高等代数§6.8 线性空间的同构

一、同构映射的定义二、同构的有关结论§6.8线性空间的同构我们知道，在数域P上的n维线性空间V中取定一组基后，V中每一个向量有唯一确定的坐标向量的坐标是P上的n元数组，因此属于Pn.这样一来，取定了V的一组基对于V中每一个向量，令在这组基下的坐标与对应，就得到V到Pn的一个单射反过来，对于Pn中的任一元素是V中唯一确定的元素，并且即也是满射.因此，是V到Pn的一一对应.引入12(,,,),naaa12,,,,n12(,,,)naaa12:,(,,,)nnVPaaa12(,,,),naaa1122nnaaa12()(,,,),naaa这个对应的重要必性表现在它与运算的关系上.任取设,,V12()(,,,)nbbb1122,nnaaa1122nnbbb12()(,,),naaa则1122()(,,)nnababab12()(,,)nkkakakakP归结为它们的坐标的运算.这就是说，向量用坐标表示后，它们的运算可以1212(,,)(,,,)()()nnaaabbb12(,,)(),nkaaak从而一、同构映射的定义设都是数域P上的线性空间，如果映射,VV具有以下性质：VV：则称的一个同构映射，并称线性空间VV是到同构，记作VV与.VVii)()()(),,Viii),,kkkPVi)为双射为V的一组基，则前面V到Pn的一一对应例1、V为数域P上的n维线性空间，12,,,n:,nVP12(,,,)naaaV这里为在基下的坐标，12(,,,)naaa12,,,n就是一个V到Pn的同构映射，所以.nVP1、数域P上任一n维线性空间都与Pn同构.二、同构的有关结论同构映射，则有00,.1）2、设是数域P上的线性空间，的VV是到,VV2）1122()rrkkk1122()()(),rrkkk,,1,2,,.iiVkPir线性相关（线性无关）.3）V中向量组线性相关（线性无关）12,,,r的充要条件是它们的象12(),(),,()r4）dimdim.VV5）的逆映射为的同构映射.VV：1VV到是的子空间，且Vdimdim().WW(){()}WW6）若W是V的子空间，则W在下的象集中分别取即得01,kk与00,证：1）在同构映射定义的条件iii)kk2）这是同构映射定义中条件ii)与iii)结合的结果.3）因为由11220rrkkk可得1122()()()0rrkkk反过来，由1122()()()0rrkkk可得1122()0.rrkkk而是一一对应，只有(0)0.所以可得11220.rrkkk因此，线性相关（线性无关）12,,,r12(),(),,()r线性相关（线性无关）.4）设为V中任意一组基.12,d,,im,nVn由2）3）知，为的一组基.12(),(),,()n所以dimdim.VnV11(())()任取,,V11,,VVIII为恒等变换.1111()()(())(())11(()())5）首先是1－1对应，并且1:VV同理，有11()(),,kkVkP所以，为的同构映射.1VV到再由是单射，有111()()()6）首先，WVV,WW且0=0其次，对有W中的向量,,W,使,.于是有,kkkkP由于W为子空间，所以,.WkW从而有,.WkW由2可知，同构映射保持零元、负元、线性组合dimdim().WW故所以是的子空间.VWWW显然，也为W到的同构映射，即W注及线性相关性，并且同构映射把子空间映成子空间.证：设为线性空间的同构,:VVVV：3、两个同构映射的乘积还是同构映射.kkkkk任取,,VkP，有映射，则乘积是的1－1对应.VV到所以，乘积是的同构映射.VV到同构关系具有：反身性：对称性：传递性：注,VVVVVVVIVV1VVVV4、数域P上的两个有限维线性空间同构12,VV12dimdim.VV证：若由性质2之4）即得12,VV12dimdim.VV（法一）若12dimdim,VV12.VV由性质1，有12,nnVPVP设分别为V1,V2的一组基.1221,,;,,nneee定义使12:,VV11221,nnaaaV1122()nnaeaeae则就是V1到V2的一个映射.（法二：构造同构映射）又任取设11,,nniiiiiiab1,,V1,2,,,in从而，所以是单射..若即则()(),11,nniiiiiiaebe,iiab任取设2,V1,niiiae所以是满射.再由的定义，有(),1,2,,iiein()()(),,kk易证，对有1,,kPV12.VV所以是V1到V2的一个同构映射，故则有使11,niiiaV().例2、把复数域看成实数域R上的线性空间，证法一：证维数相等证明：2CR首先，可表成1,,xabiabR,xCx其次，若则0.abiab1+=0,=所以，1，i为C的一组基，dim2.C又，2dim2R2dimdim.CR所以，12.VV故，证法二：构造同构映射则为C到R2的一个同构映射.作对应2:,,.CRabiab作成实数域R上的线性空间.把实数域R看成是自身上的线性空间.,kababkaa例3、全体正实数R+关于加法⊕与数量乘法：证明：并写出一个同构映射.,RR证：作对应:,ln,RRaaaR易证为的1－1对应.RR到且对有,,,abRkRlnlnlnababababablnlnkkkaaakaka所以，为的同构映射.RR到故.RR方法二：作对应:,,xRRxexR易证：为的1－1对应，而且也为同构映射.RR到事实上，为的逆同构映射.2）证明：复数域C看成R上的线性空间与W同构，设集合,abWabRba练习1）证明：W为的子空间，并求出W的维数22R与一组基.并写出一个同构映射.