函数极限存在的条件

第三节函数极限存在的条件一、极限存在准则1.夹逼准则准则Ⅰ如果数列nnyx,及nz满足下列条件:,lim,lim)2()3,2,1()1(azaynzxynnnnnnn那末数列nx的极限存在,且axnnlim.证,,azaynn使得,0,0,021NN,1ayNnn时恒有当},,max{21NNN取恒有时当,Nn,ayan即,2azNnn时恒有当,azan上两式同时成立,,azxyannn,成立即axn.limaxnn上述数列极限存在的准则可以推广到函数的极限准则Ⅰ′如果当)(00xUx(或Mx)时,有,)(lim,)(lim)2(),()()()1()()(00AxhAxgxhxfxgxxxxxx那末)(lim)(0xfxxx存在,且等于A.注意:.,的极限是容易求的与并且与键是构造出利用夹逼准则求极限关nnnnzyzy准则和准则'称为夹逼准则.例1).12111(lim222nnnnn求解,11112222nnnnnnnnnnnnnn111limlim2又,122111lim1limnnnnn,1由夹逼定理得.1)12111(lim222nnnnnx1x2x3x1nxnx2.单调有界准则满足条件如果数列nx,121nnxxxx单调增加,121nnxxxx单调减少单调数列准则Ⅱ单调有界数列必有极限.几何解释:AM例2.)(333的极限存在式重根证明数列nxn证,1nnxx显然;是单调递增的nx,331x又,3kx假定kkxx3133,3;是有界的nx.lim存在nnx,31nnxx,321nnxx),3(limlim21nnnnxx,32AA2131,2131AA解得(舍去).2131limnnxAC二、两个重要极限(1)1sinlim0xxx)20(,,xxAOBO圆心角设单位圆,tan,,sinACxABxBDx弧于是有xoBD.ACO，得作单位圆的切线,xOAB的圆心角为扇形,BDOAB的高为,tansinxxx,1sincosxxx即.02也成立上式对于x,20时当xxxcos11cos02sin22x2)2(2x,22x,02lim20xx,0)cos1(lim0xx,1coslim0xx,11lim0x又.1sinlim0xxx例3.cos1lim20xxx求解2202sin2limxxx原式220)2(2sinlim21xxx20)22sin(lim21xxx2121.21(2)exxx)11(lim定义ennn)11(limnnnx)11(设21!2)1(1!11nnnnn).11()21)(11(!1)11(!2111nnnnnnnnnnnnn1!)1()1().11()221)(111()!1(1)111()221)(111(!1)111(!21111nnnnnnnnnnnxn,1nnxx显然;是单调递增的nx!1!2111nxn1212111n1213n,3;是有界的nx.lim存在nnxennn)11(lim记为)71828.2(e类似地,,1时当x,1][][xxx有,)][11()11()1][11(1][][xxxxxx)][11(lim)][11(lim)][11(lim][1][xxxxxxxx而,e11][][)1][11(lim)1][11(lim)1][11(limxxxxxxxx,e.)11(limexxx,xt令ttxxtx)11(lim)11(limttt)111(lim)111()111(lim1tttt.eexxx)11(lim,1xt令ttxxtx)11(lim)1(lim10.eexxx10)1(lim例4.)11(limxxx求解xxx)11(1lim1])11[(limxxx原式.1e例5.)23(lim2xxxx求解422)211(])211[(limxxxx原式.2e三、小结1.两个准则2.两个重要极限夹逼准则;单调有界准则.;1sinlim10某过程.)1(lim210e某过程,为某过程中的无穷小设思考题求极限xxxx193lim思考题解答xxxx193limxxxxx111319limxxxxx313311lim9990e.__________3cotlim40xxx、一、填空题:._________sinlim10xxx、.__________3sin2sinlim20xxx、.__________2sinlim5xxx、._________)1(lim610xxx、练习题.__________cotlim30xxx、arcxxx2tan4)(tanlim2、._________)1(lim72xxxx、._________)11(lim8xxx、xxxxsin2cos1lim10、xxaxax)(lim3、二、求下列各极限:nnnn)11(lim42、5、nnnn1)321(lim三、利用极限存在准则证明数列,......222,22,2的极限存在，并求出该极限.一、1、；2、32；3、1；4、31；5、0；6、e；7、2e；8、e1；二、1、2；2、e1；3、ae2；4、1e；5、3.三、2limnxx.练习题答案