3、逆矩阵重点和习题

定理：行列式某一行（或列）的每一元素与另一行（或列）元素的代数余子式乘积之和为零。02211ntnjtjtjAaAaAatj02211sninsisiAaAaAasi即:snssiniiaaaaaaD2121iniiiniiaaaaaa21210§2逆矩阵一、准备知识siDsiAaAaAasninsisi02211结合行列式的展开定理，有：ntnjtjtjAaAaAa2211tjDtj0引例：若，求矩阵X，使：AX=E23121A解：设4321xxxxXAX43213121xxxx1001423142313322xxxxxxxx解线性方程组容易得到：x1=3,x2=－2,x3=－1,x4=1.问题：对于矩阵A，是否存在一个矩阵A－1，使得：EAAAA11比较矩阵方程AX=B与数的方程ax=b.1123二、逆矩阵的概念1.定义：对于n阶方阵A，如果存在一个n阶方阵B，使AB=BA=E，则称A为可逆矩阵（简称可逆），并称B为A的逆矩阵。例：对于，1123,3121BA否则称A是不可逆的。AB=E=BA.故A是可逆的，并且B为A的逆矩阵。A的逆矩阵记为：A－1，即：AA－1=A－1A=E2.问题：(1)怎么样的方阵才可逆？(2)若A可逆，逆阵有多少个？(3)若A可逆，怎样去求它的逆阵A－1？分析：设B和C都是A的逆矩阵,则：AB=BA=E,AC=CA=E,B=BE=B(AC)=(BA)C=EC=C需证明B=C（证明唯一性常用同一法）又注：适当乘上单位阵E，并将E表示成一个矩阵与其逆阵乘积的形式，是一种常用的技巧。单位阵技巧3.定理：若A可逆，则A的逆阵唯一。三、逆阵存在的充分必要条件1.定理：若A可逆，则.0||A注：如果，则称A是非奇异的，否则称A是奇异的。0||AijA2.伴随矩阵：设An=（aij），令Aij是A的行列式|A|中元素aij的代数余子式，将这n2个数排成如下n阶方阵:nnnnnnaAAAAAAAAA212221212111*（注意中Aij的排列）*A称之为A的伴随矩阵。例：求的伴随矩阵。343122321A341211A331212A同理可得：,2,6,6,223222113AAAA,2,5,4333231AAA解：,2,3A所以：2－326－62－45－20||A*1||1AAA3.定理：设A为n阶方阵，若，则A可逆，且：111一行元素与另一行元素对应代数余子式乘之和||1AnnnnnnnnnnnnAAAAAAAAAaaaaaaaaaA212221212111212222111211||1|A|000|A|0|A|00一行元素与对应代数余子式乘之和同理：EAAA)||1(E)||1(AAA)(||1AAA证明：例：求的逆矩阵。343122321A解：343122321A20A－1存在，,222563462A故AAA11.11125323231注:求逆阵需注意:1.Aij的符号(-1)i+j;2.中Aij的排列。*A4.定理：方阵A可逆0||A推论：若A、B都是n阶矩阵，且AB=E，则BA=E，即A、B皆可逆,且A、B互为逆矩阵。证明：因为AB=E，所以|A||B|=1，|A|0,|B|0,故A、B皆可逆。BA=EBA=(A－1A)BA=A－1(AB)A=A－1EA=A－1A=E注：1.判断B是否为A的逆,只需验证AB=E或BA=E的一个等式成立即可。2.逆矩阵是相互的。即：若A－1=B，则B－1=A.（课本54页推论1）练习：1.求的逆矩阵。121011322A答案：1.4613513411A（其中|A|=－1）2.设A、B都是n阶方阵，B可逆，且A2+AB+B2=O，证明：A和A+B均可逆。2.提示：只需证明0,0BAA把A2+AB+B2=O改写为A(A+B)=－B21)(A思考：AA||1四、逆阵的性质1.若A可逆，则A－1也可逆，且(A－1)－1=A.2.若A可逆，数，则kA也可逆，且：0k111)(AkkA3.若A可逆，则AT也可逆，且(AT)-1=(A-1)T.4.若A、B为同阶可逆方阵，则其积AB也可逆，且:(AB)-1=B-1A-1推广：11121121)(AAAAAAkk5.若A可逆，|A－1|=|A|－1，(AB)-1≠A-1B-1注：一般的，(kA)-1≠kA-1例：设求矩阵X，使AX=B.,121011322A,231221B0A分析：法一：待定系数法若法二：，则A可逆，由AX=B可得：X=A－1B461351341231221162313181216注：若YA=B，则Y=BA－1.例：矩阵A、B满足AB=2A+B，求A，其中：321011324B分析：∵AB=2A+B∴AB－2A=B∴A(B－2E)=B若|B－2E|≠0，则A=B(B－2E)－1容易错为A(B－2)=BA=B(B－2E)－132101132411210113223210113244613513419122692683练习：用逆矩阵解线性方程组3221223232121321xxxxxxxx223321xxxX答案：思考：若A、B均可逆，那么A+B可逆吗？不一定。如A=E，B=－E，A+B=O不可逆。注：就算A+B可逆，(A+B)－1≠A－1+B－1.