(新课程)高中数学《2.2等差数列》第1课时课件 新人教A版必修5

1．理解等差数列的概念，掌握等差数列的判定方法．2．掌握等差数列的通项公式和等差中项的概念，深化认识并能运用．1．等差数列的判定．(难点)2．等差数列的通项公式及运用．(重点)第1课时等差数列的概念及通项公式2．2等差数列【课标要求】【核心扫描】等差数列的定义如果一个数列从第__项起，每一项与它的_______的差等于___________，那么这个数列就叫做等差数列，这个_____叫做等差数列的_____，通常用字母__表示．自学导引1．2前一项同一个常数常数公差：若已知数列{an}中，首项为a1，且满足an－an－1＝d(n∈N*，n≥2)或an＋1－an＝d(n∈N*)，则数列{an}为等差数列，正确吗？提示：正确．上述式子是等差数列定义的符号表示．d等差中项由三个数a，A，b组成的等差数列中，__叫做a与b的等差中项．这三个数满足关系式a＋b＝___.等差数列的通项公式如果等差数列{an}的首项是a1，公差是d，则等差数列的通项公式为an＝____________.2．3．A2Aa1＋(n－1)d：推导等差数列的通项公式，除了课本上的归纳法外，还有哪些方法．提示：法一(累加法)∵{an}为等差数列，∴an－an－1＝d，an－1－an－2＝d，an－2－an－3＝d，…，a2－a1＝d.以上各式两边分别相加，得an－a1＝(n－1)d，∴an＝a1＋(n－1)d.法二(迭代法)∵{an}是等差数列，∴an＝an－1＋d＝an－2＋d＋d＝an－2＋2d＝an－3＋3d＝…＝a1＋(n－1)d，∴an＝a1＋(n－1)d.法三(逐差法)∵{an}是等差数列，∴an＝an－an－1＋an－1，an－1＝an－1－an－2＋an－2，an－2＝an－2－an－3＋an－3，…，a2＝a2－a1＋a1，∴an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋(an－2－an－3)＋…＋(a2－a1)＋a1＝(n－1)d＋a1，∴an＝a1＋(n－1)d.等差数列定义的理解(1)注意定义中“从第2项起”这一前提条件的两层含义，其一，第1项前面没有项，无法与后续条件中“与前一项的差”相吻合；其二，定义中包括首项这一基本量，且必须从第2项起保证使数列中各项均与其前面一项作差．(2)注意定义中“每一项与它的前一项的差”这一运算要求，它的含义也有两个：其一是强调作差的顺序，即后面的项减前面的项；其二是强调这两项必须相邻．(3)注意定义中的“同一常数”这一要求，否则这个数列不能称为等差数列．名师点睛1．等差中项的理解(2)等差中项的概念变形给出了判断一个数列是否为等差数列的方式，如若an，an＋1，an＋2满足2an＋1＝an＋an＋2，则数列{an}为等差数列，这是因为2an＋1＝an＋an＋2等价于an＋1－an＝an＋2－an＋1，显然满足等差数列的定义．(3)在等差数列中，除首末两项外，任何一项都是前后两项的等差中项．2．(1)a，A，b成等差数列⇔A－a＝b－A⇔A＝a＋b2.等差数列的通项公式(1)确定a1和d是确定通项的一般方法．(2)由方程思想，根据an，a1，n，d中任何三个量可求解另一个量，即知三求一．(3)通项公式可变形为an＝dn＋(a1－d)，可把an看作自变量为n的一次函数．3．题型一等差数列的通项公式及应用已知递减等差数列{an}的前三项和为18，前三项的乘积为66.求数列的通项公式，并判断－34是该数列的项吗？[思路探索]本题主要考查等差数列的通项公式及等差数列的基本运算．【例1】解依题意得a1＋a2＋a3＝18，a1·a2·a3＝66，∴3a1＋3d＝18，a1·a1＋d·a1＋2d＝66，∵数列{an}是递减等差数列，∴d0.故取a1＝11，d＝－5.∴an＝11＋(n－1)·(－5)＝－5n＋16.即等差数列{an}的通项公式为an＝－5n＋16.令an＝－34，即－5n＋16＝－34，得n＝10.∴－34是数列{an}的第10项．解得a1＝11，d＝－5，或a1＝1，d＝5.在等差数列{an}中，首项a1与公差d是两个最基本的元素，有关等差数列的问题，如果条件与结论间的联系不明显，则均可化成有关a1，d的关系列方程组求解，但是要注意公式的变形及整体计算，以减少计算量．在等差数列{an}中，已知a5＝11，a8＝5，求a10.解设数列{an}的首项为a1，公差为d，由题意知：∴an＝19＋(n－1)×(－2)＝－2n＋21.∴a10＝－2×10＋21＝1.【变式1】a1＋4d＝11，a1＋7d＝5，解得a1＝19，d＝－2.在－1与7之间顺次插入三个数a，b，c使这五个数成等差数列，求此数列．[思路探索]由a1＝－1及a5＝7，可使用通项公式求得公差d，再利用通项公式分别求得a，b，c；也可利用等差中项先求得b，再依次使用等差中项求得a，c.解法一设a1＝－1，a5＝7.∴7＝－1＋(5－1)d⇒d＝2.∴所求的数列为－1,1,3,5,7.法二∵－1，a，b，c,7成等差数列，∴b是－1与7的等差中项．题型二等差中项及其应用【例2】∴b＝－1＋72＝3.又a是－1与3的等差中项，∴a＝－1＋32＝1.又c是3与7的等差中项，∴c＝3＋72＝5.∴该数列为－1,1,3,5,7.在等差数列{an}中，由定义有an＋1－an＝an－an－1(n≥2，n∈N*)，即an＝an＋1＋an－12，从而由等差中项的定义知，等差数列从第2项起的每一项都是它前一项与后一项的等差中项．若m和2n的等差中项为4,2m和n的等差中项为5，求m和n的等差中项．解由m和2n的等差中项为4，得m＋2n＝8.又由2m和n的等差中项为5，得2m＋n＝10.两式相加，得m＋n＝6.∴m和n的等差中项为m＋n2＝3.【变式2】(1)求证：数列{bn}是等差数列；(2)求数列{an}的通项公式．审题指导题型三等差数列的判定与证明【例3】已知数列{an}满足a1＝4，an＝4－4an－1(n1)，记bn＝1an－2.[规范解答](1)证明bn＋1－bn＝1an＋1－2－1an－2＝14－4an－2－1an－2＝an2an－2－1an－2＝an－22an－2＝12.(4分)又b1＝1a1－2＝12，∴数列{bn}是首项为12，公差为12的等差数列．(6分)(2)解由(1)知bn＝12＋(n－1)×12＝12n.(10分)∵bn＝1an－2，∴an＝1bn＋2＝2n＋2.(12分)【题后反思】判断一个数列是否是等差数列的常用方法有：(1)an＋1－an＝d(d为常数，n∈N*)⇔{an}是等差数列；(2)2an＋1＝an＋an＋2(n∈N*)⇔{an}是等差数列；(3)an＝kn＋b(k，b为常数，n∈N*)⇔{an}是等差数列．但若要说明一个数列不是等差数列，则只需举出一个反例即可．判断下列数列是否为等差数列：(1)an＝3－2n；(2)an＝n2－n.解对任意n∈N*，(1)∵an＋1－an＝[3－2(n＋1)]－(3－2n)＝－2，是同一常数，∴数列{an}是等差数列．(2)∵an＋1－an＝(n＋1)2－(n＋1)－(n2－n)＝2n，不是同一常数，∴数列{an}不是等差数列．【变式3】若数列{an}的通项公式为an＝10＋lg2n，试说明数列{an}为等差数列．[错解]因为an＝10＋lg2n＝10＋nlg2，所以a1＝10＋lg2，a2＝10＋2lg2，a3＝10＋3lg2，…，所以a2－a1＝lg2，a3－a2＝lg2，…，故数列{an}为等差数列．误区警示对等差数列的定义理解不透彻【示例】证明一个数列为等差数列，以特殊代替一般，用验证几个特例作为证明是不正确的，必须用定义或与定义等价的命题来证明．[正解]因为an＝10＋lg2n＝10＋nlg2，所以an＋1－an＝[10＋(n＋1)lg2]－(10＋nlg2)＝lg2(n∈N*)．所以数列{an}为等差数列．要说明一个数列为等差数列，必须说明从第二项起所有的项与其前一项之差为同一常数，即an－an－1＝d(n≥2)恒成立，而不能只验证有限个相邻两项之差相等．