随机变量离散概率函数

第四讲从随机变量到连续变量的分布函数本次课讲授第二章的2.2-2.3下次课讲授第二章2.4-2.7。下周上课时交作业P15—P18主要内容:随机变量、离散概率函数、泊松分布、连续分布函数、重点与难点：二项分布、泊松分布与连续变量的分布函数。四组独立莫忘记。组独不同两两独，独立条件无意义；积概率等概率积，便得二项分布式。次，恰发生；与每次重独立试验列，mAAAn第四讲随机变量与分布函数概念0()1,0()1,(/)(/)()(/)(/);()(/)(/);()(/)(/);()(/)(/)ABPAPBPABPABAPBAPBABPBAPBACPBAPBADPBAPBA设、为随机事件，则的充要条件为（）例题1（2016年12月研）()()()()(/)(/)()()1()()(1())()(()()),()()()(/)(/)()()()PABPABPAPABPABPABPBPBPBPABPBPBPAPABPABPAPBPABPABPABPAPB分析：由，=易得：得：所以，的充要条件是()()()()(/)(/)()()1()()(1())()(()()),()()()()PABPABPBPABAPBAPBAPAPAPAPABPAPAPBPABPABPAPBA对于(),由，=易得：得：显然，正确答案为一、随机变量及其分布函数（RandomVariableandDistributionFunction）是实数）来解决。是事件，（其中转换成成函数即将究则需要将数的问题变的过程，继续深入的研的问题率的实际问题转换成数早期的概率研究是将概xAxPyAPP)()(第四讲随机变量与分布函数概念等来记。、、母一般地，用大写英文字的随机变量。的元素是则称的函数，即的元素是如果按照一定的法则，是某一实数集合，空间，是任一随机试验的样本设YXxXXXxXX),(1.随机变量定义：）随机变量是实数；注解：（1量也是事件。都是事件，所以随机变成的集合不论一个或多个元素组的元素，即每一个对应与一个或多个的任一个值，的一个值的每一个元素对应于）由函数定义，（},,,{212iiiwwAxxXxX空间集合又构成了新的样本，因此空间也对应了样本的元素所有取值的集合的所有元素，变量的所有元素对应了随机对多，）不论是一对一还是一（XXX3第三讲随机变量与分布函数概念例4-1-1从装有3个白球（标号为1，2，3）与两个黑球（编号为4，5）的袋中任取2球，设随机变量x是取出的两个球中白球的个数，试写出：)(wXX为：则样本空间号球的标号，球为任取设随机事件.,,,,},{543212jijijiwij.,,210X解：由题意},,,,,,,,,{45353425242315141312},,{,},,,,,,{,}{,)(23131235342524151445210第三讲随机变量与分布函数概念之间是互斥的。事件不同变量值对应的随机｝。｛空间：构成了样本全部的基本事件，也就随机变量的全体对应了随机变量是随机事件，随机变量是实数，个特点：变量的出随机一对应特点，可以概括由以上实例和定义的一.4.3.2.1421,,,,nxxx2.随机变量的分类：分类离散型随机变量连续型随机变量所有可能取的值能一一列举出来所有可能取的值充满某一区间第三讲随机变量与分布函数概念都是离散随机变量等｝｛例如：},,,{,,,,,},,,{753121021ZnXxxxY等都是连续型随机变量，｛），（例如：}/{},/),(,,3321010xxZyxyxYX集合”；的值的中的满足”表示“随机变量则事件“为任意的几个实数。设随机变量的表示方法：00210,,xXXxXxxx3.随机变量的表示方法：所有值的集合”。的的满足”表示“随机变量同理，事件“的所有值的集合”的满足”表示“随机变量事件“212111;xXxXxXxxXXxX。；，，为：分别表示之间的所有值的集合”的满足在“随机变量的所有值的集合”，的满足小于等于”，“随机变量取值则事件“随机变量｛例如：设随机变量}10{}21{}210{-2,-1}2{}0{2120231012,,),(},,,,,,YYYYYY},,,{.,,,},,,,212121ikiiikiinxXxXxXxXxxxxXXxXxXxxxX”“则事件：的随机变量值为若设满足的变量值的集合”，的所有”表示“满足“我们已知，事件｛例如：设随机变量4.离散随机变量的区间概率：第四讲随机变量与分布函数概念第四讲随机变量与分布函数概念也就是说个事件至少发生一个。”发生是指以上事件“依据随机事件的含义，kxX互斥事件并变和，所以，变量值对应的事件互斥事件的并。又由于不同个）这（、、”是“kxXxXxXxXikii)()(21xxiikiiikiiixXPxXPxXPxXPxXxXxXPxXP)()()()()}(,)(){()(2121”“所以，的所有点都在数轴上，”包括了整个数轴，且“所有点的集合”，由于的的满足”表示“随机变量特殊地，“XXXXXXX结论：离散变量的区间概率等于对应区间上的所有变量点的概率的和5.随机变量的分布函数的分布函数为随机变量上的随机变量，则称：样本空间为值于实数域的函数）分布函数定义：设取（XxxXPxFwXX),()()(1第四讲随机变量与分布函数概念。且）两个等式：即）分布函数的性质（0)(,1)(,1)(012FFxF1)()()()(,1)()(11PxPxXPXPXPPiixiXi间概率结论所以，依据离散变量区1)()(,1)()(1,),(},,,{21XPFXPPXbaxxxXXXXxnX所以都在数轴上，即）或离散还是连续（例如，无论。时）一个不等式，即当显然，)()(20)()(2121xFxFxxXPF特点推出单调结论。连续时也可根据直观。）离散假设)()(0()()()()(12211212xFxFxXxPxPxPxFxFXxxixxiii)()(XPF由分布函数定义，第四讲随机变量与分布函数概念第四讲随机变量与分布函数概念23,21)(,23,21)(,32,32)(,52,53),()()()()()(2-1-4212121baDbaCbaBbaAxbFxaFxFXXXxFxFxF）（数中应取则下列给定各组的分布函数，且和、分别为随机变量、、，设例题),,,)(AabbaF个答案，选（对比由4111第四讲随机变量与分布函数概念;,,,,nixpi210第一，非负性：2.概率函数的性质二、离散型随机变量的概率函数概念的概率函数概率分布，又称的为离散型随机变量则称，们的概率分别为对应于所有变量值，它的值域为定义：设离散随机变量XXnixpxXPxpxpxpxxxXiinnX),,2,1)(()()(,),(),(},,,,,{.12121率之和，且，应区间上的所有点的概离散变量区间概率为对，前文所述，由于注解：设离散变量样本或记作，则数个的所有取值为有限或可机变量第二，和为一性：若随}{11211121,,,,,)(,)(,,,,niiniinxxxxPxPxxxX3.离散变量概率函数的表示方法),(,),(),(,,,,,nnxpxpxpxxxX2121其概率函数为的所有值于随机变量第一，公式列举法：对则概率函数的表格形式称为概率分布表。又叫列举法。XixXP1x2xnx)(2xp)(nxp)(1xp概率分布（表）第四讲离散变量概率分布11iixPXPFX)()()(。即”“率之和，且，应区间上的所有点的概离散变量区间概率为对量概率分布图。连接起来，得到随机变次把这些点再用折线顺概率纵坐标表示随机变量的而对应的表示随机变量在下图中，横轴上的点))(,()(,),(),(,,,iinnxpxxpxpxpxxx1121第二，概率图示方法有时也用概率分布图表示概率函数（分布）：1x2xnx1.03.02.0x)(xp第四讲离散随机变量的概率分布表格形式列出。函数，并将分布函数用常用的方法是求出概率第四讲离散随机变量的概率函数11kkp.解：依据..)]([lim])()()()[())(()(11111114131312121111321211111bbkbkkbkkbkkbkk量的概率分布。可以作为离散型随机变其中时，：常数例题),2,1()1(_____1-2-4kkkbpbk第四讲常用的离散变量的分布1.0-1分布：设随机变量X只能取两个数值0和1,则称P(X=1)=0，P(X=0)=1-q.为0-1分布。其概率分布为：X)(xpp110p通常称这种分布为称01分布(或两点分布).三、常用的离散随机变量概率分布).(,2,1,1,)(,)(.21pGkpqpqkXPkXkAkkXpAPAAkk称为几何分布，记作”的概率函数次数，则“次才发生的独立试验的第到此独立试验中事件”表示若变量“发生且与次试验只有次独立试验序列中，每设在几何分布pqmPmPkXPkk111)1()0()(由伯努利概型，显然设随机变量X的取值范围为：取得这些值的概率函数是：210,)(,n,,,xCCCxpnNxnMNxM3.超几何分布},,2,1,0{nx其中n,M,N都是正整数,nxNM.且nN,MN,xM,xn,的超几何分布服从参数为称这样的分布为NmnX,,第四讲常用离散分布通常记作),,,(~NMnHX（1）超几何分布原型：检查产品的次品问题设一批产品共有N个,其中有M个次品.从这批产品中任取n个产品，则取出的n个产品中的次品数X服从超几何分布),,(~NMnHXnNxnMNxMnNCCCxXPxnxXC)(:件次品，即件产品有取出；事件：第四讲常用离散分布(2)超几何分布在生产实际中应用广泛，但由于其计算繁琐，在理论中涉及不多。故一般的结论我们不做强化记忆的要求。分布。计算超几何时，常用二项分布近似所以当成立，时有结论）（1003.lim,NnqpCCCCNnxnxxnnNxnMNxMN4.二项分布记X为n次独立重复试验中事件A发生的次数，则称X的概率函数210nxqpCxpxnxxn,,,)(其中,10p,1qp为二项分布.记作：),(),(pnbpnB或第四讲常用离散分布二项分布在第一章中已经专门介绍过。除了已经讲述过的例子以外，二项分布还有最大概率值性质的最大值。为其概率时不是整数，则当）若（是其概率最大值。和是整数，则）若（则设)(])[()(])([))(()(),,(~kXPpnkpnpnXPpnXPpnpnBX11211111例4-3-1的值求若已知)1(,95)1(),,3(~),,2(~YPXPpBYpBX.)1(),,3(~pYPpBY关键是求所以求分析：因为)0(1)1(1)1(.95)1(XPXPXPpXP求解：由第四讲常用离散分布例如，根据历史记录，某个学生平均每考3门课，就有1门课成绩为优秀，现本学期有8门课，试问