2015--2016椭圆的离心率

2012-2013学年第一学期选修1-1圆锥曲线——椭圆离心率的求法2020年2月5日星期三西安市第七十中2012-2013学年第一学期选修1-1圆锥曲线——椭圆离心率的求法2020年2月5日星期三西安市第七十中1．(2011·全国文，4)椭圆x216＋y28＝1的离心率为()A.13B.12C.33D.22[答案]D课前预热2(文)(2010·广东文)若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是()A.45B.35C.25D.153(2011·扬州调研)已知F1、F2是椭圆x2k＋2＋y2k＋1＝1的左、右焦点，弦AB过F1，若△ABF2的周长为8，则椭圆的离心率为________．故选B.1\22012-2013学年第一学期选修1-1圆锥曲线——椭圆离心率的求法2020年2月5日星期三西安市第七十中[例1](2010·广东茂名)已知F1、F2是椭圆的两个焦点，过F1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A、B两点，若△ABF2是等腰直角三角形，则这个椭圆的离心率是()A.32B.22C.2－1D.22012-2013学年第一学期选修1-1圆锥曲线——椭圆离心率的求法2020年2月5日星期三西安市第七十中解析：∵△ABF2是等腰直角三角形，∴|AF1|＝|F1F2|，将x＝－c代入椭圆方程x2a2＋y2b2＝1得A(－c，±b2a)，从而b2a＝2c，即a2－c2＝2ac，整理得e2＋2e－1＝0，解得e＝－1±2，由e∈(0,1)得e＝2－1.答案：C2012-2013学年第一学期选修1-1圆锥曲线——椭圆离心率的求法2020年2月5日星期三西安市第七十中例2.已知P是椭圆上一点,12,FF分别是椭圆的左右焦点，且12PFPF，求离心率的取值范围．解：当点P在椭圆短轴端点时，12FPF最大．45≥2sin2≥2sin2ca≥xF1F2oyP01e又≤212e2012-2013学年第一学期选修1-1圆锥曲线——椭圆离心率的求法2020年2月5日星期三西安市第七十中例2.已知P是椭圆上一点,12,FF分别是椭圆的左右焦点，且12PFPF，求离心率的取值范围．(Ⅱ)设12,PFmPFn，2mna则，2224mnc，222()()2mnmnmn222().ac,mn是方程22222()0xaxac的两个根，所以222(2)8()0aac≥.222ca≥2212ca≥xF1F2oyP构造方程、不等式2012-2013学年第一学期选修1-1圆锥曲线——椭圆离心率的求法2020年2月5日星期三西安市第七十中(Ⅲ)设12,PFmPFn，2mna则2224cmnxF1F2oyP224()amn2222()mnemn2222()mnemn221()212()mnmn≥2.2e≥例3.已知P是椭圆上一点,12,FF分别是椭圆的左右焦点，且12PFPF，求离心率的取值范围．基本不等式22012-2013学年第一学期选修1-1圆锥曲线——椭圆离心率的求法2020年2月5日星期三西安市第七十中(Ⅳ)设00(,)Pxy，xF1F2oyP2.2e≥10|,PFaex|20|.PFaex|22200()()4,aexaexc22220224,aexc222022.caxe0,axa≤≤222220.caae≤≤例2.已知P是椭圆上一点,12,FF分别是椭圆的左右焦点，且12PFPF，求离心率的取值范围．焦半径公式2012-2013学年第一学期选修1-1圆锥曲线——椭圆离心率的求法2020年2月5日星期三西安市第七十中(Ⅴ)设00(,)Pxy，12(,0),(,0).FcFcxF1F2oyP2.2e≥12120PFPFFPFP0000(,)(,)0xcyxcy2242022.acaxc0,axa≤≤2242220acaac≤≤22200xyc2200221xyab又例2.已知P是椭圆上一点,12,FF分别是椭圆的左右焦点，且12PFPF，求离心率的取值范围．向量、方程组、不等式2012-2013学年第一学期选修1-1圆锥曲线——椭圆离心率的求法2020年2月5日星期三西安市第七十中(Ⅵ)设(cos,sin)Pab，12(,0),(,0).FcFcxF1F2oyP2.2e≥12120PFPFFPFP(cos,sin)(cos,sin)0,acbacb2222sinacc22222cossin0acb2222sinacc1≤222ac≤例2.已知P是椭圆上一点,12,FF分别是椭圆的左右焦点，且12PFPF，求离心率的取值范围．向量、三角函数2012-2013学年第一学期选修1-1圆锥曲线——椭圆离心率的求法2020年2月5日星期三西安市第七十中(Ⅶ)设1221,,PFFPFFxF1F2oyP2112||||||sinsinsin90PFPFFF21||||2sinsinPFPFc1sinsinca1sincos12sin()43(0,)(,)24242sin()(,1]422sin()(1,2]42[,1).2ca例2.已知P是椭圆上一点,12,FF分别是椭圆的左右焦点，且12PFPF，求离心率的取值范围．正弦定理、三角函数2012-2013学年第一学期选修1-1圆锥曲线——椭圆离心率的求法2020年2月5日星期三西安市第七十中4．(2011·金华十校)方程为x2a2＋y2b2＝1(ab0)的椭圆的左顶点为A，左、右焦点分别为F1、F2，D是它短轴上的一个端点，若3DF1→＝DA→＋2DF2→，则该椭圆的离心率为()A.12B.13C.14D.15解析设点D(0，b)，则DF1→＝(－c，－b)，DA→＝(－a，－b)，DF2→＝(c，－b)，由3DF1→＝DA→＋2DF2→得－3c＝－a＋2c，即a＝5c，故e＝15.答案D1课堂检测2012-2013学年第一学期选修1-1圆锥曲线——椭圆离心率的求法2020年2月5日星期三西安市第七十中(2)F1、F2是椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab0)的左、右焦点，若椭圆上存在点P，使∠F1PF2＝90°，则椭圆的离心率的取值范围是________．【解析】设P(x0，y0)为椭圆上一点，则x20a2＋y20b2＝1.PF1→＝(－c－x0，－y0)，PF2→＝(c－x0，－y0)若∠F1PF2＝90°，则PF1→·PF2→＝x20＋y20－c2＝0∴x20＋b2(1－x20a2)＝c2，∴x20＝a2(c2－b2)c2∵0≤x20≤a2，∴0≤c2－b2c2≤1∴b2≤c2，∴a2≤2c2，∴22≤e1.22012-2013学年第一学期选修1-1圆锥曲线——椭圆离心率的求法2020年2月5日星期三西安市第七十中解：当点P在椭圆短轴端点时，12FPF最大．45≥2sin2≥2sin2ca≥xF1F2oyP01e又≤212e【1】已知P是椭圆上一点,12,FF分别是椭圆的左右焦点，且12PFPF，则离心率的取值范围是__________．2[,1)232012-2013学年第一学期选修1-1圆锥曲线——椭圆离心率的求法2020年2月5日星期三西安市第七十中xF1F2oyP22225,4936,xyxy295x【2】椭圆22194yx的焦点为12FF,，点P为其上的动点，当12FPF为钝角时，则点P的横坐标的取值范围是____________.3535(,)5542012-2013学年第一学期选修1-1圆锥曲线——椭圆离心率的求法2020年2月5日星期三西安市第七十中45[2,1)252012-2013学年第一学期选修1-1圆锥曲线——椭圆离心率的求法2020年2月5日星期三西安市第七十中【3】（2010全国卷I理科16）已知F是椭圆C的一个焦点，B是短轴的一个端点，线段BF的延长线交C于点D，且2BFFD，则C的离心率为.33BDFxyO(,)2(,)cbxcy2BFFD3,.22bxcy22223()()221,bcab2231,.33cea62012-2013学年第一学期选修1-1圆锥曲线——椭圆离心率的求法2020年2月5日星期三西安市第七十中331.(,).(,)444ABD221.11sincosyx110.cossin3.24又∵0≤α＜2,椭圆方程化为∵椭圆焦点在y轴上,311.(,).(,)224CD【4】已知椭圆x2sinα-y2cosα=1(0≤α＜2π)的焦点在y轴上，则α的取值范围是()72012-2013学年第一学期选修1-1圆锥曲线——椭圆离心率的求法2020年2月5日星期三西安市第七十中【5】(09·江苏)如图，在平面直角坐标系xOy中,A1,A2,B1,B2为椭圆(ab0)的四个顶点,F为其右焦点,直线A1B2与直线B1F相交于点T,线段OT与椭圆的交点M恰为线段OT的中点,则该椭圆的离心率为__________.22221yxab27582012-2013学年第一学期选修1-1圆锥曲线——椭圆离心率的求法2020年2月5日星期三西安市第七十中2012-2013学年第一学期选修1-1圆锥曲线——椭圆离心率的求法2020年2月5日星期三西安市第七十中一、椭圆中的定值问题由于椭圆只研究中心在原点，对称轴为坐标轴的椭圆问题，故动态椭圆过定点问题一般不会出现，故椭圆中的定值问题主要包括以下几个方面：1．与椭圆有关的直线过定点(1)y－y0＝k(x－x0)表示过定点(x0，y0)的直线的方程；(2)(A1x＋B1y＋C1)＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0表示过直线A1x＋B1y＋C1＝0和A2x＋B2y＋C2＝0交点的直线的方程．2．与椭圆有关的圆过定点x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＋λ(A1x＋B1y＋C1)＝0表示的是过直线A1x＋B1y＋C1＝0和圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0交点的圆的方程．3．与椭圆有关的参数的定值问题2012-2013学年第一学期选修1-1圆锥曲线——椭圆离心率的求法2020年2月5日星期三西安市第七十中二、椭圆中的最值问题1．参数的取值范围由直线和椭圆的位置关系或几何特征引起的参数如k，a，b，c，(x，y)的值变化．此类问题主要是根据几何特征建立关于参数的不等式或函数进行求解．2．长度和面积的最值由于直线或椭圆上的点运动，引起的长度或面积的值变化．此类问题主要是建立关于参数(如k或(x，y))的函数，运用函数或基本不等式求最值．2012-2013学年第一学期选修1-1圆锥曲线——椭圆离心率的求法2020年2月5日星期三西安市第七十中例1已知椭圆x24＋y2＝1的左顶点为A，过A作两条互相垂直的弦AM、AN交椭圆于M、N两点．(1)当直线AM的斜率为1时，求点M的坐标；(2)当直线AM的斜率变化时，直线MN是否过x轴上的一个定点？若过定点，请给出证明，并求出该定点，若不过定点，请说明理由．►探究点一与椭圆有关的定值问题2012-2013学年第一学期选修1-1圆锥曲线——椭圆离心率的求法2020年2月5日星期三西安市第七十中【解答】(1)当直线AM的斜率为1时，直线AM的方程为y＝x＋2，代入椭圆方程并化简得：5x2＋16x＋12＝0，解得x1＝－2，x2＝－65，所以M－65，45.(2)设直线AM的斜率为k，则AM：y＝k(x＋2)，则y＝kx＋2，x24＋y2＝1，化简得：(1＋4k2)x2＋16k2x＋16k2－4＝0.因为此方程有一根为－2，所以xM＝2－8k21＋4k