条件概率

《概率统计》下页结束返回§１.４条件概率一、条件概率⑴条件概率二、事件的独立性下页⑵乘法公式《概率统计》下页结束返回§1.4.1条件概率实际中，有时会遇到在某一事件A已经发生的条件下，求另一事件B发生的概率，称这种概率为A发生的条件下B发生的条件概率。例.设盒中10个玻璃球(6红，4蓝)，10个木质球(7红，3蓝)，从中任取1球，(1)求取出玻璃球的概率．(2)已知取出的是玻璃球，求它是红球的概率．解：设A＝{取出1个玻璃球}，B＝{取出1个红球}．(1)P(A)=10/20=1/2(2)P(B|A)=6/10问题：条件概率P(B|A)与普通概率有何关系？106)|(ABP20/1020/6)()(APABP下页《概率统计》下页结束返回§1.4.1条件概率1.定义1设A，B为随机试验E的两个事件，且P(A)＞0，则称)()()|(APABPABP一、条件概率为在事件A已发生的条件下，事件B发生的条件概率.注：条件概率与普通概率有相类似的性质，如，(1)若BC＝Φ，P((B+C)|A)=P(B|A)+P(C|A))|(1)|(ABPABP(2)下页《概率统计》下页结束返回§1.4.1条件概率2.条件概率的计算a)在缩减的样本空间上直接计算。b)利用公式计算。例1．设10件产品中有7件正品，3件次品，从中取两次，每次取1件，取后不放回，求在第一次取得正品的情况下，第二次取得正品的概率．解：（缩减样本空间法）设A＝{第一次取得正品}，B＝{第二次取得正品}，则P(B|A)=6/9=2/3。下页《概率统计》下页结束返回§1.4.1条件概率)()()|(APABPABP10721027PP例1．设10件产品中有7件正品，3件次品，从中取两次，每次取1件，取后不放回，求在第一次取得正品的情况下，第二次取得正品的概率．解：（公式法）设A＝{第一次取得正品}，B＝{第二次取得正品}，则3296下页《概率统计》下页结束返回§1.4.1条件概率例2.设10件产品中有7件正品，3件次品，从中任取两件，已知其中有1件正品，求另1件也是正品的概率．解：（公式法）设A＝{其中有１件正品}，B＝{另１件也是正品}，则)(1)()()()|(APABPAPABPABP2112102321027CCCC下页《概率统计》下页结束返回例3.设某种动物由出生而活到20岁的概率为0.8，活到25岁的概率解:设A={活到20岁}，B={活到25岁}5.08.04.0)()()|(APABPABP且P(A)=0.8，P(B)=0.4由于AB，有AB=B于是所求概率为因此P(AB)=P(B)=0.4为0.4，求现龄为20岁的这种动物活到25岁的概率？则所求概率为])()([)|(APABPABP下页《概率统计》下页结束返回.31)|(ABP于是，解：设A={至少有一个女孩}，B={两个都是女孩}(1)利用缩减样本空间法缩减的样本空间为：{{男,女},{女,男},{女,女}}。练习：一个家庭有两个小孩，已知至少有一个女孩，求两个都是女孩的概率。(2)利用公式法)(1)()()()|(APABPAPABPABP.314/114/1)|(ABP则所求概率为（为什么？）下页《概率统计》下页结束返回二、乘法公式若Ｐ(A)0,则P(AB)=P(A)·P(B|A)可推广一般形式：若P(A1A2…An-1)0，则P(A1A2…An)＝P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)…P(An｜A1A2…An-1)例4.已知P(A)=0.5,P(B)=0.6,P(B|A)=0.8,求P(A∪B)解:P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)=P(A)+P(B)-P(A)P(B|A)=0.7。下页《概率统计》下页结束返回解：设Ai={第i次取得正品}，i=1，2，3。（2）809.0998910090)|()()(12121AAPAPAAP)|()|()()(213121321AAAPAAPAPAAAP00835.0989099910010（1）例5.100个零件中有10次品，每次任取一件，取后不放回。(1)连取两次，求两次都取得正品的概率；(2)连取三次，求第三次才取得正品的概率。下页《概率统计》下页结束返回§1.4.2事件的独立性一、事件的独立性引例：袋中有a只黑球，b只白球．每次从中取出一球，取后放回．令：A={第一次取出白球}，B={第二次取出白球}，则babAPbabBP,babABP/,)()/(BPABP从而有，这表明，事件A是否发生对事件B是否发生在概率上是没有影响的，即事件A与B呈现出某种独立性．下页《概率统计》下页结束返回§1.4.2事件的独立性一、事件的独立性1．定义设A、B二事件，如果满足等式P(AB)=P(A)P(B)则称A、B为相互独立的事件。显然，必然事件Ω及不可能事件Φ与任何事件A都相互独立。２．性质(1)若P(A)0,P(B)0,则A和B独立P(B|A)=P(B)；P(A|B)=P(A)AB与，与，与(2)如果、相互独立,则ABABAB也相互独立。证明:因为AB=B－AB，且BAB，所以有)()()()(ABPBPABBPBAP)()()(BPAPBP,)()()](1)[(BPAPAPBP所以A和Ｂ相互独立。下页《概率统计》下页结束返回例6.甲、乙两人各自同时向一目标射击。已知甲击中目标的概率为0.6，乙击中目标的概率为0.5。求目标被击中的概率。解：设A={甲击中目标}，B={乙击中目标}，C={目标被击中}。由于C=A∪B，且Ａ，Ｂ独立得P(C)=P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)=P(A)+P(B)-P(A)P(B)=0.6+0.50.6×0.5=0.8)(1)(1)()(BAPBAPBAPCP))(1))((1(1BPAP=1-0.4×0.5=0.8或例7.已知一批玉米种子的发芽率为0.9，现每穴种两粒，求(1)两粒都能发芽的概率；(2)至少有一粒种子发芽的概率；(3)恰好有一粒种子发芽的概率。解：设两粒种子为甲和乙，A={甲发芽}，B={乙发芽}，由题意Ａ,B独立。（1）P(AB)=P(A)P(B)=0.9×0.9=0.81（2）P(AB)=P(A)+P(B)－P(AB)=0.9+0.9－0.81=0.99（3）P(ABAB)=P(AB)+P(AB)=P(A)P(B)+P(A)P(B)=2×0.9×0.1=0.18下页《概率统计》下页结束返回二、多个事件的独立性(1)3个事件相互独立的定义三个事件A、B、C，如果满足下面四个等式)()()()()()()()()()()()(CPBPAPABCPCPBPBCPCPAPACPBPAPABP则称三事件A、B、C相互独立。例8.若三事件A、B、C两两相互独立，则A、B、C相互独立的充分必要条件是（）。（B）AB与A∪C独立；（A）A与BC独立；（C）AB与AC独立；（D）A∪B与A∪C独立。如果A、B、C仅满足上式中的前三个等式，则称三事件A、B、C两两相互独立。注意：事件两两独立，不一定相互独立。下页《概率统计》下页结束返回(2)n个事件相互独立的定义定义3n个事件A1，A2，…，An，如果对于任意k（1＜k≤n），任意1≤i1＜i2＜…ik≤n，满足等式)()()()(2121kkiiiiiiAPAPAPAAAP则称A1，A2，…，An是相互独立的事件。注：1)若n个事件A1，A2，…，An相互独立，则其部分事件组也相互独立。2)若n个事件A1，A2，…，An相互独立，则将其中部分事件换为对立事件所得的事件组也相互独立。3)若A1，A2，…，An是相互独立的，则P（A1A2…An）=P（A1)P(A2)…P(An）)()()(1)...(1)(212121nnnAPAPAPAAAPAAAP下页《概率统计》下页结束返回解：设A、B、C分别表示甲、乙、丙机床需要照看三个事件，)(CBAP)(CBACBACBACBAP)()()()(CPBPAPCBAP(2)(3)(1)则P(A)=0.9，P(B)=0.8，P(C)=0.85因A、B、C相互独立，所求概率分别为算法(1)例9.一工人照看三台机床，在一小时内甲、乙、丙三台机床需要照看的概率分别为0.9、0.8和0.85，各台机床是否需要照看是独立的。求在一小时内(1)没有一台机床需要照看的概率；(2)至少有一台机床不需要照看的概率；(3)最多有一台机床需要照看的概率。)(1)()(ABCPABCPCBAP(2)(3)略.)(CBAP下页《概率统计》下页结束返回例10．设每门炮的命中率为0.6，今有一敌机入侵，欲以99％的把握击中敌机，问应设几门炮？解：设配置n门炮，Ai={第i门炮击中敌机}，i=1,2,…,nA={敌机被击中}。由题意知：A１,A2,…,An相互独立．且A=A１∪A2∪…∪An由于P(A)=P(A１∪A2∪…∪An))...(121nAAAPnnAPAPAP4.01)()()(121要使P(A)≥0.99，只须1－0.4n≥0.99即可。解得：026.54.0lg01.0lgn所以至少配置6门炮。下页《概率统计》下页结束返回例11.设有4个相互独立的元件组成的系统，每个元件的可靠性都为r，（元件的可靠性是指元件能正常工作的概率），今对4个元件按如下两种方式组成系统，试比较两个系统可靠性的大小。系统一：先串联后并联1B2B1A2A系统二：先并联后串联1A2A1B2B下页《概率统计》下页结束返回解：用Ai，Bi表示如图中诸元件可靠的事件，i=1,2，用C1、C2分别表示系统一和系统二可靠的事件，则11212,CAABB21212()(),CAABB于是11212121222422()()()()(2);PCPAAPBBPAABBrrrrr21122212222()()()[()()()](2r-r)(2).iiiiiPCPABPABPAPBPABrr易知，当0＜r＜1时，有P（C2）＞P（C1），即两者相比，后者的可靠性更高。下页《概率统计》下页结束返回作业：24-25页12，13，20，23结束