《创新设计高考总复习》配套学案：函数模型及应用

第9讲函数模型及其应用[最新考纲]1．了解指数函数、对数函数、幂函数的增长特征，结合具体实例体会直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义．2．了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用.知识梳理1．函数模型及其性质比较(1)几种常见的函数模型函数模型函数解析式一次函数模型f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0)二次函数模型f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)与指数函数相关模型f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数，a＞0且a≠1，b≠0)与对数函数相关模型f(x)＝blogax＋c(a，b，c为常数，a＞0且a≠1，b≠0)与幂函数相关模型f(x)＝axn＋b(a，b，n为常数，a≠0，n≠0)(2)三种函数模型性质比较函数性质y＝ax(a＞1)y＝logax(a＞1)y＝xn(n＞0)在(0，＋∞)上的单调性单调增函数单调增函数单调增函数增长速度越来越快越来越慢相对平稳2.“f(x)＝x＋ax”型函数模型形如f(x)＝x＋ax(a＞0)的函数模型称为“对勾”函数模型，在现实生活中有着广泛的应用，常利用基本不等式、导数、函数单调性求解最值.学生用书第33页辨析感悟1．关于函数模型增长特点的理解(1)函数y＝2x的函数值比y＝x2的函数值大．(×)(2)“指数爆炸”是指数型函数y＝a·bx＋c(a≠0，b＞0，b≠1)增长速度越来越快的形象比喻．(×)(3)幂函数增长比直线增长更快．(×)2．常见函数模型的应用问题(4)(2013·长春模拟改编)一个体积为V的棱锥被平行于底面的平面所截，设截面上部的小棱锥的体积为y，截面下部的几何体的体积为x，则y与x的函数关系的图象可以表示为.(√)(5)(2014·济宁模拟改编)某产品的总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系式是y＝3000＋20x－0.1x2，x∈(0,240)，若每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本时(销售收入不小于总成本)的最低产量是150台．(√)[感悟·提升]一个区别三种增长型的函数尽管均为增函数，但它们的增长速度不同，且不在同一个档次上，因此在(0，＋∞)上，总会存在一个x0，使x＞x0时，有ax＞xn＞logax(a＞1，n＞0)．如(1)中当2＜x＜4时，2x＜x2；如(2)中没强调b＞1；如(3)，举例y＝与y＝x，当x＞1时，y＝比y＝x增长慢.考点一利用图象刻画实际问题【例1】(2013·湖北卷，文)小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间后，为了赶时间加快速度行驶．与以上事件吻合得最好的图象是()．解析小明匀速运动时，所得图象为一条直线段，且距离学校越来越近，故排除A.因交通堵塞停留了一段时间，与学校的距离不变，故排除D.后来为了赶时间加快速度行驶，故排除B.故选C.答案C规律方法抓住两个变量间的变化规律(如增长的快慢、最大、最小等)与函数的性质(如单调性、最值等)、图象(增加、减少的缓急等)相吻合即可．【训练1】如图下面的四个容器高度都相同，将水从容器顶部一个孔中以相同的速度注入其中，注满为止．用下面对应的图象表示该容器中水面的高度h和时间t之间的关系，其中不正确的有()．A．1个B．2个C．3个D．4个解析将水从容器顶部一个孔中以相同的速度注入其中，容器中水面的高度h和时间t之间的关系可以从高度随时间的变化率上反映出来，图①应该是匀速的，故上面的图象不正确，②中的变化率应该是越来越慢的，正确；③中的变化率逐渐变慢，然后逐渐变快，正确；④中的变化率逐渐变快，然后逐渐变慢，也正确，故只有①是错误的．选A.答案A考点二二次函数模型【例2】(2014·德州一模)某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场预测，投资债券等稳健型产品的收益与投资额成正比，投资股票等风险型产品的收益与投资额的算术平方根成正比．已知投资1万元时两类产品的收益分别为0.125万元和0.5万元．(1)分别写出两类产品的收益与投资的函数关系；(2)该家庭有20万元资金，全部用于理财投资，问：怎么分配资金能使投资获得最大收益，其最大收益是多少万元？解(1)设两类产品的收益与投资的函数分别为f(x)＝k1x，g(x)＝k2x.由已知得f(1)＝18＝k1，g(1)＝12＝k2，所以f(x)＝18x(x≥0)，g(x)＝12x(x≥0)．(2)设投资债券类产品为x万元，则投资股票类产品为(20－x)万元．依题意得y＝f(x)＋g(20－x)＝x8＋1220－x(0≤x≤20)．令t＝20－x(0≤t≤25)，则y＝20－t28＋12t＝－18(t－2)2＋3，所以当t＝2，即x＝16时，收益最大，ymax＝3万元.学生用书第34页规律方法二次函数模型的应用比较广泛，解题时，根据实际问题建立二次函数解析式后，可以利用配方法、判别式法、换元法、函数的单调性等方法来求函数的最值，从而解决实际问题中的利润最大、用料最省等问题．【训练2】某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品，其生产的总成本y(万元)与年产量x(吨)之间的函数关系式可以近似地表示为y＝x25－48x＋8000，已知此生产线年产量最大为210吨．(1)求年产量为多少吨时，生产每吨产品的平均成本最低，并求最低成本；(2)若每吨产品平均出厂价为40万元，那么当年产量为多少吨时，可以获得最大利润？最大利润是多少？解(1)每吨平均成本为yx(万元)．则yx＝x5＋8000x－48≥2x5·8000x－48＝32，当且仅当x5＝8000x，即x＝200时取等号．∴年产量为200吨时，每吨平均成本最低为32万元．(2)设年获得总利润为R(x)万元．则R(x)＝40x－y＝40x－x25＋48x－8000＝－x25＋88x－8000＝－15(x－220)2＋1680(0≤x≤210)．∵R(x)在[0,210]上是增函数，∴x＝210时，R(x)有最大值为－15(210－220)2＋1680＝1660.∴年产量为210吨时，可获得最大利润1660万元．考点三分段函数模型【例3】(2014·郴州模拟)某旅游景点预计2014年1月份起前x个月的旅游人数的和p(x)(单位：万人)与x的关系近似地满足p(x)＝12x(x＋1)(39－2x)(x∈N*，且x≤12)．已知第x个月的人均消费额q(x)(单位：元)与x的近似关系是q(x)＝35－2xx∈N*，且1≤x≤6，160xx∈N*，且7≤x≤12.(1)写出2014年第x个月的旅游人数f(x)(单位：人)与x的函数关系式；(2)试问2014年第几个月旅游消费总额最大，最大月旅游消费总额为多少元？解(1)当x＝1时，f(1)＝p(1)＝37，当2≤x≤12，且x∈N*时，f(x)＝p(x)－p(x－1)＝12x(x＋1)(39－2x)－12(x－1)x(41－2x)＝－3x2＋40x，验证x＝1也满足此式，所以f(x)＝－3x2＋40x(x∈N*，且1≤x≤12)．(2)第x个月旅游消费总额为g(x)＝－3x2＋40x35－2xx∈N*，且1≤x≤6，－3x2＋40x·160xx∈N*，且7≤x≤12，即g(x)＝6x3－185x2＋1400xx∈N*，且1≤x≤6，－480x＋6400x∈N*，且7≤x≤12.①当1≤x≤6，且x∈N*时，g′(x)＝18x2－370x＋1400，令g′(x)＝0，解得x＝5或x＝1409(舍去)．当1≤x＜5时，g′(x)＞0，当5＜x≤6时，g′(x)＜0，∴当x＝5时，g(x)max＝g(5)＝3125(万元)．②当7≤x≤12，且x∈N*时，g(x)＝－480x＋6400是减函数，∴当x＝7时，g(x)max＝g(7)＝3040(万元)．综上，2014年5月份的旅游消费总额最大，最大旅游消费总额为3125万元．规律方法(1)很多实际问题中，变量间的关系不能用一个关系式给出，这时就需要构建分段函数模型，如出租车的票价与路程的函数就是分段函数．(2)求函数最值常利用基本不等式法、导数法、函数的单调性等方法．在求分段函数的最值时，应先求每一段上的最值，然后比较得最大值、最小值．【训练3】在扶贫活动中，为了尽快脱贫(无债务)致富，企业甲将经营状况良好的某种消费品专卖店以5.8万元的优惠价格转让给了尚有5万元无息贷款没有偿还的小型企业乙，并约定从该店经营的利润中，首先保证企业乙的全体职工每月最低生活费的开支3600元后，逐步偿还转让费(不计息)．在甲提供的资料中有：①这种消费品的进价为每件14元；②该店月销量Q(百件)与销售价格P(元)的关系如图所示；③每月需各项开支2000元．(1)当商品的价格为每件多少元时，月利润扣除职工最低生活费的余额最大？并求最大余额；(2)企业乙只依靠该店，最早可望在几年后脱贫？解设该店月利润余额为L，则由题设得L＝Q×(P－14)×100－3600－2000，①由销量图易得Q＝－2P＋50，14≤P≤20，－32P＋40，20P≤26，代入①式得L＝－200P－19.52＋450，14≤P≤20，－150P－6132＋12503，20P≤26，(1)当14≤P≤20时，Lmax＝450元，此时P＝19.5元；当20P≤26时，Lmax＝12503元，此时P＝613元．故当P＝19.5元时，月利润余额最大为450元．(2)设可在n年内脱贫，依题意有12n×450－50000－58000≥0，解得n≥20，即最早可望在20年后脱贫．1．认真分析题意，合理选择函数模型是解决应用问题的基础．2．要特别关注实际问题的自变量的取值范围，合理确定函数的定义域．3．注意问题反馈，在解决函数模型后，必须验证这个数学结果对实际问题的合理性．学生用书第35页答题模板3——函数实际应用的建模问题【典例】(12分)(2012·江苏卷)如图，建立平面直角坐标系xOy，x轴在地平面上，y轴垂直于地平面，单位长度为1千米．某炮位于坐标原点．已知炮弹发射后的轨迹在方程y＝kx－120(1＋k2)x2(k＞0)表示的曲线上，其中k与发射方向有关．炮的射程是指炮弹落地点的横坐标．(1)求炮的最大射程．(2)设在第一象限有一飞行物(忽略其大小)，其飞行高度为3.2千米，试问它的横坐标a不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由．[规范解答](1)令y＝0，得kx－120(1＋k2)x2＝0，由实际意义和题设条件知x＞0，k＞0，(2分)故x＝20k1＋k2＝20k＋1k≤202＝10，当且仅当k＝1时取等号．所以炮的最大射程为10千米．(5分)(2)因为a＞0，所以，炮弹可击中目标⇔存在k＞0，使3.2＝ka－120(1＋k2)a2成立．(8分)即关于k的方程a2k2－20ak＋a2＋64＝0有正根(10分)∴判别式Δ＝(－20a)2－4a2(a2＋64)≥0，解得a≤6.所以当a不超过6千米时，可击中目标．(12分)[反思感悟](1)函数模型应用不当是常见的解题错误，所以，正确理解题意，选择适当的函数模型是正确解决这类问题的前提和基础；(2)本题中有的学生不能把炮弹击中目标转化为关于k的一元二次方程有正根问题，导致失分．答题模板解函数应用题的一般程序：第一步：审题——弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系；第二步：建模——将文字语言转化成数学语言，用数学知识建立相应的数学模型；第三步：求模——求解数学模型，得到数学结论；第四步：还原——将用数学方法得到的结论还原为实际问题的意义；第五步：反思回顾——对于数学模型得到的数学结果，必须验证这个数学解对实际问题的合理性．【自主体验】某医药研究所开发的一种新药，如果成年人按规定的剂量服用，据监测：服药后每毫升血液中的含药量y(微克)与时间t(小时)之间近似满足如图所示的曲线．(1)写出第一次服药后y与t之间的函数关系式y＝f(t)；(2)据进一步测定：每毫升血液中含药量不少于0.25微克时治疗疾病有效，求服药一次