质量几何和面积几何

质量几何和面积几何质点系的质心、形心转动惯量、惯性矩和惯性积惯量主轴、主惯性矩第一节质点系的质量中心矢量式：质点系的质量中心矢量式：分量式：质点系的质心mmzzmmyymmxxmCmCmCddd积分式：重心（在重力场中，用合力矩定理）PPzzPPyyPPxxiCiCiC,,iiPgm()iPP重心（积分式）)d(PPP形心（均质材料，质量密度为常数）积分式：VVzzVVyyVVxxVCVCVCddd平面图形的形心积分式：AAyyAAxxACACdd空间组合体的形心公式：n21nCn2C21C1CAAAxAxAxAxn21nCn2C21C1CAAAyAyAyAyn21nCn2C21C1CAAAzAzAzAz平面组合图形的形心公式：n21nCn2C21C1CAAAxAxAxAxn21nCn2C21C1CAAAyAyAyAy11212211AAyAyAAyAyiiC将此截面分割为两个截面cm)348(21222Ry,RA例1：已知组合截面的尺寸，试求该组合体的形心。,80cm21,yAcm4121,SScm4.6Cy解：取对称轴故xC=0分割法：将物体分割成有规律的几个物体，C例2：图示槽钢横截面，试求此截面形心的位置。A1=30•10=300cm2,x1=15cm；解：取对称轴故yc=0，再分割成有规律的几个物体：A2=20•10=200cm2,x2=5cm；A3=30•10=300cm2,x3=15cm；12.5cm321332211CAAAxAxAxAx例3：用负面积法求上题槽钢横截面形心的位置。解：若将截面分割成二块有规律的矩形物体，A1是正面积，A2是负面积，代入公式结果同前。A1A2A1=30•40=1200cm2,x1=15cmA2=-20•20=-400cm2,x2=20cm；12.5cm212211CAAxAxAx负面积法例4：图示均质扇形薄板，试求形心的位置。解：取对称轴故yc=0rcos32xxyC,dAAxxAC,d21dαrθrAA22ααα-α-,sin32)d21(cos32122αrθrrr-当：=/2，则:xc=(4r/3)积分法rcos32x,rSrA2d21d21drxydSdAAxxACd图示为任意板块物体，试用试验法求板块重心的位置。`PA`PCB1）先在物体A点悬挂作垂直线；2）再在物体B点悬挂作垂直线；3）二根垂直线交点C是重心的位置。悬挂法确定重心的实验法：1、悬挂法160)(FmB01-CxPlP称PlPxC1称2、称重法第二节刚体的转动惯量定义：第二节刚体的转动惯量1、刚体对轴的转动惯量定义：刚体内每一质点的质量与其至轴x的距离二次方的乘积的总和也可写成：m为刚体的总质量，称为刚体对轴x的回转半径。回转半径是将整个刚体的质量等效地集中在离轴x的的点上。定义：刚体内每一质点的质量与其至轴O的距离二次方的乘积的总和2、刚体对点的转动惯量刚体正交三轴的转动惯量分别为：3、刚体对点的转动惯量与对轴转动惯量的关系因为刚体对点的转动惯量与对轴转动惯量的关系则有：对于不计厚度的平面刚体，若选刚体平面为Oxy平面，显然则有设在质心C上建立与Oxyz平行的坐标系，质心C在Oxyz中的坐标为则任一质点的x，y坐标为：4、转动惯量的平行移轴定理刚体对任意轴的转动惯量等于其对过质心的平行轴的转动惯量加上刚体的质量与两轴间距离平方的乘积。由此可见，物体对通过自身质心轴的转动惯量为最小。转动惯量的平行移轴定理：则其中若刚体为平面刚片且是均质的（物体的密度为常量），则刚体的转动惯量只与物体的形状有关，抽去物体的密度常数，即5、转动惯量与惯性矩的关系其中（为物体的密度）（惯性矩）定义：1）量纲：m4或mm4。yzdAzyo2）惯性矩是对轴而言（轴惯性矩）。3）惯性矩的取值恒为正值。4）极惯性矩：（对o点而言）AOAId2pI)(222yz（图形对z轴的惯性矩）（图形对y轴的惯性矩）6、惯性矩（面积的二次矩）惯性矩与极惯性矩的关系：图形对任一对相互垂直的坐标系的惯性矩之和恒等于此图形对该两轴交点的极惯性矩。ApAId2AAzyd)(22AAdAzAy22dyzIIyzdAzyobhzccyc矩形平面惯性矩的计算：32222121bhbdyydAyIhhAz-32222121hbhdAzdAzIbbAy-bdyhdz3121bhIz3121hbIy圆形平面惯性矩的计算：实心圆（直径D）——空心圆（外径D，内径d）——4641DIIyz)(64144dDIIyz-zcycczyoyczcczcycdAyzab惯性矩的平行移轴公式：例：试求图示直径为d的半圆对其自身形心轴xc的惯性矩。解：1、求形心坐标222)(yRyb-12d2d)(d3222020dyyRyyybyAySddAx-π328π1223dddASyxcxyb(y)ycCdxc2、求对形心轴xc的惯性矩128π264π44ddIxπ18128π8π)(4422dddyIIcxxc--由平行移轴公式得：xyb(y)ycCdxcπ328π1223dddASyxc例：试求图示直径为d的半圆对其自身形心轴的惯性矩。例：试求图a所示截面对于对称轴x的惯性矩。解：将截面看作一个矩形和两个半圆组成。1、矩形对x轴的惯性矩：44331mm1053331220080122adIx2、一个半圆对其自身形心轴xc轴的惯性矩（见上例）π18128π8π)(4422dddyIIcxxc--xyC(a)d=8040100a=10040a+2d33、一个半圆对x的惯性矩由平行移轴公式得：44222222mm103467π322324π8ππ32adaddddaIIcxx4、整个截面对于对称轴x的惯性矩：444421mm101227010346721053332xxxIIIxyC(a)d=8040100a=10040a+2d3例：试求图a所示截面对于对称轴x的惯性矩。第三节刚体对任意轴的转动惯量在刚体内任选一点O为原点作固连于刚体的坐标系Oxyz，过点O作任一直线OL，它与坐标轴x，y，z的夹角为。则根据转动惯量的定义式，刚体对轴OL的转动惯量为：1、刚体对任意轴OL的转动惯量刚体对任意轴OL的转动惯量上式中Jxy、Jyz、Jzx分别称为刚体对于轴x和y、对轴y和z、对轴z和x的离心转动惯量。抽去物体的密度常数，即为物体形状的惯性积。2、离心转动惯量（惯性积）：3、主转动惯量（主惯性矩）：如果适当选取坐标轴Oxyz的方位，使上式中的Jxy=0、Jyz=0、Jzx=0，则称坐标轴x、y、z是对于其原点的惯量主轴。于是此时Jx、Jy、Jz分别称为刚体对于轴x、对轴y、对轴z的主转动惯量。4、惯性积的平行移轴定理：设：惯性积的平行移轴定理：则有：