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2014年第八届“学而思杯”数学试卷（五年级）一．填空题（每题5分，共20分）1.今天是2014年4月7日．有一个数，它除以14，商是4，余数是7，那么，这个数是．2.定义：2abab△，2abab☆，那么，1(68)△☆．3.2014年2月共有28天，据气象部门统计，这个月北京有雾霾的天数占全月总天数的37．盛盛喜欢跑步，他在雾霾天每天跑1嘀，其它时间每天跑3嘀．那么，盛盛2014年2月总共跑了嘀．4.如下图，1号立体图形是一个正四棱锥，2号立体图形是一个正四面体，红色部分是大小相同的正三角形．把1号和2号拼成一个新立体图形，让两个红色部分完全重合，那么，这个新立体图形共有个面．二．填空题（每题6分，共24分）5.下图中，共有个等边三角形．6.将下面的乘法竖式补充完整，那么，最后的乘积是．04127.下图是国际象棋棋盘，将每一行的棋子数写在了棋盘左边，将每一列的棋子数写在了棋盘的上边，已知每格至多放一枚棋子，且同一行或同一列的棋子全部相连，那么，白格中共有枚棋子．1236687455686421218.4名瓦工用面积为80平方厘米的地砖铺6平方米的房间，用了3天时间；16名瓦工用另一种规格的地砖铺了12平方米的房间，用了12天时间．每名瓦工铺一块任何大小的地砖所需要的时间都相等．那么，第二个房间所用的地砖面积是平方厘米．三．填空题（每题7分，共28分）9.把1个1，2个2，3个3，……按顺序排成下图数表，那么这个数表中第10行第10列的数是．10.算式()()()2014ABCDEFGHIJ中，丌同的字母代表丌同的数字，那么两位数AB的最大值是．11.如右图，正方形ABCD的边长为10，以A为囿心10为半径作弧交AC于E，以B为囿心10为半径作弧交BD于F，以C为囿心10为半径作弧交AC于G，以D为囿心10为半径作弧交BD于H，那么，图中阴影部分的面积是．（π取3.14）12.黑板上写着5个连续的两位数，小明将其中的3个相加，和能被47整除，小军也将其中的3个相加，和能被97整除．那么，黑板上写的5个数乊和是．四．填空题（每题8分，共32分）13.n是一个三位数，如果2014n的结果的数字和是n的数字和的一半，那么，n的最大值是．…………999999999888888887777777666666555554444333221ABCDEFGH14.某城市交通路线图如下，A、B、C、D为绿色正方形各边中点，E、F、G、H为黄色正方形各边中点，学校在CG中点处，学而思在DH中点处，已知开车在绿色道路上最大时速为60km/h，在黄色道路上最大时速为40km/h，在红色道路上最大时速为20km/h．已知从家到学而思最少需要22分钟，从学校到学而思最少需要20分钟，那么，从家到学校最少需要分钟．15.A、B、C三个数都有6个约数，幵且它们都没有大于10的质因数．如果(,)2AB，(,)1AC，(,)5BC，那么，A、B、C三个数共有种丌同的组成情况．16.甲、乙两人轮流往立方体的任意一个顶点填入1～20中的一个数（丌能重复），要求每次填的数一定比3个相邻位置中已有的数大，谁无法填出谁负．甲先填，第一次填了17（如图所示），那么，如果乙想要获胜，他第一次填的数最小是．第二部分解答题五．解答题（每题8分，共16分）17.计算：（1）616678（4分）（2）0.161.32.5（4分）18.（1）解方程：81335xx（4分）（2）列方程解应用题：五年一班男生和女生的人数比是5:4，后来又转来1名男生和2名女生，这时男生和女生的人数比是7:6，请问：这个班原来．．共有学生多少人？（4分）ABCDEFGHO家学校学而思17六．解答题（每题15分，共30分）19.如右图，正方形ABCD的面积为1，E、F分别为BC、CD的中点，AE和BF相交于点O．求：（1）ABE△的面积；（3分）（2）:AOOE；（4分）（3）AOB△的面积；（4分）（4）COD△的面积．（4分）20.老师在黑板上随机写了8个数，每个数都是1、2、4中的某一个．学生们每次擦去两个相同的数，幵把这两个相同的数的和写在黑板上．如果某位同学在黑板上写出了“2048”，则过程“成功结束”，否则老师就再随机写一个数上去（1或2或4），以保证黑板上仍有8个数．学生每次成功写数都会得不此数相同的分数，例如：擦去两个2，写上4，得到4分．如果幵没有写出2048，但已没有相同的数可以同时擦去，则过程“失败结束”．（1）如果黑板上出现了“32”，那么此时总分至少是多少分？（5分）（2）若一个过程结束后恰好得到了18000分，能否是一次“成功结束”？为什么？（5分）（3）某一次过程“成功结束”了，幵且最后黑板上的数互丌相同，那么这个过程的总得分最少是多少分？（5分）OFEDCBA2014年南京五年级学而思杯答案解析一、填空题（每题5分，共20分）1.【考点】数论，带余除法【难度】☆【答案】63【分析】144763.2.【考点】定义新运算【难度】☆☆【答案】41【分析】1(68)1(268)120122041△☆△△.3.【考点】应用题，分数应用题【难度】☆☆【答案】60【分析】雾霾天有328127天，故其他时间为281216天，故共跑了11231660圈.4.【考点】几何，立体几何与空间想象【难度】☆☆☆【答案】5【分析】若认为“有棱围起来的就算一个面”的话，粘合之前有549个面，粘合后失去2个面，故有927个面.但要注意“共面的面算同一个面”，会发现红色三角形旁边的面是共面的，答案是725个面.共面证明如下：设正四棱锥、正四面体的边长是a，那么将正四棱锥沿底面正方形边长的方向平移a可得到新的正四棱锥，如图：两个灰色的面由于是平移得来的，故这两面平行，但在底边上这两面有公共的线（CD、DE共线），故知这两个灰色的面其实在同一平面上.所以连接AB的话，三角形ABD也在这个平面上（因为A、B、D三点都在这个平面上）.AB的长度就是平移长度，故ABa，又ADBDAGBGDGa，故知四面体ABDG正是我们所要找的边长为a的正四面体，可见ABD面与ACD面其实是同一个面，同理ABG面和AFG面其实也是同一个面.所以答案不是7，而是5.二、填空题（每题6分，共24分）5.【考点】组合，几何计数【难度】☆☆【答案】14【分析】若最小的正三角形边长为“1”，则这种边长为“1”的三角形有12个，边长为“2”的三角形有2个，共14个.6.【考点】数字谜，乘法竖式谜【难度】☆☆【答案】2014【分析】第二个部分积是1□，故知第二个乘数的百位必为1，且第一个乘数必为1□，很小；进而范围分析算式1□×10□＝2□□4，由于181092000，故知第一个乘数只能是19，算式是191062014.HGFEDCaaaaaBAaaaHGFEDCaaaaaBAaaaGFDCaaaaaBAa7.【考点】数独思想【难度】☆☆☆【答案】18【分析】突破口是第4行以及第6列，都是“8”，故知此列全满，以此为起点，填出所有其他行列（先找最大数或最小数比较好填，即8→1→7→2→……的顺序）：1236687412366874123668745○5×○5×○○5○5×○5×○○6○6×○6×○○8○○○○○○○○8○○○○○○○○8○○○○○○○○6○6×○6×○○4○4×○4×○○2○2×○2×○○1○1×××××○××1×××××○××1236687412366874123668745×○○5×○○○○5×○○○○5×○○5×○○○○5×○○○○6×○○6×○○○○6×○○○○8○○○○○○○○8○○○○○○○○8○○○○○○○○6×○○6×○○○○6×○○○○4×○○4×○○○○4×××○○○○×2×××××○○×2×××××○○×2×××××○○×1×××××○××1×××××○××1×××××○××1236687412366874123668745×○○○○5×○○○○5××○○○○5×○○○○○5×××○○○○○5×××○○○○○6×○○○○○6×○○○○○6×○○○○○○8○○○○○○○○8○○○○○○○○8○○○○○○○○6×○○○○6×○○○○6×○○○○○4×××○○○○×4×××○○○○×4×××○○○○×2×××××○○×2×××××○○×2×××××○○×1×××××○××1×××××○××1×××××○××12366874123668745×××○○○○○5×××○○○○○5×××○○○○○5×××○○○○○6×○○○○○○6××○○○○○○8○○○○○○○○8○○○○○○○○6×○○○○○×6×○○○○○○×4×××○○○○×4×××○○○○×2×××××○○×2×××××○○×1×××××○××1×××××○××其中灰色的步骤是用到了“同一行或同一列的棋子全部相连”这一条件推导而来的.计数最后一个图中的白色格的棋子数量，为18个.8.【考点】应用题，归一问题的比例解法【难度】☆☆☆【答案】10【分析】若硬生生地归一，计算量会很大，归一数亦非整数，不利于计算.考虑两次铺砖的比例关系：16名砖瓦工铺12天所铺的块数，应是4名砖瓦工铺3天所铺块数的16121643倍，但房间大小方面，第二个房间只是第一个房间的1262倍，这说明第一个房间的地砖大小是第二个房间地砖大小的1628倍，故知第二个房间的地砖大小为80810平方厘米.三、填空题（每题7分，共28分）9.【考点】计算，方形数表【难度】☆☆☆【答案】13【分析】第10行第10列的数是第991091个数，而12341391，故知此数为13（13个13中的最后那个）.10.【考点】数论，数字谜，最值【难度】☆☆☆【答案】98【分析】201421953，故知2IJ，另外两个括号分别是19和53；或者1IJ，另外两个括号分别是38和5.AB的理论最大值为98，另一方面有实例(9845)(3617)(20)2014，故答案是98.11.【考点】几何，圆与扇形【难度】☆☆☆【答案】57【分析】2245(π10104)450π10057360S阴影.12.【考点】数论，最值【难度】☆☆☆☆【答案】160【分析】这样的5个数中挑出3个作和，最大和比最小和多6，故知题目所叙述的两个和应该尽量接近（差在6以内）；又5个数都是2位数，所以和小于等于294.在这两个限制条件内，可选的97的倍数有97、194、291；其中97与47294的差在6以内，构造30、31、32、33、34，可加出97、94（例：30333431323497，30313394）；194与474188的差刚好是6，说明若有实例则188是最小三数和，194是最大三数和，故知188和194应为3的倍数，但事实并非如此，故知不存在实例使得三数和为188、194；291附近（差为6以内）没有47的倍数，故亦不存在实例使得三数和为291及47的倍数.综上，符合要求的实例只有一个：30、31、32、33、34，其和为160.四、填空题（每题8分，共32分）13.【考点】数论，弃九法【难度】☆☆☆☆【答案】994【分析】设nabc，根据弃九法，2014(mod9)2abcabc，即()7(mod9)2abcabc，解得4(mod9)abc，故理论最大值为994.经验证994正确，故答案为994.14.【考点】行程，比例行程，统筹与规划【难度】☆☆☆☆【答案】28【分析】设OH的长度为akm，则走绿色akm、黄色akm、红色akm所用的时间比为111::2:3:6604020，分别设为2t、3t、6t分钟.另设从家沿绿色到A的用时是x分钟.从学校到学而思的两个可能的最短时间的路线为：①向下先到C，再沿绿色道路到D，再到学而思，用时62414ttt分钟；②向上先到G，再沿黄色道路到H，再到学而思，用时63212ttt分钟.可见方案②时间更短，故1220t，解得53t.从家到学而思最短时间路线显然为沿绿色走到D，再到学而思，用时为2460.5xtt5511223xtx分钟，解得113x，故知家到左上角的时间为223tx