×逻辑代数及其化简

3.1逻辑代数教学基本要求：•掌握逻辑代数的基本定律与规则;•掌握代数法化简逻辑函数。重点、难点:代数法化简逻辑函数作业:P1203.1.3在数字电路中，我们要研究的是电路的输入输出之间的逻辑关系，所以数字电路又称逻辑电路，相应的研究工具是逻辑代数（布尔代数）。在逻辑代数中，逻辑函数的变量只能取两个值（二值变量），即0和1，中间值没有意义，这里的0和1只表示两个对立的逻辑状态，如电位的低高（0表示低电位，1表示高电位）、开关的开合等。3.1逻辑代数3.1.1逻辑代数的基本定律和恒等式一、基本运算规则A+0=AA+1=1A·0=0·A=0A·1=A1AAAAA0AAAAAAA二、基本代数规律交换律结合律分配律A+B=B+AA•B=B•AA+(B+C)=(A+B)+C=(A+C)+BA•(B•C)=(A•B)•CA(B+C)=A•B+A•CA+B•C=(A+B)(A+C)普通代数不适用!三、吸收规则1.原变量的吸收：A+AB=A证明：A+AB=A(1+B)=A•1=A利用运算规则可以对逻辑式进行化简。例如：CDABFEDABCDAB)(被吸收2.反变量的吸收：BABAA证明：BAABABAABAAABA)(例如：DCBCADCBCAA被吸收3.混合变量的吸收：CAABBCCAAB证明：BCAACAABBCCAAB)(CAABBCAABCCAAB例如：CAABBCCAABBCDBCCAABBCDCAAB1吸收吸收四.反演定理：(摩根定律）BABABABAABAB0001111010110110010111110000BAABBA可以用列真值表的方法证明：例如，已知等式，用函数Y=AC代替等式中的A，根据代入规则，等式仍然成立，即有：3.1.2逻辑代数运算的基本规则（1）代入规则：任何一个含有变量A的等式，如果将所有出现A的位置都用同一个逻辑函数代替，则等式仍然成立。这个规则称为代入规则。BAABCBABACBAC)(（2）反演规则：对于任何一个逻辑表达式Y，如果将表达式中的所有“·”换成“＋”，“＋”换成“·”，“0”换成“1”，“1”换成“0”，原变量换成反变量，反变量换成原变量，那么所得到的表达式就是函数Y的反函数Y（或称补函数）。这个规则称为反演规则。例如：EDCBAY))((EDCBAYEDCBAYEDCBAY（3）对偶规则：对于任何一个逻辑表达式Y，如果将表达式中的所有“·”换成“＋”，“＋”换成“·”，“0”换成“1”，“1”换成“0”，而变量保持不变，则可得到的一个新的函数表达式Y＇，Y＇称为函Y的对偶函数。这个规则称为对偶规则。例如：EDCBAY对偶规则的意义在于：如果两个函数相等，则它们的对偶函数也相等。利用对偶规则,可以使要证明及要记忆的公式数目减少一半。例如：注意：在运用反演规则和对偶规则时，必须按照逻辑运算的优先顺序进行：先算括号，接着与运算，然后或运算，最后非运算，否则容易出错。ACABCBA)())((CABABCAABABAABABA)()())((EDCBAYEDCBAYEDCBAY3.1.3逻辑函数的代数变化与化简法把逻辑函数的输入、输出关系写成与、或、非等逻辑运算的组合式，即逻辑代数式，又称为逻辑函数式，通常采用“与或”的形式。比如：ABCCBACBACBACBAF若表达式的乘积项中包含了所有输入变量的原变量或反变量，则这一项称为最小项，上式中每一项都是最小项。若两个最小项中只有一个变量以原、反状态相区别，则称它们为逻辑相邻。ABCCBACBACBACBAF逻辑相邻CBCBACBA逻辑相邻的项可以合并，消去一个因子利用逻辑代数的基本公式化简：例：ABACBCABCBAABCBACCABCBAABCCABCBAF)()()(反变量吸收提出AB=1提出A例：CBBCBAABF)(CBBCBAAB）（反演CBAABCCCBAAB)()(配项CBBCAABCCBACBAAB被吸收被吸收CBBBCAAB)(CBCAABAB=ACB=C?A+B=A+CB=C?请注意与普通代数的区别！小结：基本运算规则、基本代数规律吸收规则、反演定理、代数化简作业：P1203.1.33.2逻辑函数的卡诺图化简法教学基本要求：•理解最小项的基本概念•掌握卡诺图化简逻辑函数。重点、难点:卡诺图、卡诺图化简逻辑函数规则作业:P1213.2.23.2.1逻辑函数的最小项及其性质（1）最小项：如果一个函数的某个乘积项包含了函数的全部变量，其中每个变量都以原变量或反变量的形式出现，且仅出现一次，则这个乘积项称为该函数的一个标准积项，通常称为最小项。3个变量A、B、C可组成8个最小项：ABCCABCBACBABCACBACBACBA、、、、、、、（2）最小项的表示方法：通常用符号mi来表示最小项。下标i的确定：把最小项中的原变量记为1，反变量记为0，当变量顺序确定后，可以按顺序排列成一个二进制数，则与这个二进制数相对应的十进制数，就是这个最小项的下标i。3个变量A、B、C的8个最小项可以分别表示为：ABCmCABmCBAmCBAmBCAmCBAmCBAmCBAm76543210、、、、、、（3）最小项的性质：3变量全部最小项的真值表ABCm0m1m2m3m4m5m6m70000010100111001011101111000000001000000001000000001000000001000000001000000001000000001①任意一个最小项，只有一组变量取值使其值为1。③全部最小项的和必为1。ABCABC②任意两个不同的最小项的乘积必为0。3.2.2逻辑函数的最小项表达式任何一个逻辑函数都可以表示成唯一的一组最小项之和，称为标准与或表达式，也称为最小项表达式对于不是最小项表达式的与或表达式，可利用公式A＋A＝1和A(B+C)＝AB＋BC来配项展开成最小项表达式。)7,3,2,1,0()())((73210mmmmmmABCBCACBACBACBABCAABCCBACBACBABCABCAACCBBABCAY如果列出了函数的真值表，则只要将函数值为1的那些最小项相加，便是函数的最小项表达式。ABCY最小项00000101001110010111011101110100m0m1m2m3m4m5m6m7m1＝ABCm5＝ABCm3＝ABCm1＝ABCCBACBACBACBAmmmmmY)5,3,2,1(5321将真值表中函数值为0的那些最小项相加，便可得到反函数的最小项表达式。3.2.3用卡诺图表示逻辑函数1、卡诺图的构成逻辑函数的图形化简法是将逻辑函数用卡诺图来表示，利用卡诺图来化简逻辑函数。将逻辑函数真值表中的最小项重新排列成矩阵形式，并且使矩阵的横方向和纵方向的逻辑变量的取值按照格雷码的顺序排列，这样构成的图形就是卡诺图。卡诺图的特点是任意两个相邻的最小项在图中也是相邻的。（相邻项是指两个最小项只有一个因子互为反变量，其余因子均相同，又称为逻辑相邻项）。AB010m0m21m1m3ABC000111100m0m2m6m41m1m3m7m52变量卡诺图3变量卡诺图每个2变量的最小项有两个最小项与它相邻每个3变量的最小项有3个最小项与它相邻ABCD0001111000m0m4m12m801m1m5m13m911m3m7m15m1110m2m6m14m104变量卡诺图每个4变量的最小项有4个最小项与它相邻最左列的最小项与最右列的相应最小项也是相邻的最上面一行的最小项与最下面一行的相应最小项也是相邻的两个相邻最小项可以合并消去一个变量BACCBACBACBA)(DCADCBADCAB逻辑函数化简的实质就是相邻最小项的合并2、逻辑函数在卡诺图中的表示（1）逻辑函数是以真值表或者以最小项表达式给出：在卡诺图上那些与给定逻辑函数的最小项相对应的方格内填入1，其余的方格内填入0。ABCD00011110000100011000111111100110)15,14,11,7,6,4,3,1(),,,(mDCBAYm1m3m4m7m6m11m15m14（2）逻辑函数以一般的逻辑表达式给出：先将函数变换为与或表达式（不必变换为最小项之和的形式），然后在卡诺图上与每一个乘积项所包含的那些最小项（该乘积项就是这些最小项的公因子）相对应的方格内填入1，其余的方格内填入0。))((CBDAYCBDAYABCD00011110001100010000111001101101变换为与或表达式ＡＤ的公因子ＢＣ的公因子说明：如果求得了函数Ｙ的反函数Ｙ，则对Ｙ中所包含的各个最小项，在卡诺图相应方格内填入0，其余方格内填入1。3、卡诺图的性质ABCD00011110000100010001110001100100（1）任何两个（21个）标1的相邻最小项，可以合并为一项，并消去一个变量（消去互为反变量的因子，保留公因子）。ABC000111100100110110CBACBAABCBCADBCADCBACDBADCBACBBCDBADBAABCD00011110000100011111110110100100（2）任何4个（22个）标1的相邻最小项，可以合并为一项，并消去2个变量。ABC000111100111110110CCBAABBABACBACABCBACBA)(BBACCACACAABCCABBCACBA)(BADCABCD00011110001001010110110110101001ABCD00011110000110011001111001100110ＡＤＢＤＢＤＢＤABCD00011110000000011111111111100000ABCD00011110001001011001111001101001（3）任何8个（23个）标1的相邻最小项，可以合并为一项，并消去3个变量。ＤＢ小结：相邻最小项的数目必须为2个才能合并为一项，并消去1个变量。包含的最小项数目越多，即由这些最小项所形成的圈越大，消去的变量也就越多，从而所得到的逻辑表达式就越简单。这就是利用卡诺图化简逻辑函数的基本原理。3.2.4用卡诺图化简逻辑函数逻辑表达式或真值表卡诺图)15,13,12,11,8,7,5,3(),,,(mDCBAYABCD0001111000001101011011111110000011化简步骤：合并最小项①圈越大越好，但每个圈中标１的方格数目必须为个。②同一个方格可同时画在几个圈内，但每个圈都要有新的方格，否则它就是多余的。③不能漏掉任何一个标１的方格。i2最简与或表达式ABCD00011110000011010110111111100000DCACDBDDCBAY),,,(ＢＤＣＤＡＣＤ冗余项2233将代表每个圈的乘积项相加ABCD00011110ABCD00011110001101001101010111010111110011110011100000100000两点说明：①在有些情况下，最小项的圈法不只一种，得到的各个乘积项组成的与或表达式各不相同，哪个是最简的，要经过比较、检查才能确定。ＡＣＤ＋ＢＣＤ＋ＡＢＣ＋ＡＤ不是最简ＢＣＤ＋ＡＢＣ＋ＡＤ最简ABCD00011110ABCD00011110001100001100011110011110110010110010101010101010②在有些情况下，不同圈法得到的与或表达式都是最简形式。即一个函数的最简与或表达式不是唯一的。ＡＣ＋ＡＢＤ＋ＡＢＣ＋ＢＣＤＡＣ＋ＡＢＤ＋ＡＢ