随机变量及离散型分布

《概率统计》下页结束返回第二章随机变量及其分布一、随机变量二、离散型随机变量的概率分布三、随机变量的分布函数四、连续型随机变量五、随机变量函数的分布下页《概率统计》下页结束返回§2.1随机变量例1.从一批种子中随机抽取20粒进行发芽试验，观察发芽粒数.显然Ω={0，1，…，20}，用变量X表示发芽粒数，则X的所有可能取值为0，1，…，20.下页例2.掷一枚硬币，观察正面、反面出现的情况。记ω1=“正面朝上”，ω2=“反面朝上”。21,0,1)(XX令X也是定义在Ω={ω1，ω2}上的函数，是随机变量。《概率统计》下页结束返回1.随机变量的定义§2.1随机变量下页定义设随机试验E的样本空间为Ω，如果对于每一个ω∈Ω,都有唯一的一个实数X（ω）与之对应，则称X（ω）为随机变量，并简记为X。注意：1.X是定义在Ω上的实值、单值函数。2.因随机试验的每一个结果的出现都有一定的概率，所以随机变量X的取值也有一定的概率。3.随试验结果不同,X取不同的值，试验前可以知道它的所有取值范围，但不能确定取什么值。《概率统计》下页结束返回2.用随机变量表示随机事件例3.在灯泡寿命试验中，{灯泡的寿命不低于1000小时}可用随机变量X表示为{X≥1000}。例4.用随机变量X表示玉米穗位，则{玉米穗位在100到120厘米之间}可以表示为{100≤X≤120}。例5.{正面朝上}可以表示为{X=1}。一般地：{X=k}，{X≤a}，{a＜X≤b}表示一个随机事件。下页《概率统计》下页结束返回SxO1e2ex随机变量的引入使得所有试验的样本空间都是直线上的集合事件直线上的集合利用微积分来研究随机现象通常用大写字母等表示随机变量,用小写字母等表示实数,,,XYZW,,,xyzw}{xX《概率统计》下页结束返回下页3.随机变量的类型⑴离散型随机变量随机变量的可能取值仅为有限个或可列多个.⑵非离散型随机变量连续型随机变量;既非离散型亦非连续型随机变量.《概率统计》下页结束返回§2.2离散型随机变量的概率分布定义设离散型随机变量X所有可能的取值为x1,x2,…,xk,…X取各个值的概率，即事件{X=xk}的概率为P{X=xk}=pk,k=1,2,…一、离散型随机变量X的概率分布的定义及性质一般用下面的概率分布表来表示Xx1x2…xn…Pp1p2…pn…则称上式为离散型随机变量X的概率分布或分布列（律）。下页《概率统计》下页结束返回随机变量的所有可能的取值随机变量取各个值的概率{}(1,2,)kkPXxpk1212kkkXxxxpppp1212kkxxxppp《概率统计》下页结束返回分布列的性质（1）Pk≥0(k=1,2，…)11kkp（2）例1.已知随机变量Ｘ的概率分布为：)5,4,3,2,1(}{kakkXPpk,求常数a.解：由概率分布的性质知151kkp即15a=1,解得.151a下页《概率统计》下页结束返回例2.某篮球运动员投中篮圈概率是0.9，求他两次独立投篮投中次数X的概率分布.P｛X=0｝=(0.1)(0.1)=0.01P｛X=1｝=2(0.9)(0.1)=0.18P｛X=2｝=(0.9)(0.9)=0.81解：用X表示两次独立投篮投中次数，则X所有可取的值为0、1、2。XP0120.010.180.81X的概率分布为下页《概率统计》下页结束返回例3.一汽车沿一街道行驶，需要通过三个均设有红绿信号灯的路口，每个信号灯为红或绿与其它信号灯为红或绿相互独立，且红绿两种信号灯显示的时间相等.以X表示该汽车首次遇到红灯前已通过的路口的个数，求X的概率分布.解:依题意,X可取值0,1,2,3.P(X=0)=P(A1)=1/2,Ai={第i个路口遇红灯},i=1,2,3设路口3路口2路口1《概率统计》下页结束返回P(X=1)=P()21AA2121=1/4321AAAP(X=2)=P()212121=1/8X表示该汽车首次遇到红灯前已通过的路口的个数路口3路口2路口1路口3路口2路口1Ai={第i个路口遇红灯},i=1,2,3设《概率统计》下页结束返回321AAA=1/8P(X=3)=P()212121路口3路口2路口1X表示该汽车首次遇到红灯前已通过的路口的个数Ai={第i个路口遇红灯},i=1,2,3设X0123P21418181《概率统计》下页结束返回二、几种常见的离散型随机变量的概率分布pqXPPXP1}0{,}1{1、0-1分布如果随机变量X只可能取0和1两个值，其概率分布为1,0,}{1kqpkXPkk或则称X服从0-1分布，（p为参数）,也称为贝努里分布。(0＜p＜1，p+q=1)记作X～B(1,p)若E:Ω只有两个样本点，即Ω={}，则可以定义具有0-1分布的随机变量：21,X=X（）=21,0,1或XP10pq下页《概率统计》下页结束返回特别当n=1时，二项分布为即为0-1分布。2、二项分布定义：如果随机变量X的概率分布为（k=0，1，2，…，n）（0＜p＜1,q=1-p)则称X服从参数为n，p的二项分布。记作X~B（n,p）)1,0(}{1kqpkXPkkknkknqPCkXP}{显然10kknkknqpC下页《概率统计》下页结束返回二项分布的图形《概率统计》下页结束返回（2）P{X≥8}=P{X=8}+P{X=9}+P{X=10}383.07.03.07.03.07.0101010991028810CCC288103.07.0}8{)1(CXP100103.01}0{1}1{)3(CXPXP例4.设鲁麦11号的发芽率为0.7，现播种10粒，求（1）恰好8粒发芽的概率;（2）不少于8粒发芽的概率;（3）能发芽的概率。下页解:设X表示种子发芽的粒数，则X的所有可能取值为0,1,…,10,且X~B(10,0.7)，所求事件的概率为《概率统计》下页结束返回P{X≥2}=1—[P{X=0}+P{X=1}]=P{X=k}=（k=0，1，2，…，400）解:将每次射击看成是一次贝努里试验，X表示在400次射击中击中的次数，则X~B（400，0.02）其分布律为kkkC400400)98.0()02.0(]98.002.0400)98.0[(1399400于是所求的概率为例5.某人进行射击，其击中率为0.02，独立射击400次，试求击中的次数大于等于2的概率。≈0.9972下页《概率统计》下页结束返回3、泊松分布定义：如果随机变量X的概率分布为（k=0，1，2，…）!}{kekXPk其中λ＞0是常数，则称X服从参数为λ的泊松分布，记为X~P(λ)。erxXPxrr!}{下页《概率统计》下页结束返回在某个时段内：大卖场的顾客数；某地区拨错号的电话呼唤次数；市级医院急诊病人数；某地区发生的交通事故的次数.①②③④⑤一个容器中的细菌数；一本书一页中的印刷错误数；一匹布上的疵点个数；⑥⑦⑧应用场合放射性物质发出的粒子数；《概率统计》下页结束返回泊松分布的图形《概率统计》下页结束返回例6.某电话交换台在一天内的收到的呼叫次数服从参数为3的泊松分布，求下列事件的概率：解：设X表示呼叫数，由题意知X～P(3)，则08392.0!363kkke（3）P{X=2}=P{X≥2}－P{X≥3}=0.80085－0.57681=0.22404（2）P{X＜6}=1－P{X≥6}=1－0.08392=0.91608（1）P{X≥6}（1）呼叫次数不小于6；（2）呼叫次数小于6；（3）呼叫数恰好为2.下页《概率统计》下页结束返回从下面的表格可以直观地看出上式的近似程度,k按二项分布公式直接分别计算按泊松近似公式计λ=np=1：n=10n=20n=40n=100λ=np=1p=0.1p=0.05p=0.25p=0.0100.3490.3580.3690.3660.36810.3850.3770.3720.3700.36820.1940.1890.1860.1850.18430.0570.0600.0600.0610.06140.0110.0130.0140.0150.01540.0040.0030.0050.0030.004泊松定理：设λ0是一常数，n是任意正整数，设npn=λ，则对于任一固定的非负整数k，有。!1limkeppkknnknknnC《概率统计》下页结束返回（1）若一人负责维修30台设备，求发生故障不能及时维修的概率解：设X表示同时发生故障的台数，则X～B(n,0.01)由于n较大，p较小，可用泊松分布作近似计算,其中λ=np=4(1)n=30，p=0.01，λ=0.3，所求概率为P{X≥2}≈0369.0!3.023.0kkke（2）若3人共同维修100台设备呢？(2)3人维修100台，则n=100，p=0.01，λ=1所求事件概率为：018988.0!141kkke（3）需配备多少工人才能保证不能及时维修的概率不大于0.02？P{X≥4}≈例7.某厂有同类设备400台，各台工作是相互独立的，每台发生故障的概率为0.01。求下列事件的概率。下页《概率统计》下页结束返回例7.某厂有同类设备400台，各台工作是相互独立的，每台发生故障的概率为0.01。求下列事件的概率。(3)设配备Ｎ名工人，已知n=400，p=0.01，则λ=4，由题意P{X≥N+1}≤0.0202.0!414Nkkke由查表得N+1≥10，即N≥9，需配备９名工人。（1）若一人负责维修30台设备，求发生故障不能及时维修的概率（2）若3人共同维修100台设备呢？（3）需配备多少工人才能保证不能及时维修的概率不大于0.02？下页《概率统计》下页结束返回4.几何分布若X的概率分布为则称X服从参数为p的几何分布。ppkXPk1)1(}{k=1，2，3,…若X表示一个无穷次贝努利试验序列中，事件A首次发生所需要的次数，则X服从参数为p的几何分布。下页《概率统计》下页结束返回5.超几何分布设一堆同类产品共N件，其中有M个次品，现从中任取n个(为方便计算。假定n≤N-M)，则这n个中所含的次品数X是个离散型随机变量，X的分布律为lmCCCmXPnNmnMNmM,,1,0}{其中l=min(M，n),这个概率分布称为超几何分布。超几何分布的极限分布是二项分布《概率统计》下页结束返回作业：48页2，4，10，11结束