随机变量的数值特征

1第三章假设检验§1假设检验问题§2正态总体均值的假设检验§3正态总体方差的假设检验§4p值检验法§5非参数检验2由于θ是未知的，上式只是一个假设（假想），它可能是真，也可能是假，是真是假，有待于用样本进行验证（检验）。参数的点估计方法建立了参数θ的估计公式，并利用样本值确定了一个估计值，认为参数的真值ˆ3§1假设检验问题1统计假设2假设检验的思想方法3数假设检验问题的步骤41.统计假设问题1一台机器加工某零件,零件尺寸X服从正态分布N(μ,σ2)其中σ2反映加工精度，为已知,图纸标定零件尺寸为50（毫米）,如果μ=50则机器工作正常,否则为不正常,但是μ未知参数.今从机器生产的一批零件中任取10件,并测得其尺寸,如何根据这10个样本值判断“机器工作是正常的”这个命题是否成立？请看以下几个问题若用H0表示”μ=50”,用H1表示其对立面，即”μ≠50”,则问题等价于检验H0μ=50是否成立，若H0不成立，则H1μ≠50成立.5问题2某种疾病,不用药时其康复率为θ0,现发明一种新药（无不良反应),为此抽查n位病人用新药的治疗效果，设其中有s人康复,根据这些信息,能否断定“该新药有效”？问题3有一颗骰子,如何知道它是否均匀？这里均匀的含义是指掷出各点的概率相等.记H0:θ=θ0,H1:θθ0记H0:p1=p2=…=p6=1/6,H1:p1p2…p6不全相等其中pi是骰子掷出i点的概率6统计假设:数理统计学中有待验证的陈述或命题.假设检验:利用样本对假设的真假进行判断.参数假设检验:在总体的概率分布已知情形下，对分布中的未知参数作假设并进行检验.非参数假设检验:若总体的分布未知，对总体的分布形成或参数作假设并进行检验.7在假设检验问题中，常把一个被检验的假设称为原假设或零假设，而其对立面就称为对立假设.上述各问题中，H0为原假设，H1为对立假设.当H0不成立时，就拒绝接受H0而接受其对立假设H1.对立假设往往也称为备选假设,不论是原假设还是对立假设，若其中只含有一个参数值，则称为简单假设，否则称为复合假设.82.假设检验的思想方法小概率原理概率很小的事件在一次试验中不会发生.如果小概率事件在一次试验中竟然发生了，则事属反常，定有导致反常的特别原因，有理由怀疑试验的原定条件不成立概率反证法欲判断假设H0的真假，先假定H0真，在此前提下构造一个能说明问题的小概率事件A.试验取样，由样本信息确定A是否发生，若A发生，这与小概率原理相违背，说明试验的前定条件H0不成立，拒绝H0，接受H1；若小概率事件A没有发生，没有理由拒绝H0，只好接受H0.9反证法的关键是通过推理，得到一个与常理（定理、公式、原理）相违背的结论.“概率反证法”依据的是“小概率原理”.那么多小的概率才算小概率呢？这要由实际问题的不同需要来决定.以后用符合α记小概率，一般取α=0.1,0.05等.在假设检验中，若小概率事件的概率不超过α，则α称α为检验水平或显著性水平.10通常反证法与概率反证法的区别假设命题H0为真H0为假某一定理.定律.公理H0真假待定假设命题H0为真H0为假小概率原理H0为真逻辑推理出现矛盾?构造小概率事件A抽样.A发生?YYNN逻辑推理←→似然推理似然推理的结论可能出错区别11例1设总体X～N(μ,σ2),σ=0.06,现从总体中抽取容量为10的样本，算得样本均值50.02,问总体的均值μ是否等于50？（取=0.05）解由问题提出假设H0μ=50,H1μ≠50.在H0成立的前提下:|50|(0AXdd）令P（A）=α构造小概率事件统计量050~(0,1)//HXXUUNnnndUPndUPdXP/2/||)|50(|/20.0251.96uu/2:||AUu小概率事件其中因此接受假设H0，即认为总体均值μ等于500.0255050.0250||||||1.054/0.06/10xuun说明小概率事件A未发生12错误在于：在H0成立的前提下，这样取小概率事件A不合理.注:本例中若取小概率事件为1/2:||AUu最后的检验将出现这样一种倾向:μ越与50接近，越要拒绝H0μ=50.这样的检验方法显然不合理.称D为假设H0的拒绝域.本例中使小概率事件A发生的所有10维样本值向量构101,10/2{(...,)/|50|/},DxxxunDR成的集合为:样本观测值（x1，x2，…，xn）∈D若拒绝接受H0则称D为假设H0的拒绝域一般133数假设检验问题的步骤总结上述处理问题的思想与方法，可得检验参数假设检验问题的步骤如下:(1)提出假设：根据问题的要求，提出原假设H0与对立假设H1，给定显著水平及样本容量n.(2)确定拒绝域：用参数θ的无偏估计来代替θ,分析拒绝域D的形式，构造检验统计量g(x)，在H0成立的前提下确定g(x)的概率分布，通过等式1{(,,)}nPXXD确定D(3)执行统计判决：求统计量的值，并查表求出有关数据，判断小概率事件是否发生，由此作出判决.14第一类错误:弃真概率为αH0正确，但检验结果却拒绝H0第二类错误:取伪概率为βH0不正确，但检验结果却接受H0用概率反证法检验一个假设的推理依据是小概率原理.在一次抽样中，若小概率事件发生了，则拒绝原假设；若小概率事件没有发生，拒绝原假设的理由不充分，因而只好接受原假设.这样的检验结果可能出现以下两种类型的错误4假设检验问题的错误15一个优良的检验法，应使两种错误的概率尽可能小.这两方面的要示是矛盾的。16在区间估计问题中，“置信度高”与“估计精确”是矛盾的，那里，我们采用在保证一定的置信度下使区间长度尽可能小的原则.选择一种优良检验的策略思想与此类似，即先保证弃真的概率不超过指定值，再设法控制取伪概率.17第三章假设检验§1假设检验问题§2正态总体均值的假设检验§3正态总体方差的假设检验§4p值检验法§5非参数检验18§2正态总体均值的假设检验1.单正态总体均值的检验2.两正态总体均值差的检验191.单正态总体均值的检验设总体X~N(,2)，样本为X1,X2,,Xn),,(~,121nNXXnXnii样本均值22111niiSXXn样本方差222(1)~(1)nSn20双侧检验H0:=0，H1:0（1）方差2已知－U检验小概率事件|U|d)1,0(~/0NnXU在H0成立的前提下，选检验统计量拒绝域为|u|u/2由P{|U|u/2}=,得d=u/2此检验法称为U检验法(检验统计量服从正态分布).φ(u)u/2/2-u/2u/2拒绝域21单侧检验H0:=0，H1:0而应取为小概率事件Ud)1,0(~/0NnXU在H0成立的前提下，选检验统计量拒绝域为uu由P{Uu/2}=,得d=uφ(u)uu拒绝域小概率事件不能取|U|d同理可给出H0:=0，H1:0的拒绝域为u-u22（2）方差2未知H0:=0，对立假设H1:0)1(~/0ntnSXT用S2代替2，即选检验统计量小概率事件|T|d拒绝域为|t|t/2(n-1)由P{|T|t/2(n-1)}=,得d=t/2(n-1)0/XUnU不能作为检验统计量由于2未知f(t)t/2/2-t/2t/2拒绝域此检验法称为T检验法232.两正态总体均值差的检验X~N(1,12),Y~N(2,22),X,Y相互独立,X的样本为X1,X2,,Xn1，Y的样本为Y1,Y2,,Yn2检验H0:1-2=0，H1:1-20，(0为常数)X,Y的样本均值分别为,XYX,Y的样本方差分别为2212,SSX,Y的联合样本方差为222112212(1)(1)2wnSnSSnn(1)方差12，22已知(2)方差12，22未知,但12=22=2(3)方差12，22未知,但n1,n2都很大分三种情况24(1)方差12，22已知H0:1-2=0，H1:1-20，(0为常数)选统计量)1,0(~2221210NnnYXU小概率事件|U|d拒绝域为|u|u/2由P{|U|u/2}=,得d=u/2对右侧检验：H0:1-2=0，H1:1-20拒绝域uu对左侧检验：H0:1-2=0，H1:1-20拒绝域u-u25H0:1-2=0，H1:1-20，(0为常数)(2)方差12,22未知，但12=22=2选统计量)2(~1121210nntnnSYXTw22112212112wnSnSSnn其中小概率事件|T|d拒绝域为|t|t/2(n1+n2-2)由P{|T|t/2(n1+n2-2)}=,得d=t/2(n1+n2-2)26H0:1-2=0，H1:1-20，(0为常数)(3)方差12,22未知，但n1,n2都很大选统计量0221212XYUSSnn小概率事件|U|d拒绝域为|u|u/2由P{|U|u/2}=,得d=u/2则当n1,n2都很大时,近似地有~(0,1)UN27第三章假设检验§1假设检验问题§2正态总体均值的假设检验§3正态总体方差的假设检验§4p值检验法§5非参数检验28§3正态总体方差的假设检验1.单正态总体方差的检验2.两正态总体方差比的检验291.单正态总体方差的检验原假设H0:2=02，对立假设H1:2022211KdKd小概率事件2222221{(1)(1)}PKnKn由2222221{(1)}{(1)}KnKn拒绝域为选统计量)1(~)1(22022nSnK302.两正态总体方差比的检验X~N(1,12),Y~N(2,22),X,Y相互独立，12/22为方差比H0:12/22=1,即12=22，H1:1222，),1,1()1,1(,02121221nnFnnF拒绝域)1,1(~212221nnFSSF选统计量31第三章假设检验§1假设检验问题§2正态总体均值的假设检验§3正态总体方差的假设检验§4p值检验法§5非参数检验32前面讨论的假设检验方法称为临界值法，此法得到的结论是简单的，在给定的显著性水平下，不是拒绝原假设，就是接受原假设。但应用中可能会出现这样的情况：在一个较大的显著性水平（如α=0.05）下得到拒绝原假设的结论，而在一个较小的显著性水平（如α=0.01）下却得到接受原假设的结论.这种情况在理论上很容易解释：因为显著性水平变小后会导致检验的拒绝域变小，于是原来落在拒绝域内的观测值就可能落在拒绝域之外（即落入接受域内）。33对应于α3拒绝域对应于α2拒绝域对应于α1拒绝域试验获得的n维样本点12334试验获得的n维样本点对于给定的样本，即已知的事件，确定了一个拒绝域，此区域对应的α是多少呢？此α只与样本有关，称为该检验对应于这组样本的p值n维随机样本落在此虚线围城的区域内的概率.35例1一支香烟中的尼古丁含量，质量标准规定不能超过1.5mg，现从某厂生产的香烟中随机地抽取20支，测得平均每支香烟尼古丁含量为1.97mg，该厂生产的香烟尼古丁含量是否符合标准的规定？01:1.5:1.5HH按题意，需要检验假设这是一个有关正态总体下方差已知时对总体均值的单边假设检验问题，采用u检验法得拒绝域为1.5/xuun36在以下表中列出了显著性水平α取不同值时相应的拒绝域和检验结论由已知数据可算得1.971.52.11/20u由此可以看出，对同一个假设检验问题，不同的α可能有不同的检验结论37假设