选修2-21.1.1变化率与导数

1.1变化率与导数1.1.1变化率问题气球膨胀率问题1,):(:,334rrVdmrLV之间的函数关系是位单与半径单位气球的体积我们知道.,343VVrVr那么的函数表示为体积如果把半径在吹气球的过程中,可发现,随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加得越来越慢.从数学的角度,如何描述这种现象呢?问题导入,.,cmrrLV6200110气球半径增加了时增加到从当空气容积./.Ldmrr6200101气球的平均膨胀率为,.,,dmrrLL1601221增加了气球半径时增加到当空气容量从类似地./.Ldmrr1601212气球的平均膨胀率为.,,胀率逐渐变小了它的平均膨随着气球体积逐渐变大可以看出?,:21均膨胀率是多少气球的平时增加到当空气的容量从思考VV2121rVrVrVVV高台跳水问题2...::,,1056942ttthstmh存在函数关系单位与起跳后的时间单位面的高度运动员相对于水在高台跳水运动中人们发现那么述其运动状态描时间内的平均速度如果我们用运动员某段,v;/...,.smhhvt054050050500这段时间里在./.,smhhvt28121221这段时间里在播放暂停停止思考：何表示？那么问题中变化率该如表示函数关系用如果上述两个问题中的,xf,1212xxxfxf新授：一、函数的平均变化率的到从数我们把这个式子称为函若有211212,xxxfxxxfxf平均变化率,,1212xxxxxx即表示习惯上用)(y12xxff）（类似地，,.yx于是平均变化率可表示为注：;,)1相乘与而不是是一个整体符号xxxxxxx121,)2即，的一个“增量”可看作是相对于那么，函数的平均变化率还可以表示为：xxfxxf)()Δ(?,1.1.11212表示什么变化率平均图的图象观察函数思考xxxfxfxyxfOxy1xf2xfxfy12xfxf12xx1x2x111.图直线AB的斜率AB二、函数的平均变化率的几何意义例(1)计算函数f(x)=2x+1在区间[–3,–1]上的平均变化率；(2)求函数f(x)=x2+1的平均变化率。(1)解：△y=f(-1)-f(-3)=4△x=-1-(-3)=2422yx(2)解：△y=f(x+△x)-f(x)=2△x·x+(△x)222()2yxxxxxxx练习1.已知函数f(x)=-x2+x的图象上的一点A(-1,-2)及临近一点B(-1+Δx,-2+Δy),则Δy/Δx=()A.3B.3Δx-(Δx)2C.3-(Δx)2D.3-ΔxD3.求y=x2在x=x0附近的平均变化率.2.t2质点运动规律s=t+3,则在时间(3,3+t)中相应的平均速度为()9A.6+tB.6+t+C.3+tD.9+tA小结•1.函数的平均变化率2.求函数的平均变化率的步骤:(1)求函数的增量：Δy=f(x2)-f(x1);(2)计算平均变化率：1212)()(yxxxfxfx1212)()(yxxxfxfx1.1变化率与导数1.1.2导数的概念探究一：在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h(单位：米)与起跳后的时间t（单位：秒）存在函数关系h(t)=-4.9t2+6.5t+10.如何用运动员在某些时间段内的平均速度粗略地描述其运动状态?hto65049,:1?2?t探究计算运动员在这段时间里的平均速度并思考下面的问题运动员在这段时间里是静止的吗你认为用平均速度描述运动员运动状态有什么问题吗探究过程：如图是函数h(t)=-4.9t2+6.5t+10的图像，结合图形可知，，所以，)0()4965(hh)/(004965)0()4965(mshhv虽然运动员在这段时间里的平均速度为，但实际情况是运动员仍然运动，并非静止，可以说明用平均速度不能精确描述运动员的运动状态．49650t)/(0msthO65496598t瞬时速度.•在高台跳水运动中,平均速度不能准确反映他在这段时间里运动状态，需要用瞬时速度描述运动状态。又如何求瞬时速度呢?我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度..,,,.,;,.,,,,,.可以得到如下表格内平均速度和区间计算区间之后在时当之前在时当但不为也可以是负值正值可以是是时间的改变量任意取一个时刻之前或之后在附近的情况我们先考察vtttttttttt22222202200222探究二：△t0时,在[2+△t,2]这段时间内△t0时,在[2,2+△t]这段时间内1.139.4tv1.139.4tv13.051v当△t=–0.01时,13.149v当△t=0.01时,0951.13v当△t=–0.001时,1049.13v当△t=0.001时,13.09951v当△t=–0.0001时,13.10049v当△t=0.0001时,099951.13v△t=–0.00001,100049.13v△t=0.00001,13.0999951v△t=–0.000001,13.1000049v△t=0.000001,…………平均变化率近似地刻画了曲线在某一区间上的变化趋势.如何精确地刻画曲线在一点处的变化趋势呢?105.69.4)(2ttth当Δt趋近于0时,平均速度有什么变化趋势?..,,,,1132220个确定的值平均速度都趋近于一时一边趋近于还是从大于的一边从小于即无论时趋近于当我们发现tt./.,.,||,smttvt11322时的瞬时速度是员在运动因此时的瞬时速度就无限趋近于速度平均无限变小时时间间隔从物理的角度看..,,.lim,11302113220定值趋近于确平均速度时趋势近于当表示我们用为了表述方便vttththt..时的极限趋近于当是我们称确定值022113tthth•那么,运动员在某一时刻t0的瞬时速度?0limt00()()htthtt定义:函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率是xxxfxxfxxylim)()Δ(lim0000称为函数y=f(x)在x=x0处的导数,记作0000(Δ)()()lim.xfxxfxfxx)(0xf或,即0|xxy。其导数值一般也不相同的值有关，不同的与000)(.1xxxf的具体取值无关。与xxf)(.20一概念的两个名称。瞬时变化率与导数是同.3注：号一致性时，注意分子分母的符在求xy.4设函数f(x)在x0处可导，则＝()A．f′(x0)B．f′(－x0)C．－f′(x0)D．－f(－x0)limΔx→0fx0－Δx－fx0ΔxC例跟踪训练若函数f(x)在x＝a处的导数为m，那么fa＋Δx－fa－ΔxΔx＝________.利用导数的定义，将函数f(x)在x＝a处的导数表示成fa＋Δx－faΔx＝m及fa－Δx－fa－Δx＝m是难点且是关键点．1.2．设f(x)在x0处可导，下列式子中与f′(x0)相等的是()①limΔx→0fx0－fx0－2Δx2Δx；②limΔx→0fx0＋Δx－fx0－ΔxΔx；③limΔx→0fx0＋2Δx－fx0＋ΔxΔx；④limΔx→0fx0＋Δx－fx0－2ΔxΔx.A．①②B．①③C．②③D．①②③④B由导数的定义可知,求函数y=f(x)的导数的一般方法:1.求函数的改变量2.求平均变化率3.求值);()(00xfxxfy.lim)(00xyxfx;)()(00xxfxxfxy一差、二比、三极限例1.(1)求函数y=3x2在x=1处的导数.(2)求函数f(x)=-x2+x在x=-1附近的平均变化率，并求出在该点处的导数．(3)质点运动规律为s=t2+3，求质点在t=3的瞬时速度.典例分析.,,62).80(157:,.,220并说明它们的意义的瞬时变化率原油温度时和第计算第为单位的温度原油时如果在和加热行冷却油进对原需要品产柴油、塑胶等各种不同将原油精炼为汽油、例hhxxxxfCxh,根据导数的定义xfxfxy22.'6f和262',fhh就是原油温度的瞬时变化率时和第在第解xxx152721527222,3742xxxxx,33limlim2,00'xxyfxx所以.'56f同理可得.运算过程请同学们自己完成具体./,;/,.,的速率上升原油温度大约以附近在率下降的速原油温度大约以附近它说明在第与分别为原油温度的瞬时变化率时与第在第hChhChhh0056325362.,'情况附近的变化反映了原油温度在时刻一般地00xxf小结由导数的定义可得求导数的一般步骤：（1）求函数的增量Δy=f(x0+Δt)-f(x0)(2)求平均变化率（3）求极限yx'00()limxyfxx想一想1.(1)x0＋Δx一定比x0大吗？(2)导数y＝f(x)从x1到x2的平均变化率一定存在吗？(3)导数y＝f(x)在x0处的瞬时变化率一定存在吗？提示：(1)不一定．Δx是一个相对于x的变化量，可正可负,但不能为0.(2)一定存在．因为x1，x2属于导数的定义域且x1≠x2.(3)不一定．当且仅当y＝f(x)在x0到x0＋Δx的平均变化率的极限存在时，函数y＝f(x)在x0处的瞬时变化率存在．1.1变化率与导数1.1.3导数的几何意义?,.,,0'000'的几何意义是什么呢导数么那附近的变化情况在数反映了函处的瞬时变化率在表示函数导数我们知道xfxxxfxxxfxf探究：βy=f(x)PQMΔxΔyOxyβPy=f(x)QMΔxΔyOxy如图,曲线C是函数y=f(x)的图象,P(x0,y0)是曲线C上的任意一点,Q(x0+Δx,y0+Δy)为P邻近一点,PQ为C的割线,PM//x轴,QM//y轴,β为PQ的倾斜角..tan,,:xyyMQxMP则yx请问：是割线PQ的什么?斜率!PQoxyy=f(x)割线切线T请看当点Q沿着曲线逐渐向点P接近时,割线PQ绕着点P逐渐转动的情况.我们发现,当点Q沿着曲线无限接近点P即Δx→0时,割线PQ有一个确定位置PT.则我们把直线PT称为曲线在点P处的切线.设切线的倾斜角为α,那么当Δx→0时,割线PQ的斜率,称为曲线在点P处的切线的斜率.即:'00000()()()limlimxxfxxfxykfxxx切线这个概念:①提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法;②切线斜率的本质——函数在x=x0处的导数.切线定义：要注意,曲线在某点处的切线:1)与该点的位置有关;2)要根据割线是否有极限位置来判断与求解.如有极限,则在此点有切线,且切线是唯一的;如不存在,则在此点处无切线;3)曲线的切线,并不一定与曲线只有一个交点,可以有多个,甚至可以无穷多个.PQoxyy=f(x)割线切线T切线定义解析：导数的几何意义函数y=f(x)在点x0处的导数的几何意义，就是曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线的斜率.即:0'()kfx切线故曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线方程是:))(()(000xxxfxfy/000/0/01y=f(x)P(x,f(x))f(x)y2f(x)0,Xf(x)0,X注：（）若曲线在点处的