高等代数第八章_λ-矩阵(北大版)

2020/2/5数学与应用数学§2λ－矩阵的标准形§3不变因子§1λ－矩阵§4矩阵相似的条件§6若当(Jordan)标准形的理论推导§5初等因子小结与习题第八章λ─矩阵2020/2/5§8.1λ─矩阵数学与应用数学一、λ－矩阵的概念二、λ－矩阵的秩§8.1λ─矩阵三、可逆λ－矩阵2020/2/5§8.1λ─矩阵数学与应用数学定义：若矩阵A的元素是的多项式，即的元素，则[]P设P是一个数域，是一个文字，是多项式环，[]P称A为―矩阵，并把A写成().A一、λ－矩阵的概念注：①∴数域P上的矩阵—数字矩阵也[],PP是―矩阵.2020/2/5§8.1λ─矩阵数学与应用数学其定义与运算规律与数字矩阵相同.③对于的―矩阵，同样有行列式nn|()|,A它是一个的多项式，且有|()()||()||()|.ABAB这里为同级―矩阵.(),()AB④与数字矩阵一样，―矩阵也有子式的概念.―矩阵的各级子式是的多项式.②―矩阵也有加法、减法、乘法、数量乘法运算，2020/2/5§8.1λ─矩阵数学与应用数学若―矩阵中有一个级子式不为零，()A(1)rr而所有级的子式（若有的话）皆为零，则称1r()A的秩为r.二、λ－矩阵的秩定义：零矩阵的秩规定为0.2020/2/5§8.1λ─矩阵数学与应用数学三、可逆λ－矩阵一个的―矩阵称为可逆的，如果有一nn()A()()()()ABBAE一个的―矩阵，使()Bnn定义：这里E是n级单位矩阵.称为的逆矩阵(它是唯一的)，记作()B()A1().A2020/2/5§8.1λ─矩阵数学与应用数学（定理1）一个的―矩阵可逆nn()A是一个非零常数.()A证:“”若可逆，则有，使()A()B()()ABE两边取行列式，得()()()()1ABABE(),()AB都是零次多项式，即为非零常数.判定：2020/2/5§8.1λ─矩阵数学与应用数学“”设是一个非零常数.()Ad为的伴随矩阵，则()A()A11()()()()AAAAEdd()A可逆.11()().AAd2020/2/5§8.2λ─矩阵的标准形数学与应用数学一、λ－矩阵的初等变换二、λ－矩阵的初等矩阵§8.2λ─矩阵的标准形三、等价λ－矩阵四、λ－矩阵的对角化2020/2/5§8.2λ─矩阵的标准形数学与应用数学λ―矩阵的初等变换是指下面三种变换:①矩阵两行（列）互换位置；②矩阵的某一行（列）乘以非零常数c；是一个多项式.()③矩阵的某一行（列）加另一行（列）的倍，()一、λ－矩阵的初等变换定义：2020/2/5§8.2λ─矩阵的标准形数学与应用数学代表第行乘以非零数c；[()]ici[(())]ij代表把第行(列)的倍加到第j()i为了书写的方便，我们采用以下记号代表两行(列)互换；[,]ij,ij注：行(列).2020/2/5§8.2λ─矩阵的标准形数学与应用数学将单位矩阵进行一次―矩阵的初等变换所得的矩阵称为―矩阵的初等矩阵.二、λ－矩阵的初等矩阵定义：注：①全部初等矩阵有三类：i行j行11011011(,)Pij2020/2/5§8.2λ─矩阵的标准形数学与应用数学11()(,(()))11piji行j行11(())11picci行2020/2/5§8.2λ─矩阵的标准形数学与应用数学②初等矩阵皆可逆.1(,)(,)pijpij11(())(())cpicpi1(,(()))(,(()))pijpij③对一个的―矩阵作一次初等行变换sn()A就相当于在在的左边乘上相应的的初等矩()Ass阵；对作一次初等列变换就相当于在的右()A()A边乘上相应的的初等矩阵.nn2020/2/5§8.2λ─矩阵的标准形数学与应用数学为－矩阵，则称与等价.()B()B()A―矩阵若能经过一系列初等变换化()A1)―矩阵的等价关系具有:反身性:与自身等价.()A对称性:与等价与等价.()A()A()B()B传递性:与等价,与等价()A()B()B()C与等价.()A()C三、等价λ－矩阵定义：性质：2020/2/5§8.2λ─矩阵的标准形数学与应用数学2)与等价存在一系列初等矩阵()A()B11,StPPQQ使11()().StAPPBQQ1.（引理）设―矩阵的左上角元素()A11()0,a且中至少有一个元素不能被它整除，那么一定()A可以找到一个与等价的矩阵，它的左上()A()B角元素，且.11()0b1111(())(())ba四、λ－矩阵的对角化2020/2/5§8.2λ─矩阵的标准形数学与应用数学证：根据中不能被除尽的元素所在的()A11()a位置，分三种情形来讨论:i)若在的第一列中有一个元素不能被()A1()ia11()a除尽，其中余式，且11()()rxa()0r对作下列初等行变换:()A11111()()()[1()]()()iaaAiqar111()()()(),iaaqr则有2020/2/5§8.2λ─矩阵的标准形数学与应用数学[1,]11()().()irBa()B的左上角元素符合引理的要求，()r()B故为所求的矩阵.ii)在的第一行中有一个元素不能被()A1()ia11()a除尽，这种情况的证明i)与类似.iii)的第一行与第一列中的元素都可以被()A11()a除尽，但中有另一个元素()A()(1,1)ijaij2020/2/5§8.2λ─矩阵的标准形数学与应用数学被除尽.11()a对作下述初等行变换:()A1111()()()()()jiijaaAaa1111()()0...()()()...jijjaaaa111()()().iaa我们设1()i2020/2/5§8.2λ─矩阵的标准形数学与应用数学1111()()(1())()0()()()ijjijjaaaaa1()A矩阵的第一行中，有一个元素：1()A1()(1())()ijjaa不能被左上角元素除尽，转为情形ii).11()a证毕.1i2020/2/5§8.2λ─矩阵的标准形数学与应用数学2.（定理2）任意一个非零的的一矩阵sn()A都等价于下列形式的矩阵12()()()00rddd其中1,()(1,2,,)irdir是首项系数为1的多项式，且1()()(1,2,,1).iiddir称之为的标准形.()A2020/2/5§8.2λ─矩阵的标准形数学与应用数学证:经行列调动之后，可使的左上角元素()A11()0a,若不能除尽的全部元素，11()a()A由引理，可以找到与等价的，且()A1()B由引理，又可以找到与等价的，且1()B2()B如此下去，将得到一系列彼此等价的λ－矩阵：左上角元素，1()0b111()().ba1()B若还不能除尽的全部元素，1()B1()b左上角元素，21()().bb2()B2()0b2020/2/5§8.2λ─矩阵的标准形数学与应用数学但次数是非负整数，不可能无止境地降低.因此在有限步以后，将终止于一个λ－矩阵()sB它的左上角元素，而且可以除尽()0sb()sB的全部元素即(),ijb()()(),1,2,,;1,2,,.ijsijbbqjisjn对作初等变换:()sB12(),(),(),.ABB它们的左上角元素皆为零，而且次数越来越低.2020/2/5§8.2λ─矩阵的标准形数学与应用数学21312113[21()],[31()],[21()],[31()],1()000()()0sqqqqbBA中的全部元素都是可以被除尽的，1()A()sb因为它们都是中元素的组合.()sB如果，则对于可以重复上述过程，1()0A1()A进而把矩阵化成2020/2/5§8.2λ─矩阵的标准形数学与应用数学122()000(),00()00ddA其中与都是首1多项式(与1()d2()d1()d()sb只差一个常数倍数），而且12()|(),dd2()d能除尽的全部元素.2()A如此下去，最后就化成了标准形.()A2020/2/5§8.2λ─矩阵的标准形数学与应用数学例用初等变换化λ―矩阵为标准形.2232121()11A2[31]231211()0111A解：2020/2/5§8.2λ─矩阵的标准形数学与应用数学2[1,3]3212110111312321211012[21(21),[31(1)]]32100002020/2/5§8.2λ─矩阵的标准形数学与应用数学2[2,3]2310000[32()]22100000[32(1)][3(1)]210000()00B即为的标准形.()B()A2020/2/5§8.3不变因子数学与应用数学一、行列式因子二、不变因子§8.3不变因子2020/2/5§8.3不变因子数学与应用数学1.定义：一、行列式因子注：阶行列式因子.k的首项系数为1的最大公因式称为的(),kD()A中必有非零的级子式，中全部级子式()Akk()A设－矩阵的秩为，对于正整数，rk1,kr()A若秩，则有个行列式因子.()Arr()A2020/2/5§8.3不变因子数学与应用数学行列式因子.1)（定理3）等价矩阵具有相同的秩与相同的各级（即初等变换不改变－矩阵的秩与行列式因子）证：只需证，－矩阵经过一次初等变换，秩与行列式因子是不变的．2.有关结论设经过一次初等变换变成，与()B()A()f分别是与的k级行列式因子．()A()g()B下证，分三种情形：fg2020/2/5§8.3不变因子数学与应用数学级子式反号.k公因式，此时的每个级子式或k()B者等于的某个级子式，k()A或者与的某个()A因此，是的级子式的k()B()f,()().ijAB①()().fg从而()().icAB②级子式的c倍.k者等于的某个级子式，或者等于的某个()Ak()A此时的每个级子式或k()B因此，是的级子式的()fk()B公因式，()().fg从而2020/2/5§8.3不变因子数学与应用数学此时中包含两行()B,ij级子式相等；.ijAB③的和不包含行的那些级子式与中对应的kjk()A中包含行但不包含行的级kji()B子式，按行分成的一个级子式与另一个()Aikk级子式的倍的和，()即为的两个级子式()Ak从而()().fg的组合，因此是的级子式的公因式，k()f()B同理可得，()().gf(