刚体

本章结构框图基本要求1.理解转动惯量及其计算；2.掌握角动量，角动量定理和角动量守恒定律，并能熟练运用它们解决问题；3.熟练掌握并运用力矩概念和刚体定轴转动定律解题；4.了解旋进运动和角动量守恒与空间旋转对称性。1.转动惯量质点系或刚体绕定轴转动时，每个质点的质量与该质点到转轴距离的平方之积的总和称为质点系或刚体对转轴的转动惯量。质点分立的质点系质量连续分布的质点系通常规则物体的转动惯量可查表得到。2.角动量(1)质点的角动量做任意曲线运动的质点，某时刻质点相对于选定参考点的角动量定义为其中m为质点质量，为质点相对参考点O的位矢，为质点的动理。角动量L是矢量，方向垂直于r与组成的平面，大小，为r与p的夹角。(2)质点系的角动量质点系内所有质点对同一参考点的角动量的质量和称为质点系对该参考点的角动量。其中称为轨道角动量，称为自旋角动量。(3)定轴转动刚体的角动量刚体定轴转动时，其上所有质点均在转动平面内绕轴作圆周运动，且各质点转动的角速度相同，因此，定轴转动刚体对轴的总角动量为3.力矩力的作用点对参考点的位矢与力的矢积称为力对该参考点的力矩，当刚体绕定轴转动时，对于作用在刚体上的力F，可以证明(参见教材P.82)只有F在转动平面内的分量产生的力矩影响刚体绕轴的转动状态，该力矩一定平行时轴，称为F对轴的力矩。注意：①若力的作用线通过参考点或转轴，这种力称为有心力。显然，有心力对力心的力矩恒为零。②一对内力总是等大反向，作用在同一直线上，因此，一对内力对同一参考点的力矩之和恒为零。③对质点系而言，合力矩是指作用于质点系的各个力矩的矢量和，而不是合力的力矩。当外力的矢量和为零时，合外力矩不一定为零。4.刚体定轴转动的定律力矩的瞬时作用效果是产生角加速度；刚体定轴转动的角加速度的大小与刚体所受的对该轴的合外力矩成正比，与刚体对该轴的转动惯量成反比。5.角动量定理（1）质点的角动量定理质点所受合力矩的角冲量等于质点角动量的增量,即（2）定点系的角动量定理质点系所受合外力矩的角冲量等于质点系角动量的增量,即（3）定轴转动刚体的角动量定理6.角动量守恒定律由质点的角动量定理可知，当时,即L=恒矢量。即若对某一固定参考点，质点所受的合力矩为零，则质点对该定点的角动量不随时间变化。同理，由质点系和定轴转动刚体的角动量定理可得，当质点系所受外力对某参考点的力矩的矢量和为零时，质点系对该参考点的角动量L=恒矢量；当刚体所受的对转轴的合外力矩为零时，刚体对转轴的角动量不随时间变化。7.角动量守恒与空间旋转对称性角动理守恒定律是自然界物质运动的普遍规律，不论是宏观物质还是微观物质的运动都必然遵守这个规律，其原因是空间具有旋转对称性，物理定律对所有的空间方向都是等价的。重点与难点1.重点质点，质点系和定轴转动刚体的角动量定义。刚体定轴转动定律及应用。质点和质点系角动量定理及应用。角动量守恒定律及应用2.难点①区别动量定理和角动量定理。②区别动量守恒定律和角动量守恒定律的条件，并能综合运用。③动量及动量定理、角动量及角动量定理是否与参考系的选择有关。1.动量及动量定理，角动量与角动量定理是否与参考系选择有关？质点动量，角动量，由于v和r都是相对量，与参考系的选择有关，所以，动量和角动量应与参考系的选择有关。动量定理和角动量定理只适用于惯性系，对于非惯性系，该两定理不成立。2.区别动量定理与角动量定理动量定理表示质点或质点系的动量改变与质点或质点系所受的合力的时间累积--冲量相对应；角动量定理表示质点或质点系的角动量的改变与质点或质点系所受的外力矩的矢量和的时间累积--角冲量相对应。两者是不同的概念。例如：有力作用下的质点系（太阳地球系统），地球在太阳引力作用下，动量不断发生变化，但角动量却始终不变，因引力通过力心（太阳），对力心的力矩始终为零。3.动量和角动量守恒的条件质点或质点系所受合外力为零时，质点或质点系的动量将保持不变。质点或质点系对某一参考点或参考轴的合外力矩为零时，质点或质点系对该参考点或参考轴的角动量保持不变。在实际问题中要认真区别两个守恒定律成立的条件。许多情况下，系统对某一参考点的力矩矢量和为零时，系统所受外力不一定为零。即系统角动量守恒时，动量不一定守恒。反之，系统所受合外力为零时，合外力矩不一定为零，即系统动量守恒时，角动量不一定是守恒。（参看教材P.91【例2】）。对质点系而言，内力总是成对出现，大小相等方向相反，作用在同一直线上，因此，内力的矢量和及内力对某一参考点或参考轴的力矩的矢量和始终为零，因此，内力不改变系统的总动量，内力矩不改变系统的角动量。例1水分子的形状如图5-2所示。从光谱分析得知水分子对AA′轴的转动惯量是，对BB′轴的转动惯量是。试由此数据和各原子的质量求出氢和氧原子间的距离d和夹角。假设各原子都可当质点处理。解：由图可得此二式相加，可得上二式相比，可得例2一质量m=2200kg的汽车以的速度沿一平直公路开行。求汽车对公路一侧距公路d=50m的一点的角动量是多大？对公路上任一点的角动量又是多大？解：如图5-3所示，汽车对公路一侧距公路d=50m的一点P1的角动量的大小为汽车对公路上任一点P2的角动量的大小为例3两个质量均为m的质点，用一根长为2a、质量可忽略不计的轻杆相联，构成一个简单的质点组。如图5-4所示，两质点绕固定轴OZ以匀角速度转动，轴线通过杆的中点O与杆的夹角为，求质点组对O点的角动量大小及方向。解:设两质点A、B在图示的位置，它们对O点的角动量的大小相等、方向相同（与OA和mv组成的平面垂直）。角动量的大小为例4如图5-5所示，转轴平行的两飞轮Ⅰ和Ⅱ，半径分别为R1、R2。对各自转轴的转动惯量分别为J1、J2。Ⅰ轮转动的角速度为，Ⅱ轮不转动。移动Ⅱ轮使两轮缘互相接触。两轴仍保持平行，由于摩擦，两轮的转速会变化。问转动稳定后，两轮的角速度各为多少？辨析:首先分析系统所受的外力，再看这些外力对定轴的合外力矩是否为零，如果为零应用角动量守恒定律，否则应用角动量定理。解：轮Ⅰ、轮Ⅱ接触时，轮Ⅰ受到重力m1g，轴给轮的力T1，以及摩擦力f1，轮Ⅱ施加的正压力N1；轴Ⅱ受到重力m2g，轴给轮的力T2，以及摩擦力f2、轮Ⅰ施加的正压力N2，以及外加力F。f1和f2大小相等、方向相反，对轮Ⅰ和轮Ⅱ组成的系统来说，f1和f2是一对内力，它们的力矩和不会改变系统的总角动量。轮Ⅰ、轮Ⅱ系统受到的外力T1、T2、m1g和m2g，它们对O1轴或者O2轴的合外力矩皆不为零，这个系统对O1或者O2的角动量都不守恒。所以应对轮Ⅰ、轮Ⅱ分别运用角动量定理。对Ⅰ轮，设顺时针转动为正向（1）对Ⅱ轮，设逆时针转动为正负（2）联立（1）、（2）两式可得（3）转动稳定时，两轮缘的线速度相等，即（4）联立（3）、（4）解得例5唱机的转盘绕过盘心的固定竖直轴转动，唱片放上后将受转盘的摩擦力作用随转盘移动。设唱片可以看成是半径为R的圆盘，唱片质量为m，唱片与转盘之间摩擦系数为μ，求唱片刚放上去时受到的摩擦力矩Mf和唱片由放上去到具有角速度所需的时间t1。解：唱片之所以转动是因受到转盘施加的力矩的作用，也就是摩擦力矩，它是唱片的动力矩。在唱片上选为半径为r，宽度为dr的圆环，如图5-6所示。它受的动力矩为上式中，是唱片的密度。整块唱片受的摩擦力矩为视唱片为刚体，据转动定律分离变量有积分上式例6如图5-7所示，两物体质量分别为m1和m2，定滑轮的质量为m，半径为r，可视作均匀圆盘。已知m2与桌面间的滑动摩擦系数为，求m1下落的加速度和两段绳子中的张力各是多少？设绳子和滑轮间无相对滑动，滑动轴受的摩擦力忽略不计。解：对m1，由牛顿第二定律对m2，由牛顿第二定律对滑轮，用转动定律又由运动学关系，设绳在滑轮上不打滑联立解以上诸方程，可得例7如图5-8所示。两个圆轮的半径分别为R1和R2，质量分别为M1和M2。二者都可视为均匀圆柱体而且同轴固结在一起，可以绕一水平固定轴自由转动。今在两轮上各绕以细绳，绳端分别挂上质量是m1和m2的两个物体。求在重力作用下，m2下落时轮的角加速度。解：如图示，由牛顿第二定律对m1：对m2：对整个轮，由转动定律又由运动学关系联立解以上诸式，即可得例8固定在一起的两个同轴均匀圆柱体可绕其光滑的水平对称轴OO′转动，设大小圆柱体的半径分别为R和r，质量分别为M和m，绕在两柱体上的细绳分别与物体m1和物体m2相连，m1和m2分别挂在圆柱体的两侧，如图5-9（a）所示。设R=0.20m，r=0.10m，m=4kg，M=10kg，m1=m2=2kg，且开始时m1、m2离地均为h=2m，求：（1）柱体转动时的角加速度；（2）两侧细绳的张力；（3）m1经多长时间着地？（4）设m1与地面作完全非弹性碰撞，m1着地后柱体的转速如何变化？解：设a1、a2分别为m1、m2的加速度，为柱体角加速度，方向如图5-9(b)所示。（1）m1、m2的平动方程和柱体的转动方程如下：式中：;;;；联立（1）、（2）、（3）式，解得角加速度为代入数据后得（2）由(1)式得图5-9(a)由(2)式得（3）设m1着地时间为t，则（4）m1着地后静止，这一侧绳子松开。柱体继续转动，因只受另一侧绳子拉力的阻力矩，柱体转速将减小，m2减速上升。讨论:如果只求柱体转动的角加速度，可将柱体、m1、m2选做一个系统，系统受的合外力矩，则加速度本题第二问还要求两侧细绳的张力，故采用本解法是必要的，即分别讨论柱体的转动、m1和m2的平动。例9一轻绳绕过一质量可以不计且轴光滑的滑轮，质量皆为m的甲、乙二人分别抓住绳的两端从同一高度静止开始加速上爬，如图5-10所示。（1）二人是否同时达到顶点？以甲、乙二人为系统，在运动中系统的动量是否守恒？机械能是否守恒？系统对滑轮轴的角动量是否守恒？（2）当甲相对绳的运动速度u是乙相对绳的速度2倍时，甲、乙二人的速度各是多少？解：（1）甲、乙二人受力情况相同，皆受绳的张力T，重力mg，二人的运动相同，因为所以二人的加速度相同，二人的速度为因初速度v0=0，二人在任一时刻的速度相同，上升的高度相同，所以同时到达顶点。以二人为系统，因二人是加速上升，所受合外力2(T-mg)0，故系统的动量不守恒。以人和地球为系统，张力T对系统做功，因而系统的机械能不守恒。显然人在上升中机械能在样加。但甲、乙二人相对滑轮轴的合外力矩（M=TR-TR+mgR-mgR）等于零，系统对轴的角动量守恒。（2）设甲的速度、乙的速度为，从解（1）知二人的速度相等，即，这个结果也可用角动量守恒得到，因故设绳子的牵连速度为v0，设滑轮左侧绳子的v0向下，那么滑轮右侧的v0一定向上，根据速度合成定理所以则讨论:由于人用力上爬时，人对绳子的拉力可能改变，因此绳对人的拉力也可能改变，但甲、乙二人受力情况总是相同，因此同一时刻甲、乙二人的加速度和速度皆相同，二人总是同时到达顶点。例10哈雷慧星绕太阳运动的轨道是一个椭圆。它离太阳最近的距离是，此时它的速率是。它离太阳最远时的速率是，这时它离太阳的距离r2是多少？解：慧星运行受的引力指向太阳，所以它对太阳的角动量守恒，它在走过离太阳最近或最远的地点时，速度的方向均与对太阳的径矢方向垂直，所以角动量守恒给出由此得例11太阳的热核燃料耗尽时，它将急速塌缩成半径等于地球半径的一颗白矮星。如果不计算质量散失，那时太阳的转动周期将变为多少？太阳和白矮星均按均匀球体计算，目前太阳的自转周期按26d计。解：由太阳的自转角动量守恒可得=3.1(min)例13赤道上有一高楼，楼高h（图5-12）。由于地球自转，楼顶和楼根对地心参考系都有线速度。（1）证明：楼顶和楼根的线速度之差为，其中为地球自转角速度。（2）证明：一物体由楼顶自由下落时，由于地球自转的影响，着地点将在楼根东侧约处。这就是落体偏东现象。计算h=30m时，着地点偏东的距离。（此结果利用了物体下落时“水平”速度不变这一近似处理。实际上物体下落时应该是地球对自转轴的角动量保持不变。利用这一点，并取楼高对地球半径之比的一级近似，则可得更有为准确的结果。）证：（1）楼顶的线速度为楼根的线速度为。