(导学教程)2012届高三数学二轮专题复习课件：第二部分第三讲 答题模板与规范答题

（导学教程）2012届高三二轮专题复习课件：第二部分第三讲答题模板与规范答题第三讲答题模板与规范答题三角函数的单调性及求值问题设函数f(x)＝3cos2x＋sinxcosx－32.(1)求函数f(x)的最小正周期T，并求出函数f(x)的单调递增区间；(2)求在[0,3π]内使f(x)取得最大值的所有x的值.规范解答示例(1)f(x)＝32(1＋cos2x)＋12sin2x－32＝12sin2x＋32cos2x＝sin2x＋π3.故T＝π.由2kπ－π2≤2x＋π3≤2kπ＋π2(k∈Z)，得kπ－5π12≤x≤kπ＋π12，函数f(x)的单调递增区间为kπ－512π，kπ＋π12(k∈Z)．(2)令f(x)＝1，即sin2x＋π3＝1，则2x＋π3＝2kπ＋π2(k∈Z)，于是x＝kπ＋π12(k∈Z)．∵0≤x≤3π，∴k＝0,1,2.∴所求x的值为π12，13π12或25π12.构建答题模板第一步：三角函数式的化简，一般化为y＝Asin(ωx＋φ)＋h或y＝Acos(ωx＋φ)＋h的形式．第二步：运用公式求周期；将“ωx＋φ”看作一个整体，由sinx，cosx的单调性，转化为解不等式问题．第三步：将“ωx＋φ”作为一个整体，由sinx，cosx的最值，解方程可得．第四步：明确规范表述结论．第五步：反思回顾，查看关键点，易错点及解题规范.正三棱柱ABC－A1B1C1的所有棱长都为2，D是CC1的中点，求二面角A－A1D－B的余弦值.规范解答示例如图，取BC的中点O，连接AO.∵△ABC为正三角形，∴AO⊥BC.∵在正三棱柱ABC－A1B1C1中，平面ABC⊥平面BCC1B1，∴AO⊥平面BCC1B1.立体几何中的空间角问题取B1C1的中点O1，以O为原点，OB→、OO1→、OA→的方向为x、y、z轴的正方向建立空间直角坐标系，则B(1,0,0)，D(－1,1,0)，A1(0,2，3)，A(0,0，3)，B1(1,2,0)，设平面A1AD的法向量为n＝(x，y，z)．AD→＝(－1,1，－3)，AA1→＝(0,2,0)．∵n⊥AD→，n⊥AA1→，∴n·AD→＝0，n·AA1→＝0，∴－x＋y－3z＝0，y＝0，∴y＝0，x＝－3z.令z＝1得n＝(－3，0,1)为平面A1AD的一个法向量．∵AB1⊥A1B，在平面BCC1B1上，OB1⊥BD，又BD⊥AO且AO∩OB1＝O，∴BD⊥平面AOB1，又AB1⊂平面AOB1，∴AB1⊥BD.又A1B∩BD＝B，∴AB1⊥平面A1BD，∴AB1→为平面A1BD的法向量．又∵AB1→＝(1,2，－3)，∴cos〈n，AB1→〉＝n·AB1→|n|·|AB1→|＝－3－32×22＝－64.∴二面角A－A1D－B的余弦值为64.构建答题模板第一步：作出(或找出)具有公共交点的三条相互垂直的直线．第二步：建立空间直角坐标系(建立方法在答题规范中已讲过)，设出特征点坐标．第三步：求二面角面的法向量n，m.第四步：求法向量n，m的夹角或cos〈m，n〉．第五步：将法向量的夹角转化为二面角的夹角．第六步：反思回顾．查看关键点、易错点及解题规范．如本题中求得cos〈n，AB1→〉＝－64，考生容易错答为：二面角A－A1D－B的余弦值为－64.这就是本题的易错点．上面第五步将法向量的夹角转化为二面角时，要注意直观判定二面角的大小.解析几何中的探索性问题已知定点C(－1,0)及椭圆x2＋3y2＝5，过点C的动直线与椭圆相交于A，B两点．(1)若线段AB中点的横坐标是－12，求直线AB的方程；(2)在x轴上是否存在点M，使MA→·MB→为常数？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由.规范解答示例(1)依题意，直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为y＝k(x＋1)，将y＝k(x＋1)代入x2＋3y2＝5，消去y整理得(3k2＋1)x2＋6k2x＋3k2－5＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则由线段AB中点的横坐标是－12，得x1＋x22＝－3k23k2＋1＝－12，解得k＝±33，适合①.所以直线AB的方程为x－3y＋1＝0或x＋3y＋1＝0.4222122364(31)(35)0,6.31kkkkxxk②①(2)假设在x轴上存在点M(m,0)，使MA→·MB→为常数．(i)当直线AB与x轴不垂直时，由(1)知x1＋x2＝－6k23k2＋1，x1x2＝3k2－53k2＋1.③所以MA→·MB→＝(x1－m)(x2－m)＋y1y2＝(x1－m)(x2－m)＋k2(x1＋1)(x2＋1)＝(k2＋1)x1x2＋(k2－m)(x1＋x2)＋k2＋m2.将③代入，整理得MA→·MB→＝6m－1k2－53k2＋1＋m2＝2m－133k2＋1－2m－1433k2＋1＋m2＝m2＋2m－13－6m＋1433k2＋1.注意到MA→·MB→是与k无关的常数，从而有6m＋14＝0，m＝－73，此时MA→·MB→＝49.(ii)当直线AB与x轴垂直时，此时点A、B的坐标分别为－1，23、－1，－23，当m＝－73时，也有MA→·MB→＝49.综上，在x轴上存在定点M－73，0，使MA→·MB→为常数.构建答题模板第一步：假设结论存在．第二步：以存在为条件，进行推理求解．第三步：明确规范表述结论．若能推出合理结果，经验证成立即可肯定假设正确；若推出矛盾，即否定假设．第四步：反思回顾．查看关键点，易错点及解题规范．如本题中第(1)问容易忽略Δ＞0这一隐含条件．第(2)问易忽略直线AB与x轴垂直的情况.由数列的前n项和Sn与通项an的关系求通项an设Sn是数列{an}的前n项和，满足Sn＝a1－a(1－an)(a＞0且a≠1，n∈N＋)，数列{bn}满足bn＝anlgan(n∈N＋)．(1)求数列{an}的通项公式；(2)若数列{bn}中的每一项总小于它后面的项，求a的取值范围．规范解答示例(1)∵Sn＝a1－a(1－an)(a＞0且a≠1，n∈N＋)，∴Sn＋1＝a1－a(1－an＋1)，由Sn＋1－Sn＝an＋1，得an＋1＝a1－a(an－an＋1)，∴an＋1＝a·an，即an＋1an＝a(a≠0，n∈N＋)．当n＝1时，a1＝a1－a(1－a1)，即a1＝a.于是，数列{an}是以a为首项，a为公比的等比数列，其通项公式为an＝an(n∈N＋)．(2)依题意，得bn＝nanlga，令bk＋1＞bk(k∈N＋)，则(k＋1)ak＋1lga＞kaklga.∵a＞0且a≠1，∴ak＞0，即(k＋1)alga＞klga.①当a＞1时，lga＞0，则(k＋1)a＞k，即a＞kk＋1.∵0＜kk＋1＜1，∴a＞1时，bk＋1＞bk(k∈N＋)恒成立．②当0＜a＜1时，lga＜0，则(k＋1)a＜k，即a＜kk＋1.为了使不等式对任意的正整数k都成立，只需a＜kk＋1min.∵kk＋1＝11＋1k≥12，∴0＜a＜12.综上可知，a的取值范围是aa＞1或0＜a＜12.构建答题模板第一步：构造an＋1＝Sn＋1－Sn，寻求an，an＋1的递推式，由递推式求通项公式．第二步：令n＝1，求a1，并验证n＝1时的结论是否适合当n≥2时的结论．第三步：写出明确规范的答案．第四步：反思回顾、查看关键点、易错点及解题规范．本题的易错点是对n＝1时的结论是否满足n≥2时结论的验证.设b和c分别是先后抛掷一枚骰子得到的点数，用随机变量ξ表示方程x2＋bx＋c＝0实根的个数(重根按一个计)．(1)求方程x2＋bx＋c＝0有实根的概率；(2)求ξ的分布列和数学期望；(3)求在先后两次出现的点数中有5的条件下，方程x2＋bx＋c＝0有实根的概率.离散型随机变量的分布列、期望与方差规范解答示例(1)基本事件的总数为6×6＝36(个)．若使方程有实根，则Δ＝b2－4c≥0，即b≥2c.当c＝1时，b＝2,3,4,5,6；当c＝2时，b＝3,4,5,6；当c＝3时，b＝4,5,6；当c＝4时，b＝4,5,6；当c＝5时，b＝5,6；当c＝6时，b＝5,6.目标事件的个数为5＋4＋3＋3＋2＋2＝19，因此方程x2＋bx＋c＝0有实根的概率为1936.(2)由题意知，ξ＝0,1,2，则P(ξ＝0)＝1736，P(ξ＝1)＝236＝118，P(ξ＝2)＝1736，故ξ的分布列为ξ012P17361181736ξ的数学期望Eξ＝0×1736＋1×118＋2×1736＝1.(3)记“先后两次出现的点数中有5”为事件M，“方程x2＋bx＋c＝0有实根”为事件N，则P(M)＝1136，P(MN)＝736，P(N|M)＝PMNPM＝711.构建答题模板第一步：确定离散型随机变量的所有可能值.第二步：求出每个可能值的概率.第三步：画出随机变量的分布列.第四步：求期望和方差.第五步：反思回顾．查看关键点、易错点及解题规范．如本题可重点查看随机变量的所有可能值是否正确；根据分布列性质检查概率是否正确.函数的单调性、最值、极值问题已知函数f(x)＝2ax－a2＋1x2＋1(x∈R)．其中a∈R.(1)当a＝1时，求曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程；(2)当a≠0时，求函数f(x)的单调区间与极值.规范解答示例(1)当a＝1时，f(x)＝2xx2＋1，f(2)＝45，又f′(x)＝2x2＋1－2x·2xx2＋12＝2－2x2x2＋12，f′(2)＝－625.所以，曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为y－45＝－625(x－2)，即6x＋25y－32＝0.(2)f′(x)＝2ax2＋1－2x2ax－a2＋1x2＋12＝－2x－aax＋1x2＋12.由于a≠0，以下分两种情况讨论．①当a＞0，令f′(x)＝0，得到x1＝－1a，x2＝a.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：xf′(x)f(x)－∞，－1a－↘－1a0极小值－1a，a＋↗a0极大值(a，＋∞)－↘所以f(x)在区间－∞，－1a，(a，＋∞)内为减函数，在区间－1a，a内为增函数．函数f(x)在x1＝－1a处取得极小值f－1a，且f－1a＝－a2.函数f(x)在x2＝a处取得极大值f(a)，且f(a)＝1.②当a＜0时，令f′(x)＝0，得到x1＝a，x2＝－1a，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：xf′(x)f(x)(－∞，a)＋↗a0极大值a，－1a－↘－1a0极小值－1a，＋∞＋↗所以f(x)在区间(－∞，a)，－1a，＋∞内为增函数，在区间a，－1a内为减函数.函数f(x)在x1＝a处取得极大值f(a)，且f(a)＝1.函数f(x)在x2＝－1a处取得极小值f－1a，且f－1a＝－a2.构建答题模板第一步：确定函数的定义域．如本题函数的定义域为R.第二步：求f(x)的导数f′(x).第三步：求方程f′(x)＝0的根.第四步：利用f′(x)＝0的根和不可导点的x的值从小到大顺次将定义域分成若干个小开区间，并列出表格.第五步：由f′(x)在小开区间内的正、负值判断f(x)在小开区间内的单调性.第六步：明确规范地表述结论.第七步：反思回顾．查看关键点、易错点及解题规范．如本题中f′(x)＝0的根为x1＝－1a，x2＝a.要确定x1，x2的大小，就必须对a的正、负进行分类讨论．这就是本题的关键点和易错点.