311 随机事件的概率

目录退出第三章概率目录退出目录退出内容提要本章分为随机事件的概率、古典概型、几何概型三大部分.1.关于随机事件的概率,介绍了它的有关概念,如随机事件、必然事件、不可能事件、频数、频率等,还从以下六个方面介绍了概率的意义:一是对概率的正确理解,二是游戏的公平性,三是决策中的概率思想,四是天气预报的概率解释,五是在豌豆杂交试验中的基本规律,六是遗传机理中的统计规律.最后介绍了概率的基本性质和各事件之间的关系.2.关于古典概型,教材从基本试验入手分析得出古典概型所必须具备的两个特点:(1)试验中所有可能出现的基本事件只有有限个;(2)每个基本事件出现的可能性相等.接着又从具体例子出发,介绍基本事件出现的概率的计算方法,最后为了方便同学们学习,节省大量重复试验的时间,介绍了用计算器产生随机数的方法和步骤.目录退出3.关于几何概型,它主要研究遇到试验的所有可能结果是无穷多的情况的解决方案,并介绍用计算器产生均匀随机数的方法和步骤.本章的重点是通过对随机事件的概率知识的学习,正确理解概率的定义和性质,理解古典概率模型,初步体会几何概率模型;学会通过试验、计算器或计算机模拟估计简单随机事件发生的概率.本章的难点是理解频率与概率的关系,设计和运用模拟方法近似计算概率,把求未知量的问题转化为几何概型求概率的问题.目录退出学法建议1.对于易混淆的知识,如概念、公式、随机数的产生方法等,应着眼于搞清它们之间的区别和联系.2.公式的运用,要注意它们的前提条件,它属于哪种概率类型,要准确、熟练地应用各个公式解题.目录退出3.1随机事件的概率目录退出3.1.1随机事件的概率目录退出目录退出说一个与足球有关的著名悖论:“生日悖论”,在一个足球场上有23个人(2×11个运动员和1个裁判员),不可思议的是,在这23人当中至少有两个人的生日是在同一天的几率要大于50%.这就意味着在一个典型的标准小学班级(30人)中,存在两人生日相同的可能性更高.对于60个或者更多的人,这种概率要大于99%,这是为什么呢?本节我们共同研究这个问题.目录退出1.事件的有关概念(1)必然事件:一般地,我们把在条件S下,一定会发生的事件,叫做相对于条件S的必然事件,简称必然事件.(2)不可能事件:在条件S下,一定不会发生的事件,叫做相对于条件S的不可能事件,简称不可能事件.(3)确定事件:必然事件与不可能事件统称为相对于条件S的确定事件,简称确定事件.(4)随机事件:在条件S下可能发生也可能不发生的事件,叫做相对于条件S的随机事件,简称随机事件.(5)事件及其表示方法:确定事件和随机事件统称为事件,一般用大写字母A,B,C,…表示.目录退出(1)必然事件具有确定性,它在一定条件下肯定发生.(2)随机事件可作如下理解:①在相同条件下观察同一现象;②多次观察;③每一次观察的结果不一定相同,且无法预测下次的结果是什么;④必然事件和不可能事件可看作是随机事件的两种极端情形.(3)要弄清楚什么是随机事件的条件和结果.随机事件是指在一定条件下,可能发生也可能不发生的事件.应注意,事件的结果是相对于“一定条件”而言的,因此要弄清楚某一事件,必须明确事件发生的条件和事件发生的结果.(4)为了叙述起来文字简洁些,我们有时讲到事件时,其中可能包含不可能事件和必然事件的意思,一般都不另作说明,即可以把它们视为特殊的随机事件.目录退出2.随机试验对于随机事件,知道它发生的可能性大小是非常重要的,要了解随机事件发生的可能性大小,最直接的方法就是试验.一个试验如果满足下述条件:(1)试验可以在相同的情形下重复进行;(2)试验的所有结果是明确可知的,但不止一个;(3)每次试验总是出现这些结果中的一个,但在一次试验之前却不能确定这次试验会出现哪一个结果.像这样的试验称为一个随机试验.目录退出我们知道具备上述三个条件的试验称为随机试验.例如:(1)掷一颗均匀对称的骰子,观察出现的点数;(2)记录一段时间内,某城市110报警次数;(3)从含有3件次品a1,a2,a3和3件正品b1,b2,b3的6件产品中,任取2件,观察出现正品、次品的情况等都是随机试验的例子.由此可知,随机试验是产生随机现象的过程,随机试验和随机现象是并存的,通过随机试验,人们可以揭示自然界的奥秘.目录退出3.频数、频率、概率(1)频数与频率:在相同的条件S下重复n次试验,观察某一事件A是否出现,称n次试验中事件A出现的次数nA为事件A出现的频数,称事件A出现的比例fn(A)=𝑛𝐴𝑛为事件A出现的频率.由于A发生的次数至少为0,至多为n,因此频率总在0与1之间,即0≤𝑛𝐴𝑛≤1.(2)概率及其记法:对于给定的随机事件A,如果随着试验次数的增加,事件A发生的频率fn(A)稳定在某个常数上,把这个常数记作P(A),称为事件A的概率,简称为A的概率.一般来说,随机事件A在每次试验中是否发生是不能预知的,但是在大量的重复试验后,随着试验次数的增加,事件A发生的频率会逐渐稳定在区间[0,1]中的某个常数上,这个常数越接近于1,表明事件A发生的频率越大,频数就越大,也就是它发生的可能性越大;反之,事件发生的可能性越小,频数就越小,频率也越小,这个常数也就越小.因此,我们可以用这个常数来度量事件A发生的可能性的大小,定义为概率.目录退出(1)概率从数量上反映出一个事件发生的可能性的大小.(2)概率的定义实际也是求一个事件概率的基本方法.(3)记随机事件A在n次试验中发生了nA次,那么有0≤nA≤n,于是有0≤P(A)≤1.(4)必然事件的概率为1,不可能事件的概率为0.目录退出1.下面给出四个事件:①若x∈R,则x20;②没有水分,种子发芽;③某地圣诞节下雪;④在标准大气压下,水的沸点是100℃.其中是必然事件的是()A.③B.①C.①④D.④解析:①是不可能事件,②是不可能事件,③是随机事件,④是必然事件.答案:D目录退出2.某市统计近几年新生儿出生数及其中男婴数(单位:人)如下:时间2008年2009年2010年2011年出生婴儿数21840230702009419982出生男婴数11453120311029710242(1)试计算近几年男婴出生的频率分别为(精确到0.001);(2)该市男婴出生的概率约为.解析:(1)2008年男婴出生的频率为1145321840≈0.524.同理可求得2009年、2010年和2011年男婴出生的频率分别为0.521,0.512,0.513.(2)该市男婴出生的概率约为0.5.答案:(1)0.524,0.521,0.512,0.513(2)0.5目录退出3.指出下列事件是必然事件、不可能事件还是随机事件.(1)若ab,则a-b0;(2)某射手射击一次,击中10环;(3)在一个三角形中,大边对的角小,小边对的角大;(4)将一枚硬币连掷三次,结果出现三次正面;(5)从分别标有号码1,2,3,4,5的5个号签中任取一个,得到4号签;(6)导体通电后,发热;(7)三角形的内角和为360°;(8)某电话机在1分钟内收到4次呼叫.解:(1)(6)是必然事件;(3)(7)是不可能事件;(2)(4)(5)(8)是随机事件.目录退出4.某人射击10次,击中靶心8次,则击中靶心的概率为0.8.这种说法对吗?解:这种说法是错误的.首先“击中靶心”这一事件为随机事件,在试验次数仅有10次的情况下,不会呈现明显的规律性.要找到存在的规律性(击中靶心的概率),必须进行次数足够多的重复试验.此外,当试验次数足够多时,可近似地把频率看成该事件的概率,但不能说事件“击中靶心”的概率为0.8,只能说成“击中靶心的概率约为0.8”.目录退出5.某射击运动员在同一条件下进行射击练习,结果如下表:射击次数n102050100200500击中10环的次数m8194493178453击中10环的频率mn(1)计算表中击中10环的各个频率;(2)这名射击运动员射击一次,击中10环的概率约为多少?解:(1)所求频率如下表:射击次数n102050100200500击中10环的次数m8194493178453击中10环的频率mn0.80.950.880.930.890.906(2)这名射击运动员击中10环的概率约为0.90.目录退出目录退出题型一、必然事件、不可能事件、随机事件【例1】指出下列事件是必然事件、不可能事件还是随机事件:(1)某体操运动员将在某次运动会上获得全能冠军;(2)同一门炮向同一目标发射多发炮弹,其中50%的炮弹击中目标;(3)某人给其朋友打电话,却忘记了朋友电话号码的最后一个数字,就随意在键盘上按了一个数字,恰巧是朋友的电话号码;(4)技术充分发达后,不需要任何能量的“永动机”将会出现.⦾思路分析:根据必然事件、不可能事件及随机事件的定义,在一定的条件下可能发生也可能不发生的事件叫做随机事件,可知(1)(2)(3)是随机事件;在一定的条件下不可能发生的事件叫做不可能事件,知(4)是不可能事件.目录退出解:(1)(2)(3)是随机事件;(4)是不可能事件.准确地掌握随机事件、必然事件及不可能事件的概念是解题的关键.目录退出1-1下列事件中是随机事件的个数是()①连续两次抛掷两枚骰子,两次都出现2点;②在地球上,树上掉下的雪梨不抓住就往下掉;③某人买彩票中奖;④已经有一个女儿,那么第二次生男孩;⑤在标准大气压下,水加热到90℃会沸腾.A.1B.2C.3D.4解析:②是必然事件,⑤是不可能事件,①③④是随机事件.答案:C目录退出题型二、频率与概率【例2】某射击运动员进行双向飞碟射击训练,各次训练的成绩记录如下:射击次数100120150100150160150击中飞碟数819512382119127121击中飞碟的频率(1)计算各次记录击中飞碟的频率;(2)这个运动员击中飞碟的概率约为多少?解:(1)射击次数100,击中飞碟数是81,故击中飞碟的频率是81100=0.810,同理可求得题表中的频率依次是0.792,0.820,0.820,0.793,0.794,0.807.(2)击中飞碟的频率稳定在0.810,故这个运动员击中飞碟的概率约为0.810.概率实际上是频率的科学抽象,求某事件的概率可以通过求该事件的频率而得.目录退出2-1某篮球运动员在最近几场大赛中罚球投篮的结果如下:投篮次数n81012101620进球次数m68971215进球频率mn(1)计算表中进球的频率;(2)这位运动员投篮一次,进球的概率是多少?解:(1)把表中数据代入公式fn(A)=𝑚𝑛,依次可求得频率为:0.75,0.8,0.75,0.7,0.75,0.75.(2)这位运动员投篮一次,进球的概率约是0.75.目录退出