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浅谈框架问题思维法在解决问题教学中的应用昆明市盘龙区金康园小学周佳泉2017年11月从画一幅画说起。前言A同学作品原图B同学作品原图A同学作品B同学作品谁画得更像？为什么B同学画得比较像？因为B同学用了“框架”，大体的位置和比例关系处理得更好。1.学生的苦恼：（1）数量关系不明确（2）找不到中间条件（3）情境远离学生生活（4）解题的步骤混乱总体来说：就是缺少对问题的一个“整体感知”一、小学数学解决问题教学现状2.教师的对策对策一：依托生活经验优点：数学生活化，简单易懂局限：生活经验对数学的负迁移作用例：岸上原来有11只青蛙，跳进水里一些后，岸上还剩下4只。跳进水里多少只？学生解答：11－7＝4（只）答：跳进水里7只。原因分析：（1）在部分学生心目中，减法就是“减少”。（2）生活事件中，“青蛙跳水”分为三个阶段三个阶段存在因果关系，不能颠倒。11只？只4只而在数学上：青蛙的总数是一个集合，由两个子集组成——岸上的和水里的。两个子集地位平等，不存在因果关系；无“间隙”对接，非此即彼。因此，用总数减去其中任何一个部分都得另一个部分。这就说明：生活经验≠数学方法对策二：用综合法或分析法优点：思维缜密，逻辑性强局限：步骤繁琐，眼花缭乱例：一项工程，甲队独做需要10天，乙队独做需要15天。现在甲队先做4天，余下的两队合作，还需要多少天？分析法：（倒推法）综合法：（顺推法）对策三：找条件和问题，中间“贴地砖”优点：方向明确，简洁高效局限：有时候会进入“死胡同”例：王芳买了2瓶墨水和5本笔记本，墨水的单价是笔记本的1.5倍。她付给售货员100元，发现用去的钱正好是剩下的钱的4倍。墨水和笔记本的单价各是多少元？对于学生来说：5个已知条件似乎都无法与问题挂勾（隐蔽性太大）1.我们也来画个“框架”，把问题套进去。例1：一项工程，甲队独做需要10天，乙队独做需要15天。现在甲队先做4天，余下的两队合作，还需要多少天？二、框架问题思维法的尝试应用首先想：两个队是如何完成这项工作的？——合做，只是做的时间不同。即：甲工程量＋乙工程量＝工程总量，用方程表示为（设还要X天）：×（4＋X）＋X＝1110110115例2：一项件工作，师傅独做要8天，徒弟独做要12天。师徒二人合做了若干天后，师傅去出差。师傅回来后又和徒弟一起做。这样一共用了9天才完成这项工作。师傅出差了几天？同样用上面的“框架”来装问题：师傅做的＋徒弟做的＝工作总量设师傅实际做了X天×9＋X＝1X＝29－2＝7（天）答：师傅出差了7天。例3：王芳买了2瓶墨水和5本笔记本，墨水的单价是笔记本的1.5倍。她付给售货员100元，发现用去的钱正好是剩下的钱的4倍。墨水和笔记本的单价各是多少元？首先想：讲了一件什么事？买东西，还剩钱。钱是怎样剩下的？总数－用去的＝剩下的“填空”（设剩下的钱为X）总数－用去的＝剩下的用去：20×4＝80元再追问：这80元是怎样用去的？墨水钱＋笔记本钱＝用去的钱100－4X＝XX＝20（继续填空）5Y1.5Y×2＋＝80例4：李白提壶街上走，遇店加一倍，遇花喝一斗。三遇店和花，喝干壶中酒。李白原有几斗酒？首先想：李白干什么事？两件事，加酒，喝酒。两件事有顺序吗？先加，再喝。三个回合以后，酒喝完了。明白了：加酒，喝酒，又加酒，又喝酒，再加酒，再喝酒。最后“等于0”。一遇：二遇：三遇：解方程得：X×2＝2X2X－1＝YY×2＝2Y2Y－1＝ZZ×2＝2Z2Z－1＝0Z＝0.5代入方程二Y＝0.75代入方程一X＝0.875例5：著名的“牛吃草”问题一个牧场的草保持匀速生长。这些草够30头牛吃5天，或够16头牛吃12天。请问这些草够21头牛吃几天？传统解法：假设每头牛每天吃“1”根草第一组牛共吃草：第二组牛共吃草：第二组比第一组多吃：说明每天长出“新草”：原有“老草”：30×5×1＝150（根）16×12×1＝192（根）192－150＝42（根）42÷（12－5）＝6（根）192－12×6＝120（根）重新整理思路：假设每头牛每天吃“1”根草原有“老草”120根，每天长出“新草”6根；于是：专门派出6头牛吃“新草”，剩下的牛吃“老草”：21－6＝15（头）120÷15＝8（天）用框架思维法思考：一个牧场的草保持匀速生长。这些草够30头牛吃5天，或够16头牛吃12天。请问这些草够21头牛吃几天？老草1＝老草2设每天长出X根新草30×5×1－5X＝16×12×1－12X30×5×1－5×6＝21×Y×1－6Y总草1－新草1＝总草2－新草2X＝6设第三组牛可以吃Y天Y＝8例6用一根绳子测量一口井。三折来量，井外余4米，四折来量，井外余3米。井深和绳长各是多少米？找到不变量：绳长（也可以是井深）基本数量关系：每折绳长×折数＝绳长绳长1＝绳长2（设井深为X）（X＋4）×3＝（X＋1）×4X＝8绳长（8＋4）×3＝36（米）2.什么是框架问题？就是在解题过程中处于核心地位、能影响全局的、能使学习者明确活动“边界”的“整体问题”。3.什么是框架思维法？框架思维法，是从整体出发考虑，并用尽量简洁的形式描述问题的一种思维方式。链接：数学原理的应用常常是以生活化的方式给问题，从事物之间的相互关系构建出数量之间的相互关系。这类问题的解决，需要学生有一定的生活常识，并根据数量之间的相互关系构建出一个问题框架（数学模型），问题所涉及的范围就成为这个框架的边界。这就如同把问题关进了解题方法的笼子里。1.抓大放小，不纠缠细节；2.变逆为顺，顺应原认知；3.拦腰截断，不管头和尾；4.做好框架，往里填东西。三、善用框架问题思维法补充知识：学生学习水平发展的几个阶梯我们通常认为学生的学习能力层次：读书真难！理解学生获取信息明确含义信息输出听懂能模仿再现能判断正误能校正错误明确行动程序区分关键步骤与非关键步骤简化预知结果趋势或范围学会能处理“例外”情况能与旧知进行横向与纵向联系熟练通达大道至简小技巧繁任他眼花缭乱我只一剑封喉