c)0，则f(a)0，f(b)0，f(c)0，或者f(a)0，f(b)0，f(c)0.若f(a)0，f(b)0，f(c)0，则x0a，若f(a)0，f(b)0，f(c)0，则bx0c，故x0c不可能成立，故选D.2．若f(x)＋1＝1fx＋1，当x∈[0,1]时，f(x)＝x，若在区间(－1,1]内，g(x)＝f(x)－mx－m有两个零点，则实数m的取值范围是()A．[0，12)B．[12，＋∞)C．[0，13)D．(0，12]答案D解析根据方程与函数关系．设x∈(－1,0)，则x＋1∈(0,1)，∴f(x)＝1fx＋1－1＝1x＋1－1，∴画出f(x)在(－1,1]上的图象(如右图)，g(x)＝f(x)－mx－m在(－1,1]上有两个零点，即f(x)＝m(x＋1)有两个不同根，即y＝f(x)与y＝m(x＋1)有两个不同交点．如右图，当过(－1,0)的直线处于l与x轴之间时，满足题意，则0m≤12.1．卖店函数f(x)＝log2x－1x的零点所在的区间为()A．(0，12)B．(12，1)C．(1,2)D．(2,3)解析函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，且函数f(x)在(0，＋∞)上为增函数．f(12)＝log212－112＝－1－2＝－30，f(1)＝log21－11＝0－10，f(2)＝log22－12＝1－12＝120，f(3)＝log23－131－13＝230，即f(1)·f(2)0，∴函数f(x)＝log2x－1x的零点在区间(1,2)内．第7页共10页答案C(2011·新课标全国)在下列区间中，函数f(x)＝ex＋4x－3的零点所在区间为()．A．－14，0B．0，14C．14，12D．12，34解析f(0)＝－2＜0，f14＝e14＋4×14－3＜0，f12＝e12＋4×12－3＝e12－1＞0，又∵f(x)为R上的增函数，且f(14)·f(12)＜0，故选C.7．函数f(x)＝x2－2x的零点个数为_