随机变量的函数的分布

1§5随机变量的函数的分布离散型随机变量的函数的分布连续型随机变量的函数的分布2问题的提出在实际中，人们常常对随机变量的函数更感兴趣.42d求截面面积A=的分布.比如，已知圆轴截面直径d的分布，3设随机变量X的分布已知，Y=g(X)(设g是连续函数），如何由X的分布求出Y的分布？下面进行讨论.这个问题无论在实践中还是在理论上都是重要的.4定义设有函数，与是两个随机变量，如果当随机变量取值时，随机变量取值为，则称随机变量是随机变量的函数，记作．则称Y的概率分布为随机变量X函数的分布．)(XgYXYXxY)(xgyYX)(XgY5一、离散型随机变量函数的分布解：当X取值1，2，5时，Y取对应值5，7，13，例1求Y=2X+3的概率分布.而且X取某值与Y取其对应值是两个同时发生的事件，两者具有相同的概率.故X125P0.20.50.3Y5713P0.20.50.3的分布律为设离散型随机变量X的概率分布为随机变量32XY6练习1的分布律为设离散型随机变量XX-3-10269P25212525252152523525270252126的分布律．，试求随机变量YXY32解：的取值为随机变量32XY，，，，，，15913597Y-9-5-31915P2521252525215252352527025212632XY．这些取值两两互不相同由此得随机变量的分布律为8如果g(xk)中有一些是相同的，把它们作适当并项即可.一般地，若X是离散型r.v，X的分布律为Xnnpppxxx2121～则Y=g(X)～nnpppxgxgxg2121)()()(9设随机变量X具有以下的分布律，试求Y=(X-1)2的分布律.pkX-10120.20.30.10.4解:Y有可能取的值为0，1，4.且Y=0对应于(X-1)2=0，解得X=1，所以,P{Y=0}=P{X=1}=0.1,例210同理,P{Y=1}=P{X=0}+P{X=2}=0.3+0.4=0.7,P{Y=4}=P{X=-1}=0.2,pkY0140.10.70.2所以，Y=(X-1)2的分布律为：pkX-10120.20.30.10.4Y=(X-1)2例2（续）11练习２已知X的概率分布为Xpk-101221418181求：Y2=X2的分布律．解Y2pi101421418181Y2pi01421838112二.连续型随机变量函数的分布，其密度函数为是一连续型随机变量，设xfXX随机变量．也是连续型，我们假定的函数是再设YXXgY．的密度函数我们要求的是yfXgYY解题思路yxgXYdxxfyXgPyYPyFXgY)()(的分布函数⑴．先求yFyfXgYXgYYY的密度函数关系求之间的的分布函数与密度函数⑵．利用13.,0,40,8)(其它xxxfX设随机变量X具有概率密度：试求Y=2X+8的概率密度.解：(1)先求Y=2X+8的分布函数FY(y)：)28(}28{}82{}{)(yFyXPyXPyYPyFXY例328.)(yXdxxf14可以求得：利用)()()2(yfyFYY.,0,4280,21)28(81)28()28()(其它yyyyfyfXY28.)()(yXYdxxfyF.,0,40,8)(其它xxxfX例３（续）15.,0,168,328)(其它yyyfY整理得Y=2X+8的概率密度为：本例用到变限的定积分的求导公式).()]([)()]([)(,)()()()(xxfxxfxFdttfxFxx则如果例３（续）16设随机变量X具有概率密度,),(xxfX求Y=X2的概率密度.解：(1)先求Y=X2的分布函数FY(y)：.0)(0,0)12yFyXYY时故当由于yyXYdxxfyXyPyXPyYPyFy.)(}{}{}{)(,0)22时当例４17得：及变限定积分求导公式利用)()()2(yfyFYY.0,0,0),()([21)(yyyfyfyyfXXYyyXYdxxfyF.)()(例４（续）18定理设随机变量X具有概率密度,,)(xxfX).0)((0)()(xgxgxg或恒有处处可导，且有又设函数则Y=g(X)是一个连续型随机变量Y，其概率密度为.,0,|,)(|)]([)(其它yyhyhfyfXY其中h(y)是g(x)的反函数，即)}.(),(max{)},(),(min{gggg)()(1yhygx191.引进了随机变量的概念，要求会用随机变量表示随机事件。2.给出了分布函数的定义及性质，要会利用分布函数表示事件的概率。3.给出了离散型随机变量及其分布律的定义、性质，要会求离散型随机变量的分布律及分布函数，掌握常用的离散型随机变量分布：两点分布、二项分布、泊松分布。4.给出了连续型随机变量及概率密度的定义、性质，要掌握概率密度与分布函数之间关系及其运算，掌握常用的连续型随机变量分布：均匀分布、指数分布和正态分布。5.会求随机变量的简单函数的分布。第二章小结