【优化方案】2012高考数学总复习 第3章§3.1任意角与弧度制、任意角的三角函数精品课件 理 北师

§3.1任意角与弧度制、任意角的三角函数考点探究•挑战高考考向瞭望•把脉高考§3.1任意角与弧度制、任意角的三角函数双基研习•面对高考双基研习•面对高考基础梳理1．角的概念(1)角的分类角按旋转方向不同可分为_______、______、______．(2)终边相同的角所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合__________________________．正角负角零角{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}2．象限角及终边落在坐标轴上的角终边位置集合表示第一象限第二象限______________________________________________第三象限第四象限_______________________________________________{α|2kπα2kπ＋π2，k∈Z}{α|2kπ＋π2α2kπ＋π，k∈Z}{α|2kπ＋πα2kπ＋3π2，k∈Z}{α|2kπ＋3π2α2kπ＋2π，k∈Z}终边位置集合表示x轴正半轴{α|α＝2kπ，k∈Z}负半轴_________________y轴正半轴负半轴________________________________________坐标轴{α|α＝kπ2，k∈Z}{α|α＝2kπ－π2，k∈Z}{α|α＝2kπ＋π2，k∈Z}{α|α＝2kπ＋π，k∈Z}思考感悟1．如何表示终边在x轴上、y轴上的角的集合？提示：终边在x轴上的角的集合为{α|α＝kπ，k∈Z}；终边在y轴上的角的集合为{α|α＝kπ＋π2，k∈Z}．3．角度制与弧度制的互化360°＝____，180°＝___，1°＝_____rad，1rad＝()°≈57.3°＝57°18′.4．弧长及扇形面积公式弧长公式：l＝|α|·r，扇形面积公式：S＝_____________，其中l为扇形弧长，α为圆心角的弧度数，r为扇形半径．2πππ180π18012lr＝12|α|·r25．任意角的三角函数三角函数正弦函数余弦函数正切函数定义在直角坐标系中，给定单位圆，对于任意角α，使角α的顶点与原点重合，始边与x轴正半轴重合，终边与单位圆交于点P(x，y)____叫作α的正弦函数，记作sinα_____叫作α的余弦函数，记作cosα______叫作α的正切函数，记作tanα(α≠＋kπ，k∈Z)yrxryxπ2三角函数正弦函数余弦函数正切函数各象限符号Ⅰ＋＋＋Ⅱ＋－－Ⅲ－－＋Ⅳ－＋－口诀一全正，二正弦，三正切，四余弦都为正值终边相同角的三角函数值(k∈Z)sin(α＋2kπ)＝_____cos(α＋k·2π)＝cosαtan(α＋2kπ)＝_____sinαtanα思考感悟2．根据三角函数的定义，三角函数在各象限的符号与此象限点的坐标的符号有怎样的关系？提示：根据三角函数的定义，y＝sinx在各象限的符号与此象限点的纵坐标符号相同，y＝cosx在各象限的符号与此象限点的横坐标符号相同，y＝tanx在各象限的符号与此象限点的纵坐标与横坐标商的符号相同．6．三角函数线图中有向线段MP、OM、AT分别表示_______、________、_______．正弦线余弦线正切线1．(2011年蚌埠质检)若α＝k·180°＋45°(k∈Z)，则α是()A．第一或第三象限角B．第一或第二象限角C．第二或第四象限角D．第三或第四象限角答案：A课前热身答案：D2．cos390°等于()A．－12B.12C．－32D.323．若sinα0且tanα0，则α是()A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角答案：C4．(教材习题改编)若角α的终边经过点P(－3，m)，且sinα＝34m(m≠0)，则cosα＝__________.答案：－34答案：第二象限5．已知sinα＝45，cosα＝35，则角2α所在的象限是________________________________________________________________________。考点探究•挑战高考考点突破角的集合表示1．相等的角终边一定相同，但终边相同的角却不一定相等，终边相同的角有无数个，它们之间相差360°的整数倍．2．角的集合的表示形式不是唯一的，如：终边在y轴的负半轴上的角的集合可以表示为{x|x＝2kπ－π2，k∈Z}，也可以表示为{x|x＝2kπ＋3π2，k∈Z}．3.α2角所在象限α第一象限角第二象限角第三象限角第四象限角第一或第三象限角第一或第三象限角第二或第四象限角第二或第四象限角α2(2011年亳州质检)如图所示，点A在半径为1且圆心在原点的圆上，且∠AOx＝45°.点P从点A出发，依逆时针方向等速地沿单位圆周旋转．已知P在1秒钟内转过的角度为θ(0°θ180°)，经过2秒钟到达第三象限，经过14秒钟后又回到出发点A，求θ.例1【思路点拨】先把实际语言转化为数学语言，即14秒钟后P在角14θ＋45°的终边上，由此可得到等量关系，再注意到θ角的范围便可确定θ的值．【解】由题意，有14θ＋45°＝k·360°＋45°(k∈Z)，∴θ＝k·180°7(k∈Z)．又180°2θ＋45°270°，即67.5°θ112.5°.∴67.5°k·180°7112.5°，且k∈Z，∴k＝3或k＝4.故所求的θ值为θ＝540°7或θ＝720°7.【名师点评】解答这类问题，关键在于抓住终边相同的角的一般表示，即与角α终边相同的角的一般形式为β＝α＋k·360°(k∈Z)．另外，对于角的概念，还要注意区分几个易混淆的概念：(1)正角、负角是以射线绕端点的旋转方向定义的，零角是射线没有做任何旋转；其顶点都在原点，始边为x轴的正半轴，所不同的是终边的旋转方向不同．一个角是第几象限角，关键是看这个角的终边落在第几象限；(2)“小于90°的角”“锐角”“第一象限角”的根本区别在于其范围的不同，它们的范围分别是：“α90°”“0°α90°”“k·360°αk·360°＋90°(k∈Z)”．任意角三角函数的定义是锐角三角函数定义的推广，利用任意角三角函数的定义可以解决与30°，45°，60°等特殊角相关的三角函数求值问题，如计算sin150°，cos135°，tan120°等．已知角α终边上一点的坐标，也可计算角α的三角函数值等．三角函数的定义【思路点拨】先根据三角函数的定义求出x的值，再求sinα，tanα的值．已知角α的终边经过点P(x，－2)(x≠0)，且cosα＝36x，求sinα，tanα的值．例2【解】∵P(x，－2)(x≠0)，∴P到原点距离r＝x2＋2.又cosα＝36x，∴cosα＝xx2＋2＝36x.∵x≠0，∴x＝±10，∴r＝23.当x＝10时，P点坐标为(10，－2)，由三角函数定义，有sinα＝－66，tanα＝－55，当x＝－10时，P点坐标为(－10，－2)，∴sinα＝－66，tanα＝55.【名师点评】(1)在利用三角函数的定义求角α的三角函数值时，若角α的终边上点的坐标是以参数的形式给出的，则要根据问题的实际及解题的需要对参数进行分类讨论．(2)任意角的三角函数值仅与角α的终边位置有关，而与角α终边上点P的位置无关．若角α已经给出，则无论点P选择在α终边上的什么位置(原点除外)，角α的三角函数值都是确定的．互动探究1将例2中cosα＝36x换为sinα＝36x，其他条件不变，求cosα、tanα的值．解：P到原点的距离r＝x2＋2，又sinα＝36x，∴－2x2＋2＝36x，解得x2＝4，又36x0，∴x＝－2，则cosα＝－2－22＋2＝－63，tanα＝22.1．熟记各个三角函数在每个象限内的符号是关键．2．判断三角函数值的符号就是要判断角所在的象限．3．对于已知三角函数式的符号判断角所在象限，可先根据三角函数式的符号确定三角函数值的符号，再判断角所在象限．三角函数值符号的判定(1)已知sinθ2＝35，cosθ2＝－45，则θ角所在象限为__________；(2)如果点P(sinθ·cosθ，2cosθ)位于第三象限，试判断角θ所在的象限；(3)若θ是第二象限角，则sincosθcossin2θ的符号是什么？例3【思路点拨】(1)由sinθ2，cosθ2的值确定θ2所在的象限，进而求出θ所在象限．(2)由点P所在的象限，知道sinθ·cosθ，2cosθ的符号，从而可求sinθ与cosθ的符号．(3)由θ是第二象限角，可求cosθ，sin2θ的范围，进而把cosθ，sin2θ看作一个用弧度制的形式表示的角，并判断其所在的象限，从而sin(cosθ)，cos(sin2θ)的符号可定．【解】(1)由条件知θ2是第二象限角，又由sinθ2＝3522＝sin3π4，知2kπ＋3π4θ22kπ＋π，k∈Z，所以4kπ＋3π2θ4kπ＋2π，k∈Z，故角θ在第四象限．(2)∵点P(sinθ·cosθ，2cosθ)位于第三象限，∴sinθ·cosθ0且cosθ0，∴sinθ0，cosθ0.由sinθ0得θ位于第一、二象限或y轴正半轴上，由cosθ0得θ位于第二、三象限或x轴负半轴上．∴θ为第二象限角．(3)∵2kπ＋π2θ2kπ＋π(k∈Z)，∴－1cosθ0，4kπ＋π2θ4kπ＋2π(k∈Z)，－1≤sin2θ0.∴sin(cosθ)0，cos(sin2θ)0，∴sincosθcossin2θ0，即sincosθcossin2θ的符号是负号．【误区警示】在第(1)问中，易忽视sinθ2＝3522而得出θ是第三、四象限角；第(2)问中，当sinθ0，cosθ0时，易漏写θ位于y轴正半轴上和x轴负半轴上；第(3)问中，易出现找不到解题方向，而无法解答，实质上－π2－1cosθ0，－π2－1≤sin2θ0,这里应把cosθ，sin2θ看作角．这类问题主要是利用周长和面积公式，找出扇形半径、圆心角、周长和面积的联系，建立函数关系式．已知一扇形的圆心角是α，半径为R，弧长为l.(1)若α＝60°，R＝10cm，求扇形的弧长l；(2)若扇形周长为20cm，当圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大？弧度制的应用例4【思路点拨】利用弧度制下扇形弧长及面积公式．【解】(1)∵α＝60°＝π3，∴l＝α·R＝π3×10cm＝10π3cm.(2)由题意得：l＋2R＝20cm，则l＝20－2R(0R10)．所以S扇＝12l·R＝12(20－2R)·R＝(10－R)·R＝－R2＋10R，当且仅当R＝5cm时，S有最大值25cm2.此时l＝20－2×5＝10cm，α＝lR＝2rad.即当α＝2rad时，扇形面积最大．【名师点评】解决此类问题时，用弧度制下的扇形弧长、面积公式比较简单，但一定要注意将角度化为弧度．第(2)问中的最值问题一般是转化为函数最值问题或是利用均值不等式求解．变式训练2已知一扇形的圆心角是α，所在圆的半径是R.(1)若α＝60°，R＝10cm，求扇形的弧长及该弧所在的弓形面积；(2)若扇形的周长是一定值c(c0)，当α为多少弧度时，该扇形有最大面积？解：(1)设弧长为l，弓形面积为S弓，∵α＝60°＝π3，R＝10，∴l＝103π(cm)，S弓＝S扇－S△＝12×103π×10－12×102×sinπ3＝50(π3－32)(cm2)(2)法一：∵扇形周长c＝2R＋l＝2R＋αR，∴R＝c2＋α，∴S扇＝12α·R2＝12α(c2＋α)2＝c22α·14＋4α＋α2＝c22·14＋α＋4α≤c216，∴当且仅当α＝4α，即α＝2(α＝－2舍去)时，扇形面积有最大值c216.法二：由已知2R＋l＝c，∴R＝c－l2(lc)，∴S＝12Rl＝12·c－l2·l＝14(cl－l2)＝－14(l－c2)2＋c216，∴当l＝c2时，Smax＝c216，此时α＝lR＝c2c－c22＝2.∴当扇形圆心角为2弧度时，扇形面积有最大值c216方法技巧1．在利用三角函