1控制系统的稳定性分析

第三章控制系统的稳定性分析稳定的重要性：控制系统正常工作的前提条件！判断方法：（1）SISO线性定常系统：Routh判据,Hurwith判据,Nyquist判据等；（应用场合？）（2）MIMO系统、时变系统、非线性系统：Liaponov稳定性理论！3.1李雅普诺夫意义下的稳定性基本概念：平衡状态：设系统状态方程为（？）：如果对所有t，总存在着则称xc为系统的平衡状态。txfx,0,txfc平衡的物理含义？！(x1,x2,…xn=?)扰动作用？xc=？平衡点数？（线性定常，时变，非线性…）式中：212222211)(...)()()(ncncccxxxxxxxtx如果对于任意选定的实数，都存在另一实数，使得当时，随着时间的无限推移，恒有，则称系统的平衡状态xc为稳定的。00,0tcxtx)(0cxtx)(李雅普诺夫稳定性与平衡状态的区别？稳定条件（引力域）？使用价值？李雅普诺夫稳定性：cxtx)(含义？如果系统的平衡状态xc为稳定的，并且当时，由初始状态引起的系统响应x(t)趋近于xc，则称系统的平衡状态为渐近稳定的。t渐近稳定性：如果系统的平衡状态xc是渐近稳定的，并且其引力域包括整个状态空间，则称系统的平衡状态为大范围渐近稳定的，或称全局渐近稳定。必要条件：只有一个平衡状态！不稳定性：无论实数选得多小，由初始状态引起的系统相应随时间的增长都要脱离球域S(），则此平衡状态是不稳定的。大范围渐近稳定性：系统渐近稳定SS系统不稳定SS系统稳定SScx系统稳定图示：3.2李雅普诺夫稳定性理论3.2.1李雅普诺夫第一法设系统状态方程为：txfx,将f(x,t)在系统的平衡状态xc附近展开为泰勒级数（？），得：)(),(0xgxxtxfxcxxT式中：g(x)为级数展开中的高次项；为函数f(x,t)的雅可比矩阵。cxxTxtxf),(AxfxfxfxfxfxfxfxfxfxtxfccxxnnnnnnxxT.........),(212221212111为一nn常系数矩阵。级数展开式的一次项近似式，即为系统的线性化方程：Axx上式的解为：)0()(xetxAt若系统是渐近稳定的，需：0)(limctxtx即：0lim)0(lim)(lim0)(limAttAttttexetxtx显然，只有当A的特征值具有负实部才成立。李雅普诺夫第一法：若系统线性化方程的系统矩阵A的所有特征值都具有负实部，则无论高次项g(x)如何，系统的平衡状态都是渐近稳定的；若系统矩阵A的特征值中有一个或以上的特征值具有正实部，则无论高次项g(x)如何，系统的平衡状态都是不稳定的；若系统矩阵A的特征值中有一个或多个为零，其余的特征值都具有负实部，则系统平衡状态的稳定性取决于高次项g(x)；对于线性定常系统，g(x)＝0；当系统矩阵A的特征值中有零、其余的特征值都具有负实部时，系统的平衡状态处于稳定的临界状态。李雅普诺夫第一法又称间接法，或一次近似法。局限性：需线性化处理、与高次项有关。习题1：问题：无法求出特征根？零根？多平衡点？时变？21214310xxxx3.2.2李雅普诺夫第二法标量函数(scalarfunction)的正定性：设V(x)为向量x的标量函数，是包含状态空间原点在内的封闭的有限区域。不定函数：如果在域内，V(x)有时为正，有时为负，则称V(x)为不定函数。正半定函数：如果当时，，其余条件同上，则称标量函数V(x)在内为正半定函数。0x0)(xV0x正定函数：若标量函数V(x)对于向量x的各分量有连续偏导数，且当，V(x)0；在x=0处，V(x)＝0，则称标量函数V(x)在内为正定函数。负定（负半定）函数：如果－V(x)是正定（正半定）函数，则称V(x)为负定（负半定）函数；习题：2121221212212221)()2()()2()(32)(xxxxVxxxxVxxxVxxxV二次型函数：符合下述关系的V(x)称为二次型函数：nnnnnnnnTxxxpppppppppxxxPxxxV2121222211121121...)(或：jininjijxxpxV11)(式中P为实对称矩阵。Sylvester准则：二次型函数V(x)为正定函数的充要条件是矩阵P的所有主子行列式为正，即：...002221121111ppppp0212222111211nnnnnnppppppppp判别V(x)负定的另一方法：P的主子行列式满足（i为奇数），（i为偶数），i=1,2,…,n0i0i为何用二次型函数？（分析n=1,2,3,…)若P为奇异矩阵，并且其它各阶主子行列式为非负的，则V(x)为正半定函数。如果－V(x)为正定的，则V(x)为负定的。李雅普诺夫第二法：设系统状态方程为：Xc=0为其平衡状态。如果存在一个具有连续一阶偏导数的标量函数V(x,t)，并且满足下列条件：（1）V(x,t)是正定的；（2）是负定的(对谁的导数？）；那么系统在原点处的平衡状态是渐近稳定的。称V(x,t)为李雅普诺夫函数。如果随着，函数，则在原点处的平衡状态是大范围内渐近稳定的。txfx,),(txVx),(txV定理1：上面条件是充分条件，不是必要条件！对渐近稳定的平衡状态，相应的李雅普诺夫函数总是存在的。第二法适用范围：普遍方法！设系统状态方程为：Xc=0为其平衡状态。如果存在一个具有连续一阶偏导数的标量函数V(x,t)，并且满足下列条件：（1）V(x,t)是正定的；（2）是负半定的；txfx,),(txV定理2：（条件放宽）（3）对于任意的初始时刻t0和任意的初始状态x(t0)在时，除了在x=0时，外，不恒为零，那么系统在原点处的平衡状态是渐近稳定的。如果随着，函数，则在原点处的平衡状态是大范围内渐近稳定的。x),(txV0tt0),(txV),(txV定理3：（系统稳定条件）设系统状态方程为：Xc=0为其平衡状态。如果存在一个具有连续一阶偏导数的标量函数V(x,t)，并且满足下列条件：（1）V(x,t)是正定的；（2）是负半定的；txfx,),(txV则系统在原点处的平衡状态是稳定的。定理4：（系统不稳定条件）设系统状态方程为：Xc=0为其平衡状态。如果存在一个具有连续一阶偏导数的标量函数V(x,t)，并且满足下列条件：（1）V(x,t)是正定函数；（2）也是正定函数；则系统在原点处的状态是不稳定的。txfx,),(txV如果除原点外，不恒等于零，则定理（4）第二条可改为正半定函数。),(txV关键：如何确定一个李雅普诺夫函数？3.3线性系统李雅普诺夫稳定性分析3.3.1线性定常系统稳定性分析3.3.1.1线性定常连续系统渐近稳定判据线性定常连续系统状态方程为：Axx假设A是非奇异的，则唯一的平衡状态在原点x=0处。选李雅普诺夫函数为：PxxtxVT),(P为正定的实对称矩阵(待求)。对李雅普诺夫函数求导，得：QxxxPAPAxPAxxPxAxPAxxPxAxxPxPxxPxxdtdtxVTTTTTTTTTTT)()()(),(由定理1，若要求系统是渐近稳定的，Q应为负定的。定理5：线性定常系统稳定的充要条件是：对于任意给定的对称正定矩阵Q，都存在一个对称正定矩阵P，使得，则即为所求的李雅普诺夫函数。如果给定的Q是正半定的，则要求不恒等于零。QPAPATPxxtxVT),(),(txV习题1：21211110xxxx称为李雅普诺夫方程。QPAPAT应用时，常令Q＝I。（为何？）线性定常系统稳定性与谁有关？习题2：21210110xxxx习题3：1sk21ss1-ux1x3x2试确定系统稳定时k值。假定：100000000Q3.3.1.2线性定常离散系统渐近稳定判据线性定常离散系统状态方程为：0)()1(cxkGxkx定理6：线性离散系统是大范围内渐近稳定的充要条件是：对于任意给定的对称正定矩阵Q，都存在一个对称正定矩阵P，使得，则系统的李雅普诺夫函数为QPPGGT)()()(kPxkxkxVT应用时，常令Q＝I。若不恒等于零，Q也可取为正半定的。)()()(kQxkxkxVT习题：试确定系统大范围稳定条件。)(00)1(21kxkx3.3.2线性时变系统稳定性分析定理7：线性时变系统在平衡点xc=0处大范围渐近稳定的充要条件是：对于任意给定的连续对称正定矩阵Q(t)，存在一个连续对称正定矩阵P(t)，使得，则系统的李雅普诺夫函数为)()()()()()(tQtAtPtPtAtPT)()()(),(txtPtxtxVT取不同的Q，结果不一样！如何处理这种情况？当取Q(t)＝I时，dtttttPtttPttTT),(),(),()(),()(0000式中：)(0tP为初始条件；),(0tt为系统转移矩阵。3.4非线性系统李雅普诺夫稳定性分析3.4.1概述到目前为止，没有普适的方法！多平衡点确定、平衡域确定，…非线性系统稳定性问题远比线性系统复杂！非线性稳定特点：局部性！大范围内不是渐近稳定的，可能局部稳定；局部不稳定不能说明系统不稳定。已成熟理论：特殊李雅普诺夫函数、特殊的非线性问题。3.4.2变量梯度法设系统状态方程为：),(txfx基本思想：其平衡状态在坐标原点。若系统存在李雅普诺夫函数，则其梯度为：nnVVxVxVV11xVxxxxVxVxVxxVxxVxxVdtdxxVdtdxxVdtdxxVVTnnnnnn)(212122112211全导数为：对上式积分，得：dxVtxVxT0)(),(根据矩阵积分定理，在一定条件下，有：)0,(x022)0(x01143112321),(nnxxxxxxxxdxVdxVtxV因积分结果与路径无关，其旋度应等于零：0)(Vrot即要求下面矩阵是对称的：nnnnnnxVxVxVxVxVxVxVxVxV)()()()()()()()()(212221212111ijjixVxV)()(),...,2,1,(nji共可得个方程；通常假设等于一个任意的列向量：2)1(nn0)(),(VrottxVVnnnnnnnnnxaxaxaxaxaxaxaxaxaV221122221211212111式中aij为待求未知量。通常将ann选为常数或t的函数。如果非线性系统在平衡状态xc=0是渐近稳定的，可按照下述步骤确定一个李雅普诺夫函数：（1）假定为上述列向量形式；（2）由计算；（a）令是负定的或至少是负半定的；（b）由个旋度方程确定出中的待定系数；（c）检验的负定性；（3）由求得；（4）确定平衡点处渐近稳定范围。VVVV2)1(nnVVV),(txV与定理不同之处？还是遵循李雅普诺夫第二