圆里的截长补短

圆里的截长补短天津石化一中曹诚2003.09题目：如图，M是等边△ABC的外接圆BC上的一点，求证：MA=MB+MC.ABCM分析：把已知条件及可得结论标在图上：60°60°60°60°∠BAC=60°，。。..题目：如图，M是等边△ABC的外接圆BC上的一点，求证：MA=MB+MC.ABCM分析：把已知条件及可得结论标在图上：60°60°60°60°∠BAC=60°，。。..把能表示的60°角用圆弧表示：题目：如图，M是等边△ABC的外接圆BC上的一点，求证：MA=MB+MC.ABCM分析：把已知条件及可得结论标在图上：60°60°60°∠BAC=60°，。。..把能表示的60°角用圆弧表示：题目：如图，M是等边△ABC的外接圆BC上的一点，求证：MA=MB+MC.ABCM分析：把已知条件及可得结论标在图上：60°60°∠BAC=60°，。。..把能表示的60°角用圆弧表示：题目：如图，M是等边△ABC的外接圆BC上的一点，求证：MA=MB+MC.ABCM分析：把已知条件及可得结论标在图上：∠BAC=60°，。。..把能表示的60°角用圆弧表示：60°题目：如图，M是等边△ABC的外接圆BC上的一点，求证：MA=MB+MC.ABCM分析：把已知条件及可得结论标在图上：∠BAC=60°，。。..把能表示的60°角用圆弧表示：题目：如图，M是等边△ABC的外接圆BC上的一点，求证：MA=MB+MC.ABCM∠BAC=60°，。。..分析1：补短法延长BM到N，使MN=CM，N∠CMN=∠BAC=60°，连结CN.MA=NB，△MA？≌△NB？△MAC≌△NBC，AC=BC，∠MAC=∠NBC，∠AMC=∠BNC，∠AMC=60°，∠BNC=60°，△CMN是等边三角形，△CMN是等边三角形，题目：如图，M是等边△ABC的外接圆BC上的一点，求证：MA=MB+MC.ABCM。。..证法1：延长BM到N，使MN=CM，N连结CN.∴MA=NB，∴△MAC≌△NBC，AC=BC，∴MA=MB+MC.∵AB=BC=CA，∴∠BAC=∠ABC=60°.∵∠CMN=∠BAC=60°，∴△CMN是等边三角形，∴∠BNC=60°.∵∠AMC=∠ABC=60°，∴∠AMC=∠BNC.∵∠MAC=∠NBC，题目：如图，M是等边△ABC的外接圆BC上的一点，求证：MA=MB+MC.ABCM∠BAC=60°，。。..分析2：补短法延长MB到S，使BS=MC，S∠ACM=∠ABS，连结AS.MA=MS，△MA？≌△SA？AC=AB，∠ABS=∠ACM，MC=SB，△MAC≌△SAB，∠AMB=60°，MA=MS=AS，MA=AS，ABCM。。..证法2：延长MB到S，使BS=MC，S连结AS.∵AC=AB=BC，则∠ABS=∠ACM.∴△MAC≌△SAB，∵∠AMB=∠ACB=60°，∴MA=MS=AS，∴MA=SA.∴MA=MB+MC.题目：如图，M是等边△ABC的外接圆BC上的一点，求证：MA=MB+MC.∠ACB=60°，题目：如图，M是等边△ABC的外接圆BC上的一点，求证：MA=MB+MC.ABCM。。..分析3：补短法延长MC到T，使CT=BM，T∠ABM=∠ACT，连结AT.MA=MT，△MA？≌△TA？AB=AC，∠ACT=∠ABM，BM=CT，△MAB≌△TAC，∠AMC=60°，MA=MT=AT，MA=AT，ABCM。。..证法3：延长MC到T，使CT=BM，T连结AT.则∠ACT=∠ABM，∵AC=AB=BC，∴△MAB≌△TAC，∵∠AMC=∠ABC=60°，∴MA=MT=AT，∴MA=TA.∴MA=MB+MC.题目：如图，M是等边△ABC的外接圆BC上的一点，求证：MA=MB+MC.∠ABC=60°，题目：如图，M是等边△ABC的外接圆BC上的一点，求证：MA=MB+MC.ABCM。。..分析4：补短法延长CM到F，使MF=BM，F∠ABM=∠CBF，连结BF.MA=FC，△MA？≌△FC？AB=CB，BM=BF，△MAB≌△FCB，∠BAC=60°，∠BMF=∠BAC=60°，△BFM是等边三角形，△BFM是等边三角形，ABCM。。..证法4：延长CM到F，使MF=BM，F∴∠FMB=∠FBM=60°，连结BF，∴MA=FC，∵AB=AC=CB，∴∠BAC=∠ABC=60°.BM=BF，∴△MAB≌△FCB，则∠BMF=∠BAC=60°，则△BFM是等边三角形，∴∠ABM=∠CBF，∴MA=MB+MC.题目：如图，M是等边△ABC的外接圆BC上的一点，求证：MA=MB+MC.题目：如图，M是等边△ABC的外接圆BC上的一点，求证：MA=MB+MC.ABCM。。分析5：截长法在AM上截取AE=MC，E∠BCM=∠BAM，连结BE.ME=MB，△MB？≌△EB？BC=BA，CM=AE，△MBC≌△EBA，∠AMB=60°，ME=MB=BE，MB=EB，ABCM。。证法5：在AM上截取AE=MC，E∵∠BCM=∠BAE，CM=AE，∴ME=MB；∵BC=BA=AC，∴∠ACB=60°.∴△MBC≌△EBA，∵∠AMB=∠ACB=60°，∴ME=MB=BE，∴MA=ME+AE=MB+MC.连结BE.题目：如图，M是等边△ABC的外接圆BC上的一点，求证：MA=MB+MC.题目：如图，M是等边△ABC的外接圆BC上的一点，求证：MA=MB+MC.ABCM分析6：截长法在MA上截取MK=MC，K∠KAC=∠MBC，连结KC.AK=MB，△AK？≌△BM？AC=BC，∠AKC=∠BMC，△AKC≌△BMC，△KCM是等边三角形，∠BMC=120°，..∠AKC=120°，△KCM是等边三角形.ABCM证法6：在MA上截取MK=MC，K∵∠KAC=∠MBC，连结KC.∴AK=MB，∵AC=BC=AB，∴∠ABC=∠ACB=60°，∴∠AMC=∠ABC=60°，∠AMB=∠ACB=60°，∴∠BMC=120°，∴△AKC≌△BMC，△KCM是等边三角形，..∴∠AKC=120°=∠BMC，∴MA=AK+MK=MB+MC.题目：如图，M是等边△ABC的外接圆BC上的一点，求证：MA=MB+MC.题目：如图，M是等边△ABC的外接圆BC上的一点，求证：MA=MB+MC.ABCM分析7：截长法在AM上截取AD=MB，D∠MBC=∠DAC，连结DC.MD=MC，△MC？≌△DC？CB=CA，BM=AD，△MCB≌△DCA，∠DMC=60°，..MD=MC=DC，MC=DC，ABCM证法7：在AM上截取AD=MB，D∵∠MBC=∠DAC，连结DC.∵CB=CA=AB，∴∠ABC=60°.BM=AD，∴△MCB≌△DCA，∵∠DMC=∠ABC=60°，..∴MD=MC=DC，∴MC=DC.∴MA=AD+MD=MB+MC.题目：如图，M是等边△ABC的外接圆BC上的一点，求证：MA=MB+MC.题目：如图，M是等边△ABC的外接圆BC上的一点，求证：MA=MB+MC.ABCM。。分析8：截长法在MA上截取MH=MB，H∠BAH=∠BCM，连结BH.AH=MC，△AH？≌△CM？AB=CB，∠ABH=∠CBM，△AHB≌△CMB，∠ABC=60°，∠HBM=60°，△HBM是等边三角形.△HBM是等边三角形.ABCM。。证法8：在MA上截取MH=MB，H∵∠BAH=∠BCM，∴△AHB≌△CMB，∴AH=MC，连结BH.∵AB=CB=BC，∴∠ACB=∠ABC=60°.∵∠AMB=∠ACB=60°，∴△HBM是等边三角形，∴∠HBM=60°=∠ABC，∴∠ABH=∠CBM.∴MA=MH+AH=MB+MC.题目：如图，M是等边△ABC的外接圆BC上的一点，求证：MA=MB+MC.“截长补短”是初中平面几何中化难为易的一种常用解题思想。本题是一道典型例题。这里表现8种证法，是要说明实际解题时怎么补、怎么截。在作好辅助线后要及时看到所产生的辅助条件，结合已知条件打通思路。本题的其它证法附于后面。ABCM证法9：∵BC=AC=AB，由托勒密定理得BC·MA=AC·MB+AB·MC.∴MA=MB+MC.题目：如图，M是等边△ABC的外接圆BC上的一点，求证：MA=MB+MC.ABCM。。证法10：记MA交BC于点P.∴∠AMC=∠AMB.∵∠BCM=∠BAM，∴△MCP∽△MAB，∴MA=MB+MC.题目：如图，M是等边△ABC的外接圆BC上的一点，求证：MA=MB+MC.P∴=；MCCPMAAB同理，=.MBBPMAAC∴+=+=1，MBMCBPCPMAMAACAB∵AC=AB，∴AC((=AB，∵BC=AC=AB，..