均值不等式

均值不等式及其应用第一课时授课人：3有甲、乙两个超市同时进行降价活动，分别采用两种降价方案：甲超市第一次打m折销售，第二次打n折销售;乙超市两次都(m+n)/2折销售。请问：哪个超市的价格更优惠?设置情境导入新知：课堂小结概念定理如果a、b是正数，那么（当且仅当a=b是取等号）4abba2ab几何平均数算术平均数2b+a5定理也可叙述为:两个正数的算术平均数不小于他们的几何平均数。如果a、b是正数，那么（当且仅当a=b是取等号）abba2注意：216当且仅当a=b时，不等式成立的条件：“a,b都是正数”。小问题：问1对于负数a、b,以上定理成立吗？问2对于非负数a、b,以上定理成立吗？7知识梳理构建网络1.基本不等式的几种特殊变形：变形（1）：2(),(,)2abababR12,(0)aaa变形（2）：变形（3）：22,(0)ababb注意等号成立的条件知识梳理构建网络2.几个基本概念：（1）n个正数的算术平均值：（2）n个正数的几何平均值：123nnaaaa123naaaan123,,,......,naaaaR（3）两个平均值的关系：123123nnnaaaaaaaan注意式中等号成立的条件（4）两个正数的平方平均值：,abR222ab211ab2221122abababab（5）两个正数的调和平均值：关系：注意式中等号成立的条件平方、算术、几何、调和知识梳理构建网络（6）不等式的变形：222()22abab,abR注意式中等号成立的条件,ab的取值范围,abR3.最值定理：（1）若a,b∈R+且ab=p（p为常数）则pabba22（当且仅当a=b时取等号）pba2min（2）若a+b=S(a,b∈R+,则（当且仅当a=b时取等号）4222sbaab42maxsab求最值要注意三点：⑴正数⑵定值⑶检验等号是否成立阅读下题（教科书（必修5）73页习题B第1题变式）的各种解法，指出有错误的地方.1112的最小值，求，且，已知babaRba12211,222)11()2(221221,,babababbaaRba，解法一：求函数的最值配方法利用均值不等式（一正、二定、三相等）探究.2411,1222)11)(2(11,12的最小值为、及解法二：由baababbababaRbaba.6911211,31,12,1211babababaabba又成立时，当且仅当解法三：正确解法一“1”代换法构造函数法正确解法二变式.已知a,b是正数且a+b=1，求的最小值bay1111baabbbaababay221111119224124abbabaab解：（法一）abba21ba当且仅当，即时，min9y4121ababba149yab21ba当时，ymin=9（法二）11121+++=1+ababab11y=1+1+=ab21,21ba当且仅当时取等号题西林壁横看成岭侧成峰远近高低各不同不识庐山真面目只缘身在此山中题型二利用均值不等式求最值例2(1)已知x0，求f(x)＝2＋4x＋x的最大值；(2)已知x1，求f(x)＝x＋1x－1的最小值；(3)已知0x25，求y＝2x－5x2的最大值.思维启迪：以上三个小题都不具备应用均值不等式求最值的三个条件，可将负数转化为正数，通过添项、拆项或变系数，使其积(或和)转化为定值.解(1)∵x0，∴－x0，∴f(x)＝2＋4x＋x＝2－[4－x+(－x)].∵－4x＋(－x)≥24＝4，当且仅当－x＝4－x，即x＝－2时等号成立.∴f(x)＝2－[4－x+(－x)]≤2－4＝－2，∴f(x)的最大值为－2.(2)∵x1，∴x－10，∴f(x)＝x＋1x－1＝x－1＋1x－1＋1≥2(x－1)·1x－1＋1＝2＋1＝3.当且仅当x－1＝1x－1，即x＝2时，等号成立.∴f(x)的最小值为3.(3)y＝2x－5x2＝x(2－5x)＝15·5x·(2－5x)，∵0x25，∴5x2,2－5x0，∴5x(2－5x)≤5x＋2－5x22＝1，∴y≤15，当且仅当5x＝2－5x，即x＝15时，ymax＝15.探究提高利用均值不等式求最值时，必须注意三点：“一正，二定，三相等”，缺一不可.如果项是负数，可转化为正数后解决，当和(或积)不是定值时，需要对项进行添加、分拆或变系数，将和(或积)化为定值.变式训练2(1)已知x0，y0，且1x＋9y＝1，求x＋y的最小值；(2)已知x54，求函数y＝4x－2＋14x－5的最大值；(3)若x，y∈(0，＋∞)且2x＋8y－xy＝0，求x＋y的最小值.解(1)方法一∵x0，y0，1x＋9y＝1，∴x＋y＝(x＋y)1x＋9y＝yx＋9xy＋10≥6＋10＝16.当且仅当yx＝9xy时，上式等号成立，又1x＋9y＝1，∴x＝4，y＝12时，(x＋y)min＝16.方法二由1x＋9y＝1，得(x－1)(y－9)＝9(定值)，可知x1，y9，而x＋y＝(x－1)＋(y－9)＋10≥2(x－1)(y－9)＋10＝16.所以当且仅当x－1＝y－9＝3，即x＝4，y＝12时，上式取等号，故当x＝4，y＝12时，(x＋y)min＝16.(2)∵x54，∴5－4x0，∴y＝4x－2＋14x－5＝－5－4x＋15－4x＋3≤－2＋3＝1，当且仅当5－4x＝15－4x，即x＝1时，上式等号成立，故当x＝1时，ymax＝1.(3)由2x＋8y－xy＝0，得2x＋8y＝xy，∴2y＋8x＝1，∴x＋y＝(x＋y)8x＋2y＝10＋8yx＋2xy＝10＋24yx＋xy≥10＋2×2×4yx·xy＝18，当且仅当4yx＝xy，即x＝2y时取等号，又2x＋8y－xy＝0，∴x＝12，y＝6，∴当x＝12，y＝6时，x＋y取最小值18.•通过本节课的学习，你学到了哪些知识？•你又掌握了哪些学习数学方法？•你能将均值不等式的学习与实际生活联系起来吗？课堂小结作业均值不等式和我们前几章学的函数、数列、解三角形有什么联系？每位同学做一道自编题思考.)(16,0.2小值的最求已知例bababa至少用两种方法解决问题