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西安交通大学考试题课程系别考试日期2007年7月9日概率论与数理统计（A）专业班号姓名学号期中期末一、填空题(6×4分=24分)1.设A、B、C是三个事件，且()()()0.25PAPBPC===,()()0PABPBC==，()0.125PAC=，则A，B，C至少有一个发生的概率为______。2．在一副扑克牌（52张）中任取4张，则4张牌花色全不相同的概率为___________.3．设总体2(0,)XNσ,1215(,,)XXX是来自X的简单随机样本，则统计量2251221562()XXYXX++=++服从的分布是________。4．设随机变量X服从参数为λ的泊松分布，且已知[](1)(2)1EXX−−=，则λ=。5．设两个随机变量X与Y的方差分别为25和36,相关系数为0.4,则()DXY+=__________,()DXY−=________。6.参数估计是指_________，包括_________与_________两种估计方式。成绩共4页第1页二、(12分)两台车床加工同样的零件，第一台出现废品的概率为0.03，第二台出现废品的概率为0.02，加工出来的零件放在一起，现已知第一台加工的零件比第二台加工的零件多一倍。（1）求任意取出一个零件是合格品的概率是多少？（2）如果任取的零件是废品，求它是由第二台车床加工的概率。三、(12分)对敌方的防御工事进行100次轰炸，每次命中目标的炸弹数是一个随机变量，其期望值为2，方差为1.69，求在100次轰炸中有180到200颗炸弹命中目标的概率。共4页第2页四、(16分)设总体X的密度函数为1,01(;)0,xxfxθθθ−≤≤=其他,其中0θ为未知参数，1(,,)nXX为来自总体X的一个简单随机样本。求（1）θ的矩估计；（2）θ的极大似然估计。五、(10分)设ˆθ是θ的无偏估计量，证明：若ˆθ是θ的均方相合估计，则ˆθ一定是θ的相合估计。共4页第3页六、(12分)设随机变量(,)ξη的分布密度为3,01,0(,)0,xxyxfxy=其它.求ζξη=−的分布函数和概率密度。七、(14分)新旧两个水稻品种进行对比试验，旧品种共分成25个小区，平均产量136.65xkg=，样本标准差12.32Skg=；新品种共分成20个小区，平均产量237.35xkg=，样本标准差21.89Skg=。问新品种是否优于旧品种?（0.05α=，并假定水稻产量服从正态分布）注：(1.8)0.9641Φ=(2.0)0.9772Φ=(1.54)0.9394Φ=F0.025(24,19)=2.45,F0.025(19,24)=2.331,F0.975F(24,19)=0.429,0.05(24,19)=2.11,F0.05(20,25)=2.01,F00250.05(25)1.7081t=(20,25)=2.3,,0.05(20)1.7247t=,0.05(43)1.681t=共4页第4页西安交通大学本科生课程考试试题标准答案与评分标准课程名称：概率论与数理统计（A）课时：48考试时间：2007年7月9日一、填空题(24分)58;445213C或0.1055;F(5,10);1;85,37;由样本对总体中的未知参数进行估计，点估计,区间估计.二、设Ai2121()()(|)(10.03)(10.02)0.97333iiiPBPAPBA===−+−=∑={任意取出一个零件是第I台机床生产的}，（i=1,2）B={任意取出一个零件是合格品}(1)(6分)(2)2222110.02()(|)3(|)0.25210.030.02()(|)33iiiPAPBAPABPAPBA=×===×+×∑(6分)三、令第i次轰炸命中目标的炸弹数为ix，100次轰炸中命中目标的炸弹数为1001iiXx==∑。由独立同分布中心极限定理知，X近似服从2(,)Nnnµσ。(5分)代入已知数据，即(200,169)XN，所求概率为{}180200200220200180200169169169XPXP−−−≤≤=≤≤2020020131313XP−−=≤≤(1.54)(1.54)φφ=−−＝0.9394－（1－0.9394）＝0.8764(7分)四、(1)11100()1EXxfxdxxdxxdxθθθθθθ+∞−−∞====+∫∫∫令EXX=,即1Xθθ=+,得1XXθ=−,故θ的矩估计为21XXθ=−(6分)（2）似然函数为1()(;)nkkLfxθθ==∏11,01(1,,),0,nkkkxxknθθ−=≤≤==∏其它121,01(1,,),0,nnkkkxxknθθ−=≤≤==∏其它当01(1,,)kxkn≤≤=时，1ln()ln(1)ln2nkknLxθθθ==+−∑，求导得似然方程1ln()1ln022nkkdLnxdθθθθ==+=∑其唯一解为221(ln)nkknxθ==∑，故θ的极大似然估优于旧品种。(7分)第1页计为221(ln)nkknxθ==∑(10分)五、由题知ˆ()Eθθ=，且2ˆLθθ→，故22ˆˆˆˆ()(())()0PDEeEθθθθθ=−=−→(5分)由切比雪夫不等式得，{}2ˆ()ˆˆ()0PDPEθθθεε−≥≤→(5分)六、()()(,)xyzFzPzfxydxdyζξη−≤=−≤=∫∫当Z0时，()0Fzζ=，当01z≤时,333()322DFzxdxdyzzζ==−∫∫当1z时,112000()331xFzxdxdyxdxζ===∫∫∫(8分)2'3(1),01()()20,zzfzFzζζ−≤==其它(4分)七、两个总体方差未知，先检验它们是否相等，令22012:Hσσ=，22112:Hσσ≠，选取检验统计量2122SFS=,在H012(1,1)FFnn−−成立前提下，，n1=25,n2F=20,查表得0.025(24,19)=2.45,F0.975F的观察值(24,19)=0.429,222.321.507(0.429,2.45)1.89f=≈∈,故接受H0，2212σσ=即认为.(7分)(1)在2212σσ=的条件下，进一步检验假设：012:Hµµ≥，112:Hµµ。选取检验统计量122211221212(1)(1)111XXTnSnSnnnn−=−+−++−,在H012(2)Ttnn+−成立前提下，。查表得120.05(2)(43)1.681tnntα−+−=−=−,而T的样本观察值为35.6537.352.6471.681112.1412520t−=≈−−+,故拒绝H0，即认为新品种西安交通大学考试题课程学院概率论与数理统计（A）卷专业班号考试日期2008年7月9日姓名学号期末题号一二三四五六七八得分一、填空：（4*8=32分）（注：答案写在答题纸上）1、已知()3.0=AP，()4.0=BP，()5.0=−BAP，()PBAB=。2、设X～()pB,2，Y～()pB,3，若()951=≥XP，则()1PY≥=。3、10个人在第一层进入十八层楼的电梯，假如每个人以相同的概率从任一层走出电梯（从第二层开始），则此10个人在不同楼层走出电梯的概率。4、设随机变量X服从参数为2的指数分布，21XYe−=−的概率密度为。5、设二维随机变量(,)XY的联合密度函数为：4,01,01(,)0,xyxyfxy≤≤≤≤=其它，则()PXY=。6、已知..,,rvXYZ有()()1EXEY==，()1EZ=−，222()()()2EXEYEZ===，,,,110;;22XYXZYZρρρ===−，则(2,3)CovXYZX++=。7、设（1X，2X，…，nX）为来自正态总体X～()2,0σN的一个样本，则2121∑=niiXnσ～。8、写出两个正态总体在均值12,µµ未知时的方差比得置信度为1α−的置信区间。成绩√二、（12分）某工厂有四条流水线生产同一种产品，该四条流水线的产量分别占总产量的15%、20%、30%、35%，又这四条流水线的不合格品率依次为05.0、04.0、03.0及02.0，现在从该厂产品中任取一件，问恰好抽到不合格品的概率为多少？该不合格品是由第四条流水线上产的概率为多少？三、（10分）设顾客在某银行窗口等待服务的时间X（以分计）服从指数分布，其概率密度为：510()50xXexfx−=其它，某顾客在窗口等待服务，若超过10分钟他就离开，他一个月要到银行5次，以Y表示他未等到服务而离开窗口的次数，试写出Y的分布，并求()1≥YP。四、（10分）在一个有n个人参加的晚会上，每个人带了一件礼物，且假定各人带的礼物都不相同，晚会期间各人从放在一起的n件礼物中随机抽取一件，试求选中自己礼物的人数X的均值与方差。五、（8分）五个独立元件,寿命分别为125,,,,XXX都服从参数为λ的指数分布，若将它们串联成整机，求整机寿命的分布密度。六、（8分）某汽车销售点每天出售的汽车数服从参数为2=λ的泊松分布。若一年365天都经营汽车销售，且每天出售的汽车数是相互独立的，求一年中售出700辆以上汽车的概率。七、（10分）设总体X的密度函数为()=−其它010;1xxxfθθθ，又(1X，2X，…，nX)是取自总体X的一个样本，求未知参数θ的矩估计量和极大似然估计量。八、（10分）某校为评估教学改革后教学质量情况，分别在2005年，2008年举行两次高数考试，考生是从该校大一学生中随机抽取，每次100个。两次考试的平均得分分别为5.63、0.67。假定两次高数考试成绩服从正态分布211(,)Nµσ、222(,)Nµσ，1.21=σ，2.22=σ；对显著水平05.0=α检验该校高数成绩有无提高。附表：(1.11)0.8665Φ=；(1.64)0.95Φ=。（答案可写在背面）西安交通大学本科生课程考试试题标准答案与评分标准课程名称：概率论与数理统计（A）课时：48考试时间：2008年7月9日一、填空：（每空4分）1、142、19273、10101717P4、(0,1)U5、126、727、()12χ8、−−−−−)1,1(1,)1,1(1212/12221212/2221nnFSSnnFSSαα二、设iA=第i条流水线生产的产品，1,2,3,4i=；B=抽到不合格品1234()0.15;()0.20;()0.30;()0.35pApApApA∴====1234()0.05;()0.04;()0.03;()0.02pBApBApBApBA∴====(4分)（1）41()()()0.0315iiipBpApBA===∑(8分)（2）44441()()()0.2222()()iiipApBApABpApBA===∑(12分)三、25101011exp(),(10)()55xXPXfxdxedxe−+∞+∞−∴≥===∫∫(5分故2(5,)YBe−，25(1)1(0)1(1)0.5167PYPYe−∴≥=−==−−=(10分)四、设10iiXi=第人取到自己的礼物第人没取到自己的礼物12...in=，，,X101/n11/n−(3分)1()EXn∴=11()()1niiEXEXnn=∴==⋅=∑(6分)21()iEXn=，1();,1,2,,(1)ijEXXijnnn==−ijXX10P1(1)nn−11(1)nn−−222111221111()21111()2()222(1)(1)nnniiijiiijnnnnniijniijniijnEXEXEXXXEXEXXnCnnnnnn==≤≤=≤≤=≤≤==+=+=+=⋅+⋅⋅=−−∑∑∑∑∑∑∑第1页22()()()1DXEXEX∴=−=(10分)五、设整机寿命为N，1,2,,5min{}kkNX==(3分)5511,0,()1(1())0,xNkkexFxFxλ−=−=−−=∏其它，(