2011年第一轮总复习 二项式定理课件

二项式定理考纲解读1.能用计数原理证明二项式定理．2.会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题.命题探究1.二项式定理是高考重点考查内容之一．分值一般为5～8分．考查比较稳定，试题难度起伏不大；题目一般为选择、填空题.2.高考主要考查二项展开式和通项的应用，具体会涉及到求特定的项或系数，以及二项式系数等问题，是高考的必考点之一。这个公式所表示的定理叫做二项式定理，右边的多项式叫做（a+b)n的二项展开式，其中叫做二项式系数),,2,1,0(nrCrnNnbCbaCbaCaCbannnrrnrnnnnnn,1110一般地，对于任意正整数n一、基础知识1。二项式定理特点：（1）共n+1有项；（2）二项式系数是从n个不同元素中取出0，1，2，3，…，n个元素的组合数，即（3）a按降幂排列，b按升幂排列，每一项中a与b的指数和为n。.,,,10nnnnCCC2.通项公式式中的叫做二项展开式的通项，用表示。即rrnrnbaC1rTrrnrnrbaCT1注意：（1）表示第r+1项；（2）通项公式中的a与b的位置不能换.（3）要得到即在(a+b)n中，有r个因式取b，余下n-r个因式取a。3.二项式系数与某项系数的区别：二项式系数是，某项的系数包括二项式系数和二项式中a,b系数及常数展出部分。rnCrrnrnbaC4.二项式系数的性质（1）对称性：到首末距离相等的两项的二项式系数相等，即（2）增减性即最大值（3）二项式系数和为奇数项二项式系数和等于偶数项二项式系数和等于2n-1,即rnnrnCC上是减函数。在上是增函数在],[;],0[)(22nCrfnnrn2)()(2maxnnnCfrfn为偶数时，当2121)()()(2121maxnnnnnnCCffrfn为奇数时，当nnnnnnCCCC221015314202nnnnnnnCCCCCC1．若(x－1)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，则a0＋a2＋a4的值为()A．9B．8C．7D．6解析：(x－1)4＝1＋＋x4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4∴a0＝1，a2＝＝6，a4＝1，∴a0＋a2＋a4＝8.答案：B2．若()n的展开式中各项系数之和为64，则展开式的常数项为()A．－540B．－162C．162D．540解析：由已知条件(3－1)n＝64，则n＝6，Tr＋1＝由3－r＝0得r＝3，则展开式中的常数项为＝－540.答案：A3．在(x－)2006的二项展开式中，含x的奇次幂的项之和为S，当x＝时，S等于()A．23008B．－23008C．23009D．－23009解析：(x－)2006＝x2006＋x2005(－)＋x2004(－)2＋…＋(－)2006，由已知条件S＝＝－22005·21003＝－23008.答案：B4．(2010·上海春)在的二项展开式中，常数项是________．解析：Tr＋1＝，由题意知12－3r＝0，∴r＝4，故常数项为T5＝60.答案：60二、题型与方法通项公式中含有a，b，n，r，Tr＋15个元素，只要知道了其中的4个元素，就可以求出第5个元素，在求展开式中的指定项问题时，一般是利用通项公式，把问题转化为解方程(或方程组)．这里必须注意隐含条件n，r均为非负整数且r≤n.考点一通项公式的应用(1)求n；(2)求含x2的项的系数；(3)求展开式中所有的有理项．已知在的展开式中，第6项为常数项。nxx)21(33例1课堂互动讲练∵r∈Z，∴k应为偶数．∴k可取2,0，－2，即r可取2,5,8.所以第3项，第6项与第9项为有理项，它们分别为C102(－12)2x2，C105(－12)5，C108(－12)8x－2.【规律小结】(1)对求指定项、常数项问题，常用待定系数法，即设第r+1项是指定项（常数项），利用通项公式写出该项，对同一字母的指数进行合并，根据所给出的条件(特定项)，列出关于r的方程(求解时要注意二项式系数中n和r的隐含条件，即n，r均为非负整数，且n≥r)；第二步是根据所求的指数，再求所求解的项；(2)求二项展开式中的有理项，一般是根据通项公式所得到的项，其所有的未知数的指数恰好都是整数的项．解这种类型的问题必须合并通项公式中同一字母的指数，根据具体要求，令其属于整数，再根据数的整除性来求解．若求二项展开式中的整式项，则其通项公式中同一字母的指数应是非负整数，求解方式与求有理项的方式一致．例2(1)二项式系数最大的项；(2)系数的绝对值最大的项．已知的展开式的二项式系数和比的展开式的二项式系数和大992，求的展开式中：nxx223)（nx)13（nxx2)12（【思路点拨】根据二项式系数的性质，列方程求解n，系数绝对值最大问题需要列不等式组求解．【解】由题意知，22n－2n＝992，即(2n－32)(2n＋31)＝0，∴2n＝32，解得n＝5.(2)设第r＋1项的系数的绝对值最大，则Tr≤Tr＋1，且Tr＋1≥Tr＋2.课堂互动讲练1．根据二项式系数的性质，n为奇数时中间两项的二项式系数最大，n为偶数时中间一项的二项式系数最大．2．求展开式中系数最大项与求二项式系数最大项不同，求展开式中系数最大项的步骤是：先假定第r＋1项系数最大，则它比相邻两项的系数都不小，列出不等式组并求解此不等式组求得．【规律小结】变式1.已知()n(n∈N*)的展开式中第五项的系数与第三项的系数的比是10∶1，(1)证明：展开式中没有常数项；(2)求展开式中含的项；(3)求展开式中所有的有理项；(4)求展开式中系数最大的项和二项式系数最大的项．解答：由题意第五项系数为，第三项的系数为，则，解得n＝8(n＝－3舍去)．通项公式Tr＋1＝(1)证明：若Tr＋1为常数项，当且仅当＝0，即5r＝8，且r∈Z，这是不可能的，所以展开式中没有常数项．(2)展开式中含的项需，则r＝1，故展开式中含的项为T2＝－16,(3)由Tr＋1＝，若Tr＋1为有理项，当且仅当为整数，而0≤r≤8，故r＝0,2,4,6,8，即展开式的有理项有5项，它们是：T1＝x4，T3＝112x－1，T5＝1120x－6，T7＝1792x－11，T9＝256x－16.(4)设展开式中的第r项、第r＋1项、第r＋2项的系数绝对值分别为，若第r＋1项的系数绝对值最大，则解得5≤r≤6，∴第6项和第7项的系数的绝对值相等且最大，而第6项的系数为负，第7项系数为正．∴系数最大的项为T7＝.由n＝8知第5项二项式系数最大，此时T5＝.课堂互动讲练考点二二项式定理展开式的应用利用二项展开式可以解决如整除、近似计算、不等式证明、含有组合数的恒等式证明，以及二项式系数性质的证明等问题．例3已知(1－2x)7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a7x7.求：(1)a1＋a2＋…＋a7；(2)a1＋a3＋a5＋a7；(3)a0＋a2＋a4＋a6；(4)|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a7|.【思路点拨】二项展开式是一个恒等式．即对任意的x∈R都成立，因而可采用赋值完成．【解】令x＝1，则a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝－1①令x＝－1，则a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＋a6－a7＝37②2分(1)∵a0＝C70＝1，∴a1＋a2＋a3＋…＋a7＝－2.3分(2)(①－②)÷2得：(4)法一：∵(1－2x)7展开式中，a0，a2，a4，a6大于零，而a1，a3，a5，a7小于零，∴|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a7|＝(a0＋a2＋a4＋a6)－(a1＋a3＋a5＋a7)，＝1093－(－1094)＝2187.法二：|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a7|，即(1＋2x)7展开式中各项的系数和，令x＝1∴|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a7|＝37＝2187.【规律小结】对二项式展开式中系数、系数和问题，常用赋值法，一般地，要使展开式中项的关系变为系数的关系，令x＝0得常数项，令x＝1可得所有项系数和，令x＝－1可得奇数次项系数之和与偶数次项系数之和的差，而当二项展开式中含负值项时，令x＝－1则可得各项系数绝对值之和．变式2.若(2x＋)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，则(a0＋a2＋a4)2－(a1＋a3)2的值是()A．1B．－1C．0D．2解析：令x＝1得a0＋a1＋a2＋a3＋a4＝(2＋)4，令x＝－1，得a0－a1＋a2－a3＋a4＝(－2)4，则(a0＋a2＋a4)2－(a1＋a3)2＝(a0＋a1＋a2＋a3＋a4)(a0－a1＋a2－a3＋a4)＝(2＋)4(－2)4＝1.答案：A例4求的展开式的常数项。10121xx1011012211xxxx解：8642164101731018210191101001011111xxxxxCxCxCxCxC从第五项起，后面各项不在再出现常数项，前四项的常数项分别为673104821029110010010,,,CCCCCCCC4351673104821029110010010CCCCCCCC∴原三项展开式的常数项为考点三二项式定理的灵活应用法2设在中，m个因式取x，n个因式取10121xx21x要得到常数项，则m,n∈N,m+n≤10,2n=m,得36241200nmnmnmnm43513461026410182100100CCCCCCCCIO∴原三项展开式的常数项为小结：(1)对三项展开式，要合理分组或因式分解，转化为二项式的形式。(2)分析如何得到所求项，利用组合解之。例5在的展开式中，求的系数。10311xx5x10321031)331(11xxxxxx解：当第1个因式取常数项时，(1+x)10的展开式取5次项，x5系数为当第1个因式取-3x时，(1+x)10的展开式取4次项，x5系数为当第1个因式取3x2时，(1+x)10的展开式取3次项，x5系数为当第1个因式取-x3时，(1+x)10的展开式取2次项，x5系数为510C4103C3103C210C∴x5的系数为+-=-63510C4103C3103C210C变式3（1）求（x2+x+1)13展开式中x5的系数；（2）求（2x-1)6(3+x)5展开式中x3的系数.1．二项式定理及通项公式的应用(1)对于二项式定理，不仅要掌握其正向运用，而且应学会逆向运用与变形运用．有时先作适当变形后再展开较为简便，有时需适当配凑后逆用二项式定理．规律方法总结(2)运用二项式定理一定要牢记通项Tk＋1＝Cnkan－kbk，注意(a＋b)n与(b＋a)n虽然相同，但用二项式定理展开后，具体到它们展开式的某一项时是不相同的，一定要注意顺序问题．(3)在通项公式Tk＋1＝Cnkan－kbk(n∈N*)中，要注意有n∈N*，k∈N，k≤n，即k＝0,1,2，…，n.2．项的系数与项的二项式系数的区别利用通项公式求二项展开式中指定的项(如常数项、系数最大项、有理项等)或某些项的系数是本节重点内容，解题时，要正确区分展开式中的“项”、“项的系数”、“项的二项式系数”等概念的异同．如(1＋2x)5的展开式中的第3项为T3＝C52·13·(2x)2＝40x2，其中该项的系数为C52·22＝40，而该项的二项式系数为C52＝10.规律方法总结