随机变量的函数及其分布问题

§2.6随机变量的函数及其分布问题：已知随机变量X的概率特性——分布律或分布密度（密度函数）．Y=g(X)求随机因变量Y的概率特性．方法：将与Y有关的事件转化成X的事件．设随机变量X的分布律为：由已知函数g(x)可求出随机变量Y的所有可能取值，则Y的概率分布为：离散型随机变量函数的分布,2,1,p)xP(Xkkk　1,2,i,)()(:　　　ikyxgkkipyYP例1已知X的概率分布为Xpk-101221418181求：Y1=2X–1与Y2=X2的分布律．解Y1pi-3-11321418181Y2pi101421418181Y2pi014218381例2已知X的概率分布为其中p+q=1，0p1，求Y=SinX的概率分布．解)0(YP)22(0mmXP02mmpq21qp0,1,2,k,)2(　　kpqkXP)1(YP)22(0mmXP)2)14((0mmXP014mmpq41qpq)1(YP)232(0mmXP)2)34((0mmXP034mmpq431qpq故Y的概率分布为Ypi-1014243111qpqqpqpq已知随机变量X的密度函数f(x)(或分布函数)求Y=g(X)的密度函数或分布函数．方法：(1)从分布函数出发(2)从密度函数出发连续性随机变量函数的分布例3已知X密度函数为babaXYxfX,,),(为常数，且a0,求fY(y)．解)()(yYPyFY)(ybaXP)(1)(byaXPyFY)(1byaFX当a0时，)(11)(byafayfXY当a0时，)(1)(byaXPyFY)(11byaFX)(11)(byafayfXY故)(1||1)(byafayfXY例如，设X~N(,2),Y=aX+b,则)(1||1)(byafayfXY2222)(||21aabyeayY~N(a+b,a22)特别地，若X~N(,2)，则：)1,0(~NXY例4X~E(2),Y=–3X+2，求解)(yfY)2(31|3|1)(yfyfxY　　其他０，　　　　　　　　　　　－032-y,322231ye　　　　　其他　　３２＝）（,02,3y22ye例5已知X~N(0,1),Y=X2,求fY(y)．解法一从分布函数出发．当y0时，FY(y)=0当y0时，)()(yYPyFY)()(2yXPyFY)(yXyP)()(yFyFXX[yy[][yy解法二从密度函数出发即当y0时当y0时yyy1x11)(xx2x22)(xxyyy2xy0)(yyYyP)(yyYyP))(())((222111xxXxPxXxxP＋2211))((])()[()(xxfxxfyyfXXY21)()()(21xxXxxXYdxdyxfdxdyxfyf21)()(21xxXxxXdxdyxfdxdyxfyxXyxXdxdyyfdxdyyf)()(故2)(2121212122)(2yeyeyy　　221yey0,210,0)(2yeyyyfyY　　　　　一般地yx1x2x3y=g(x)xxnnxxnXxxXxxXYdxdyxfdxdyxfdxdyxfyf)()()()(2121特别地，若g(x)为单调函数，则y=g(x)xyx1其中1)()(1xxXYdxdyxfyf)(gx1-1y例6设求fY(y)．x31xyy(1-y)3解xxxfX　　,)1(1)(231XY3)1(3)1()(yxXYdxdyyfyf3)1(3])1[(yxXdydxyfyyy　,])1(1[)1(362例7设X的概率密度函数为求的概率密度函数．解由图可知,Y的取值范围为(0,1)．故当y0或y1时fY(y)=0．　　　其他　　,00,2)(2xxxfXXsinＹ＝y•x100.511.522.530.20.40.60.81y•)0(sinxxyy•arcsiny-arcsiny1x00.511.522.530.20.40.60.81当0y1时故)0(sinxxy222212)arcsin(2arcsin211)(yyyyyfY　　　　其他　　,010,12)(2yyyfY作业P147习题二30，31，32，41，42问题：已知二维随机变量(X，Y)的概率特性g(x，y)为已知的二元函数，Z=g(X，Y)．求：Z的概率特性．方法：转化为(X，Y)的事件．当(X，Y)为离散型随机变量时，Z也为离散型，),(kkjikyxgzZkkjkikkzyxgjikyYxXPzZP),(),()(,2,1k当(X，Y)为连续型随机变量时，)()(zZPzFZ)),((zYXgPzDdxdyyxf),(其中}),(|),{(:zyxgyxDz-1-0.500.51-1-0.500.5100.250.50.751-1-0.500.51-1-0.500.51}),(|),{(:zyxgyxDz的几何意义：Dz例1设二维离散型随机变量(X，Y)的概率分布为：XYpij-112-104161418112181求XYXYYXYX,,,的概率分布离散型二维随机变量的函数解根据(X，Y)的联合概率分布可得如下表格：P4141618181121X+YX-YXYY/X(X,Y)(-1,-1)(-1,0)(1,-1)(1,0)(2,-1)(2,0)-2-101120-1213210-10-2010-10-1/20故得PX+Y-2-101241414161121PX-Y-101234141418181PXY-2-1016141812411PY/X-1-1/2014181241161设X~B(n1，p)，Y~B(n2，p)，且X，Y相互独立，则X+Y~B(n1+n2，p)；关于离散型随机变量的两个重要结论：设X~P(1)，Y~P(2)，且X，Y相互独立，则X+Y~P(1+2)．X~B(n1，p)，Y~B(n2，p)，则Z=X+Y的可能取值为0，1，2，，n1+n2,),()(0kiikYiXPkZP设n1n2，当kn1时，,)()(0kiikYPiXPkiiknikikniniinppCppC02211)1()1(knnkknnppC2121)1(关于二项分布的和的分布的说明：knnkiikninCCC21210其中当n1kn2时10),()(niikYiXPkZP122110)1()1(niiknikikniniinppCppCknnkknnppC2121)1(当n2kn1+n2时12),()(nnkiikYiXPkZP122211)1()1(nnkiiknikikniniinppCppCknnkknnppC2121)1(故X+Y~B(n1+n2，p)．事实上，从二项分布的背景，若每次试验事件A发生的概率为p，则X+Y表示做了n1+n2次独立试验事件A发生的次数．关于Poisson分布的和的分布的说明X~P(1)，Y~P(2)，则Z=X+Y的可能取值为0，1，2，,),()(0kiikYiXPkZPkiikiikeie021)!(!21kiikiikikke021)!(!!!21!)(2121kek,2,1,0k问题：已知二维随机变量(X，Y)的密度函数，g(x，y)为已知的二元函数，Z=g(X，Y)．求：Z的密度函数．方法：从求Z的分布函数出发，将Z的分布函数转化为(X，Y)的事件；建立一个新的二维随机变量(Z，X)或(Z，Y)，求其边缘分布得Z的密度函数．二维连续型随机变量函数的分布(1)和的分布：Z=X+Y设(X，Y)为连续型随机变量，联合密度函数为f(x，y)，则•z•z)()(zZPzFZ)(zYXPzyxdxdyyxf),(xzdyyxfdx),(或yzdxyxfdy),(z特别地，若X，Y相互独立，则dxxzxfzfZ),()()3(zdyyyzfzfZ),()(或dxxzfxfzfYXZ)()()(dyyfyzfzfYXZ)()()(或)()(zfzfYX记作)()(zfzfYX记作)1(z)2(z)4(z称之为函数fX(z)与fY(z)的卷积．例2已知(X，Y)的联合概率密度为其他,010,10,1),(yxyxfZ=X+Y，求fZ(z)．解显然X，Y相互独立，且其他,010,1)(xxfX其他,010,1)(yyfYdxxzfxfzfYXZ)()()(10)(dxxzfY其他,01,1)(zxzxzfY10)(dxxzfY,20,0zz或,10,10zdxz,21,111zdxzz1z=xx2121,210,20,0)(zzzzzzzfZ或正态随机变量的情形若X，Y相互独立，),(~),,(~222211NYNX则),(~222121NYX若(X，Y));,;,(~222211N则)2,(~22212121NYXniNXiii,,2,1),,(~2若nXXX,,,21相互独立，则),(~1211niiniiniiNX推广：已知(X，Y)的联合密度f(x，y)．求Z=aX+bY+c的密度函数，其中a，b，c为常数，a，b0．.).(,||1)(eazdxbcaxzxfbzfZ.).(,||1)(eazdyyacbyzfazfZ利用此种方法也可以求某些其他的函数的密度．已知(X，Y)的联合概率密度f(x，y)，令：Z=X/Y，求fZ(z)．duuzfzfZUZ),()(duuuzuf||),((2)商的分布：Z=X/Y例3已知(X，Y)的联合分布函数为其他,00,0,1),()(yxeeeyxFyxyx求Z=X/Y的概率密度函数．解其他,00,0,),()(yxeyxfyxduuuzufzfZ||),()(其他,00,0,),()(uzeuzufuzuduuuzufzfZ||),()(uz其他,0,0,0)1(zuduezu其他,0,0,)1(12zz若nXXX,,,21相互独立，且niNXi,,2,1),1,0(~22221nXXXZ则所服从的分布称为自由度为n的分布．它的概率密度函数