青岛大学概率论课件概率第四章

第四章大数定律与中心极限定理本章主线：极限定理是概率论中的基本定理，它对概率论与数理统计的研究和应用是极为重要的。关于随机变量的两种类型的极限定理是：大数定律和中心极限定理。为了解答这两类定理有关的典型问题，首先介绍随机序列的几种收敛性。4--1§4·1随机变量序列的收敛性)n(Pn记为：}{n一.依概率收敛定义1：设是随机变量序列，若存在，使得则称依概率收敛于）（都有：11})()({lim,0nnP}{n命题1PnnPnnPnnPnPn,则如果定义2：成立连续点有：的每个如果对是分布函数列设)2()()(lim)(,)()}({xFxFxFxFxFnnn。弱收敛于则称)()}({xFxFn)()}({xFxFWn记作：（1）（2）)(,)()}({}{nxFxFLnnnn记作按分布收敛于称，的分布函数弱收敛于的分布函数若的分布函数）是其中cxFxFxFcWnPn)(()()(命题2：)()()(LnWnPnxFxF命题3：ccLnPn命题4：))(()()()(nttxFxFnWn若为随机变量，二依概率1收敛定义3：,}{是随机变量序列设n)4(1)}()(lim{nnP则称依概率收敛于（几乎处处、几乎必然）}{n)(.nsan记为：))((.nean命题5：Pnsan.§4·2大数定律pnfPnn,事件出现的次数试验中重是设ABernoullinn,pA率为在每次试验中发生的概又设有则,0一贝努里大数定律（Bernoulli）(1)1)(limpPnnn定理1)1(0)(limpPnnnBernoulli大数定理表明：定义1)()(2101nannPnii有：服从大数定律。则}{n二契贝晓夫大数定律定理2：且方差有界，机变量序列是一列两两不相关的随设,}{n),2,1(0icDci，使即存在服从大数定律。}{n(3)101111)(limniniininnEP有即三马尔可夫大数定律：，若有对随机变量序列}{n)5()(0)(112nDPniin服从大数定律。则}{n马尔可夫条件例1),2,1(211}0{,21}2{212nPPnnnnn服从大数定律。试证：}{n,}{是独立随机变量序列设n,}{是独立随机变量序列设n,2,1,21}{nnPn服从大数定律。试证：}{n例2例3在Bernoulli试验中，事件A出现的概率为p，令其它出现次试验中次及第在第011Annn服从大数定律。试证：}{n),2,1(naEn四辛钦大数定律(4)1)(lim11niinnaP,}{量序列是独立同分布的随机变设n,且有有限的数学期望有则,0五大数定律的应用1矩法估计理论EPniin11kPnikinkE112数值计算的蒙特卡方法例4求定积分的近似值badxxgJ)(例5（教材4.30）且量序列是独立同分布的随机变设,}{n,2,1,21}2{2kkPkkk服从大数定律。试证：}{n§4·3中心极限定理一、De·Moivre--Laplace中心极限定理,)(10ppAn出现的概率为重贝努里试验中，事件在(1)21}{lim22xtnndtexnpqnpP,出现的次数次试验中事件为Ann有则Rx二、Linderberg—Levy定理则有：)2(21)(lim212dtexnnaPxtnikn量序列，是独立同分布的随机变设}{n,2,12kDaEkk三、中心极限定理的应用：且量个独立同分布的随机变是，设,,,21nnniin111平均数的分布,,212kDaEkk（1）若),(~),2,1(),(~22naNiaNi则（2）若),(2aNi独立同分布不服从)1,0(~Nan则近似)()()()(npqnpanpqnpbnpqnpbnpqnpnpqnpaPbaPnn),(~pnB设)()(pqqpCbaPbkaknkkn1则2二项分布的近似计算（1）Poisson定理（2）中心极限定理很大时当n例1计算Bernoulli大数定律中?}{pnPn例2若一年中某类保险者里面每人死亡的概率为0.005，现在10000个这类保险人参加人寿保险，试求在未来的一年中保险者中死亡人数不超过70的概率。kkkknCP1000070010000)995.0()005.0()70()005.0,10000(~B解：设表示一年中的死亡人数0.0077(2.84)0.9950.005100000.00510000-70(例3某单位有260部电话，每部电话大约有4%的时间使用外线通话，每部电话是否使用外线是相互独立的，问该总机至少需要装多少条外线，才能以95%以上的概率保证每部电话需要外线时“不占线”？(教材P213页）例4一个复杂的系统有n个相互独立的部件组成，在整个运行期间，每个部件损坏的概率为0.1，为使整个系统正常工作，至少需要80%的部件完好，问n至少多大时才能使系统的可靠度为0.95？例5某餐厅每天接待400名顾客，每位顾客的消费额（元）服从（20，100）上的均匀分布，且顾客的消费额是相互独立的，试求：（1）该餐厅每天的平均营业额；（2）该餐厅每天的营业额在平均营业额760元的概率。例6某汽车销售点每天出售的汽车服从参数为=2的Poisson分布，若一年365天都经营汽车销售，且每天售出的汽车数相互独立。求一年中售出700辆以上的概率。nkknB1223Linderberg中心极限定理条件Linderberg)(10)()(1lim122xdFaxBknkBaxknnnkk定理Linderberg)2(设独立随机变量序列满足Linderberg条件，}{n有,RxdtexaBPxtnkkknn21221})(1{lim习题课大数定律与中心极限定理一、随机变量序列的收敛性1依概率收敛Pn2依分布收敛)()}({xFxFWnLn2依概率1收敛san.二、大数定律1贝努里（Bernoulli）大数定律2契贝晓夫大数定律3马尔可夫大数定律4辛钦大数定律三、中心极限定理1De·Moivre--Laplace中心极限定理2Linderberg—Levy定理