高等代数填空题

山东科技大学高等代数课程第1页共8页高等代数填空题集锦1．最小的数环是{0}，最小的数域是{0,1}。2．一非空数集P,包含0和1,且对加减乘除四种运算封闭，则其为（数域）。3．设f是实数域上的映射，)(:Rxkxxf∈∀→，若(4)12f=，则(5)f−=-15。4．设(),()[]fxgxFx∈，若(())0,(())fxgxm∂°=∂°=，则(()())fxgx∂°⋅=m。5.若()(),()()gxfxhxfx，并且1),(=fg，则()()()gxhxfx。6.设()()gxfx，则()fx与()gx的最大公因式为()gx。7.多项式()fx、()gx互素的充要条件是存在多项式()ux、()vx使得1)()()()(=+xgxxfxνµ8.设)(xd为)(xf，)(xg的一个最大公因式,则)(xd与))(,)((xgxf的关系)(xd=))(,)((xgxf。9.设()px是多项式()fx的一个(1)kk≥重因式，那么()px是()fx的导数的一个1−k重因式。10.多项式()fx没有重因式的充要条件是)()('xfxf与互素。11.按自然数从小到大为标准次序，排列2431的反序数为4。12.设n级排列niii⋯21的反数的反序数为k，则121()nniiiiτ−⋯=。【解】121()nniiiiτ−⋯+2)1()(21nniiin+=⋯τ，所以121()nniiiiτ−⋯=knn−+2)1(。13.当k=5，=ℓ4时，5阶行列式D的项12231453kaaaaaℓ取“负”号。【解】12231453kaaaaaℓ，)3,,1,,2(lkτ为奇数；所以，与只能取54,lk当5,4==lk时，)3,,1,,2(lkτ=4，所以4,5==lk。14.15000050004000300020000000−=xxx，=x_____。山东科技大学高等代数课程第2页共8页【解】由行列式的性质得5120000050004000300020000000xxxx−=，所以易得x。15.000001002001000⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯nnDn−==!)1(-nn。【解】此题容易，关键在于确定正负号。16．102013A⎡⎤=⎢⎥⎣⎦,100145B⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，则AB=。【解】AB=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡1612109541001310201。17.设行列式12203369a中，余子式213A=，则a＝_2.5_。18.设行列式12203369a中，余子式223M=，则a＝_2__。19.行列式941321111的余子式232221MMM++的值为16。【解】232221MMM++16411191119411=++。20.设矩阵A可逆，且1A=，则A的伴随矩阵A∗的逆矩阵为A。【解】由AAA*1=−，所以AAAAAAAA1)()(,111*1*===−−−−所以,即为A。山东科技大学高等代数课程第3页共8页21．设A、B为n阶方阵，则222()2ABAABB+=++的充要条件是BAAB=。22．一个n级矩阵A的行（或列）向量组线性无关，则A的秩为n。23.设矩阵1112312536Aλµ−⎛⎞⎜⎟=−⎜⎟⎜⎟⎝⎠，且()2RA=,则()()==µλ,。【解】1112312536Aλµ−⎛⎞⎜⎟=−⎜⎟⎜⎟⎝⎠，对其进行初等行变换得⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡4-5-804-4-30211-163521-3211-1µλµλ，又因为()2RA=，所以())1(,5==µλ。24.设A为n阶矩阵，且1=A,则=)(AR_n_。【解】因为，01≠=A所以A满秩。25.2153A⎛⎞=⎜⎟⎝⎠,则=−1A⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡125-1-3。【解】⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡25-102-60225-10011210350112，所以=−1A⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡125-1-3。26.已知A01011,001k⎛⎞⎜⎟=−⎜⎟⎜⎟⎝⎠其中0≠k，则=−1A⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡−100110101kk。【解】⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−1001001100101010010010001011000110kk，所以=−1A⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡−100110101kk。27.若A为n级实对称阵，并且OAAT=，则A=0。28.设A为5阶方阵，且3det=A，则=−1detA31，=′)det(AA9，A的伴随矩阵∗A的行列式=∗)det(A81。29.设A为4阶矩阵，且2=A,则*2AA=___82___。山东科技大学高等代数课程第4页共8页【解】由AAA*1=−得，1−∗=nAA，所以*2AA=nnA230.A为3阶矩阵，0.5A=，则∗−−AA5)2(1=（-4）。【解】因为AAA*1=−，所以∗−−AA5)2(112-−=A=-4.31.设⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛12643152X,则X=⎥⎦⎤⎢⎣⎡8023-2。【解】由题意得将⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛12643152与写成一行得：⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡801032-20112316-452，所以X=⎥⎦⎤⎢⎣⎡8023-2。32.CBA,,是同阶矩阵，,0≠A若ACAB=,必有CB=，则A应是(单位矩阵)。【解】因为ACAB=，所以,0)(=−CBA又因为,0≠A所以AE=.33.一个齐次线性方程组中共有1n个线性方程、2n个未知量，其系数矩阵的秩为3n，若它有非零解，则它的基础解系所含解的个数为3n。34.含有n个未知量n个方程的齐次线性方程组有非零解的充分且必要条件是系数矩阵的行列式等于零。35.线性方程组有解的充分必要条件是系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩。36.方程组⎪⎩⎪⎨⎧=−=−=−313232121axxaxxaxx有解的充要条件是0321=++aaa。【解】系数矩阵为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡101-1-1001-1，增广矩阵为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡++=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡213213210001-1001-1101-1-1001-120001-1001-1101-1-1001-1aaaaaaaa，，秩为。37.A是nn×矩阵，对任何1×nb矩阵，方程bAX=都有解的充要条件是_A的秩与A的增广矩阵的秩相等_。38．已知向量组)4,3,2,1(1=αααα，)5,4,3,2(2=αααα，)6,5,4,3(3=αααα，山东科技大学高等代数课程第5页共8页)7,6,5,4(3=αααα，则向量=−+−4321αααααααααααααααα)2,2,2,2(−−−−。39.若120sααα+++=⋯，则向量组12,,,sααα⋯必线性相关。40.已知向量组)4,3,2,1(1=αααα，)5,4,3,2(2=αααα，)6,5,4,3(3=αααα，)7,6,5,4(3=αααα，则该向量组的秩是2。【解】向量组的秩等于⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡000000003-2-1-043219-6-3-06-4-2-03-2-1-043217654654354324321，所以秩为2.41.若ββββ可由rαααααααααααα,,,21⋯唯一表示,则rαααααααααααα,,,21⋯线性无关。42.单个向量αααα线性无关的充要条件是0≠α。43.设mαααααααααααα,,,21⋯为n维向量组,且nRm=),,,(21αααααααααααα⋯，则n≺m。44.1+n个n维向量构成的向量组一定是线性相关的。（无关，相关）45.已知向量组),3,1(),3,2,2(),1,0,1(321t===ααα线性无关，则=t（25）。【解】25,0250012010131322101==−=ttt所以。46.设sttt,,,21⋯两两不同,则ritttriiii,,2,1,),,,,1(12⋯⋯==−αααα线性无关。【解】iα的行列式可组成范德蒙行列式。47.A⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−=20001011kk是正定阵，则k满足条件2≻k。【解】A⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−=20001011kk的各阶顺序主子式为.21,0200010011,0111≻≻≻≻kkkkk或解得⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−−⎥⎦⎤⎢⎣⎡48.当t满足条件，使二次型32312123222122232xtxxxxxxxxf+−+++=是正定山东科技大学高等代数课程第6页共8页的。【解】此二次型的系数矩阵为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡31-211-11tt，顺序主子式0)1(22101101-1131-211-112≻+−=++=ttttt，可求得t值。49.设n阶实对称矩阵A的特征值中有r个为正值，有rn−为负值，则A的正惯性指数和负惯性指数是n。50.矩阵⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛=3100430000800007A的特征值是____________。【解】=−AEλ)136)(8)(7(31004300008000072+−−−=−−−−−−λλλλλλλλ0=，求出λ值即可。51.设A为3阶方阵，其特征值为3，—1，2，则=A-6。52.A满足022=++IAA，则A有特征值__-1_。【解】0)(222=+=++IAIAA,两边取行列式得0)()()(222=−−=+=+IAIAIA，所以特征值为-1.53.设n阶矩阵A的元素全为1，则A的n个特征值是。【解】0111111111=−−−−−−−−−=−λλλλ⋯⋮⋱⋮⋮⋯⋯AE,解出λ即可。54.设矩阵A是n阶零矩阵，则A的n个特征值是0。55.如果A的特征值为λ，则TA的特征值为λ。56.设1,23(,)xxxξ=是3R的任意向量，映射11()(cos,sin,0)xxσξ=是否是3R到自身的线性映射不是。57.设1,23(,)xxxξ=是3R的任意向量，映射222123()(,,)xxxσξ=是否是3R到自身的线性山东科技大学高等代数课程第7页共8页映射不是。58.若线性变换σ关于基{}21,αα的矩阵为⎥⎦⎤⎢⎣⎡dcba，那么线性变换σ关于基{}12,3αα的矩阵为。【解】{}21,αα⎥⎦⎤⎢⎣⎡dcba={}12,3ααA,所以易得A。59.对于n阶矩阵A与B，如果存在一个可逆矩阵U,使得1−=UBUA，则称A与B是相似的。60.实数域R上的n阶矩阵Q满足1−=QQT，则称Q为正交矩阵。61.实对称矩阵的属于不同特征根的特征向量是彼此线性无关的。62.设V是数域C上的3维向量空间，σ是V的一个线性变换，}{321ααα，，是V的一个基，σ关于该基的矩阵是⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−321321111，321αααξ++=，则)(ξσ关于}{321ααα，，的坐标是____________。【解】略。63.设},,{21nααα⋯是向量空间V的一个基，由该基到}{12ααα，，，n⋯的过渡矩阵为___________________。【解】由过渡矩阵的性质有}{12ααα，，，n⋯=},,{21nααα⋯A，所以A=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡000001100⋯⋮⋱⋮⋮⋯⋯。64.设},{21nααα，，⋯是向量空间V的一个基，由该基到}{11ααα，，⋯−nn的过渡矩阵为__________。【解】由过渡矩阵的性质得}{11ααα，，⋯−nn=},{21nααα，，⋯A，所以A=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡001000100⋯⋮⋱⋮⋮⋯⋯。65.设V与W都是F上的两个有限维向量空间，则⇔≅WVWV与有相同的维数。山东科技大学高等代数课程第8页共8页66.数域F上任一n维向量空间都却与nF同构。（不同构，同构）【解】同构的充要条件之一是含有相同的维数。67.任一个有限维的向量空间的基是_不同_的，但任两个基所含向量个数是_相同_。68.设σ为变换，V为欧氏空间，若V∈∀ηξ,都有ηξησξσ,)(),(=，则σ为正交变换。【解】根据正交变换的定义可知。69.在(