15.5几何体的体积(2)

锥体的体积(1)1.祖暅原理夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等．复习定理棱柱的体积等于它的底面积s和高h的积。V棱柱=sh2.棱柱体积棱锥体积公式及其探索思路？棱锥的体积公式Ｖ棱锥＝?问题等底面积等高的任意两个锥体的体积是否相等?αshsh等底面积等高的任意两个锥体的体积相等S1S2h1h1β公式推导推导1只要证明S1=S2即可即∴21SSSS1221hh=SS2221hh=SS1SS2=公式推导αshshS1S2h1h1β∵截面与底面相似，它们的面积比等于相对应的高的平方比公式推导等底面积等高的两个锥体的体积相等推导1+祖暅原理(定理）推导2但锥体的体积如何求出？“简单”的锥体作代表三棱锥?锥体的代表21SS因为锥体体积只和底面积、高有关，而与形状无关。故我们选用最简单的三棱锥作为突破口。公式推导推导3那么怎样研究三棱锥的体积呢？回忆直角三角形面积公式探求过程：补割回忆组合图形面积公式探求过程：+割补先补后割与先割后补是处理几何问题常用的方法（即割补法）。能否将上述思维方法迁移到求三棱锥的体积上来？公式推导ABCA′B′C′显然此三棱柱的底面积为S,高为h.∴V三棱柱=ShhS公式推导ABCA′B′C′显然此三棱柱的底面积为S,高为h.∴V三棱柱=Sh公式推导ABCA′B′C′显然此三棱柱的底面积为S,高为h.∴V三棱柱=ShABB′CA′B′CA′C′B′CA′C′B′CA′C′B′CA′′公式推导显然此三棱柱的底面积为S,高为h.∴V三棱柱=ShABCA′B′CA′C′BB′CA′BB′CA′BB′CA′BCA′BB′CA′公式推导ABCA′BB′CA′BB′CA′BB′CA′BCA′BB′CA′B′CA′C′公式推导ABCA′BCA′BB′CA′B′CA′C′B′CA′C′B′CC′B′CA′C′公式推导分析.∵S△A’AB（面1）=S△A’B’B（面2）(底)即V1=V2同理可证V2=V3(怎证?)C点到面A’AB（面1）的距离等于C点到面A’B’B（面2）的距离（高）(用S△BB’C（面4）=S△C’B’C（面3）可证)∴V1=V2=V3∴V三棱锥C-A’AB=V三棱锥C-A’B’B因此V1=V2=V3=V三棱柱3131=ShABCA′B′C′hS即V三棱锥A’--ABC=Sh31公式推导4公式推导定理:三棱锥V三棱锥=Sh(底面积为S，高为h)推导4三棱锥的体积问题已经解决了，那么一般棱锥的体积如何呢？由等底面积等高的两个锥体的体积相等，得课堂小结知识方面本节课学习了利用祖暅原理、割补法获得了棱锥的体积公式，并初步体会棱锥体积公式的应用；思维能力方面体会到联想、类比、猜想、证明等合情推理及逻辑推理的方法在探索新知识方面的重要作用。