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2．3离散型随机变量的均值与方差2．3.1离散型随机变量的均值第二章随机变量及其分布学习导航新知初探思维启动1．离散型随机变量的均值(1)定义:一般地,若离散型随机变量X的分布列为:则称E(X)＝______________________________为随机变量X的均值或数学期望．(2)意义:它反映了离散型随机变量取值的__________．(3)性质:如果X为(离散型)随机变量,则Y＝aX＋b(其中a,b为常数)也是随机变量,且P(Y＝axi＋b)＝P(X＝xi),i＝1,2,3,…,n,E(Y)＝____________＝______________.Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pnx1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn平均水平E(aX＋b)aE(X)＋b想一想均值E(X)是一个常数还是一个变量？提示:常数．做一做1.已知X的分布列为则X的均值为__________．X－1012P14381418解析:E(X)＝－1×14＋0×38＋1×14＋2×18＝14.答案:142．两点分布与二项分布的均值做一做2.一名射手每次射击中靶的概率均为0.8,则他独立射击3次中靶次数X的均值为__________．解析:∵X～B(3,0.8),∴E(X)＝3×0.8＝2.4.答案:2.4XX～B(n,p)X服从两点分布E(X)npp(p为成功概率)典题例证技法归纳例1题型探究题型一离散型随机变量均值的性质已知随机变量X的分布列为:(1)求E(X);(2)若Y＝2X－3,求E(Y)．X－2－1012P141315m120【解】(1)由随机变量分布列的性质,得14＋13＋15＋m＋120＝1,解得m＝16,∴E(X)＝(－2)×14＋(－1)×13＋0×15＋1×16＋2×120＝－1730.(2)法一:由公式E(aX＋b)＝aE(X)＋b,得E(Y)＝E(2X－3)＝2E(X)－3＝2×(－1730)－3＝－6215.法二:由于Y＝2X－3,所以Y的分布列如下:Y－7－5－3－11P14131516120∴E(Y)＝(－7)×14＋(－5)×13＋(－3)×15＋(－1)×16＋1×120＝－6215.【名师点评】(1)该类题目属于已知离散型分布列求期望,求解方法是直接套用公式,E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn求解．(2)对于aX＋b型的随机变量,可利用均值的性质求解,即E(aX＋b)＝aE(X)＋b;也可以先列出aX＋b的分布列,再用均值公式求解,比较两种方式显然前者较方便．互动探究1．本题条件不变,若ξ＝aX＋3,且E(ξ)＝－112,求a的值．解:E(ξ)＝E(aX＋3)＝aE(X)＋3＝－1730a＋3＝－112,∴a＝15.例2某校在全校学生中开展物理和化学实验操作大比拼活动,活动要求:参加者物理、化学实验操作都必须参加,有50名学生参加这次活动,评委老师对这50名学生实验操作进行评分,每项操作评分均按等级采用5分制(只打整数分),评分结果统计如下表:题型二求离散型随机变量的均值(1)若随机抽取1名参加活动的学生,求“化学实验得分为4分且物理实验得分为3分”的学生被抽取的概率;(2)从这50名参赛学生中任取1名,其物理实验与化学实验得分之和为ξ,求ξ的数学期望．【解】(1)从表中可以看出,“化学实验得分为4分且物理实验得分为3分”的学生有6名,所以“化学实验得分为4分且物理实验得分为3分”的学生被抽取的概率为650＝325.(2)ξ所有可能的取值为2、3、4、5、6、7、8、9、10,则ξ的分布列为:∴E(ξ)＝2×150＋3×450＋4×350＋5×950＋6×850＋7×1650＋8×450＋9×250＋10×350＝31150.ξ2345678910P1504503509508501650450250350【名师点评】求离散型随机变量X的均值的步骤:(1)理解X的意义,写出X可能取的全部值;(2)求X取每个值的概率;(3)写出X的分布列(有时可以省略);(4)利用定义公式E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn求出均值．跟踪训练2．甲、乙两人都独立地破译某个密码,甲破译出该密码的概率是23,乙破译出该密码的概率是45,设破译出该密码的人数为X,求其数学期望．解:设A、B分别为甲、乙破译出该密码的事件,X可能的取值是0,1,2.P(X＝0)＝P(A－·B－)＝P(A－)×P(B－)＝(1－23)×(1－45)＝115;P(X＝1)＝P(A·B－)＋P(A－·B)＝(1－45)×23＋(1－23)×45＝25;P(X＝2)＝P(A)×P(B)＝23×45＝815.∴X的分布列为:X012p11525815因此E(X)＝0×115＋1×25＋2×815＝2215.例3题型三二项分布的均值甲、乙两人各进行3次射击,甲每次击中目标的概率为12,乙每次击中目标的概率为23,记甲击中目标的次数为X,乙击中目标的次数为Y,(1)求X的概率分布列;(2)求X和Y的数学期望．【解】(1)P(X＝0)＝C03(12)3＝18;P(X＝1)＝C13(12)3＝38;P(X＝2)＝C23(12)3＝38;P(X＝3)＝C33(12)3＝18.所以X的概率分布列如下表:X0123P18383818(2)由(1)知E(X)＝0×18＋1×38＋2×38＋3×18＝1.5,或由题意X～B(3,12),Y～B(3,23),∴E(X)＝3×12＝1.5,E(Y)＝3×23＝2.【名师点评】(1)如果随机变量X服从两点分布,则其期望值E(X)＝p(p为成功概率)．(2)如果随机变量X服从二项分布即X～B(n,p),则E(X)＝np,以上两特例可以作为常用结论,直接代入求解,从而避免了繁杂的计算过程．跟踪训练3．某电视台开展有奖答题活动,每次要求答30个选择题,每个选择题有4个选项,其中有且只有一个正确答案,每一题选对得5分,选错或不选得0分,满分150分,规定满100分拿三等奖,满120分拿二等奖,满140分拿一等奖,有一选手选对任意一题的概率是0.8,则该选手有望能拿到几等奖？解:选对题的个数X～B(30,0.8),故E(X)＝30×0.8＝24,由于24×5＝120(分),所以该选手有望能拿到二等奖．例4题型四均值问题的实际应用【解】(1)设5发子弹命中ξ(ξ＝0,1,2,3,4,5)发,ξ～B(5,0.5),则由题意有P(ξ＝5)＝C550.55＝132.某游戏射击场规定:①每次游戏射击5发子弹;②5发全部命中奖励40元;命中4发不奖励,也不必付款;命中3发或3发以下,应付款2元．现有一游客,其命中率为0.5.(1)求该游客在一次游戏中5发全部命中的概率;(2)求该游客在一次游戏中获得资金的均值．(2)由题意知P(ξ＝0)＝C050.55＝132,P(ξ＝1)＝C150.55＝532,P(ξ＝2)＝C250.55＝1032,P(ξ＝3)＝C350.55＝1032,P(ξ＝4)＝C450.55＝532,P(ξ＝5)＝C550.55＝132.ξ的分布列为ξ012345P13253210321032532132设游客在一次游戏中获得奖金为X元,于是X的分布列为X－2040P2632532132故该游客在一次游戏中获得奖金的均值为E(X)＝(－2)×2632＋0×532＋40×132＝－0.375(元)．【名师点评】解答此类题目时,首先应把实际问题概率模型化,然后利用有关概率的知识去分析相应各事件可能性的大小,并列出分布列,最后利用公式求出相应的数学期望．跟踪训练4．随机抽取某厂的某种产品200件,经质检,其中有一等品126件、二等品50件、三等品20件、次品4件．已知生产1件一、二、三等品获得的利润分别为6万元、2万元、1万元,而生产1件次品亏损2万元．设1件产品的利润为ξ(单位:万元)．(1)求ξ的分布列;(2)求1件产品的平均利润(即ξ的数学期望)．解:(1)ξ的所有可能取值有6,2,1,－2,则P(ξ＝6)＝126200＝0.63,P(ξ＝1)＝50200＝0.25,P(ξ＝1)＝20200＝0.1,P(ξ＝－2)＝4200＝0.02.故ξ的分布列为:ξ621－2P0.630.250.10.02(2)E(ξ)＝6×0.63＋2×0.25＋1×0.1＋(－2)×0.02＝4.34.即1件产品的平均利润为4.34万元．1．随机变量的均值与样本的平均值的关系2.离散型随机变量的分布列和均值虽然都是从整体上和全局上刻画随机变量的,但两者大不相同,分布列只给出了随机变量取所有可能值的概率,而均值却反映了随机变量取值的平均水平．方法感悟随机变量的均值样本的平均值区别是一常数,不依赖于样本的抽取是一随机变量,随样本抽取的不同而变化联系随样本容量的增加,样本的平均值越来越接近于总体的均值精彩推荐典例展示求离散型随机变量的均值(本题满分12分)(2013·高考江西卷)小波以游戏方式决定是参加学校合唱团还是参加学校排球队．游戏规则为:以O为起点,再从A1,A2,A3,A4,A5,A6,A7,A8(如图)这8个点中任取两点分别为终点得到两个向量,记这两个向量的数量积为X.若X＝0就参加学校合唱团,否则就参加学校排球队．规范解答例3(1)求小波参加学校合唱团的概率;(2)求X的分布列和数学期望．【解】(1)从8个点中任取两点为向量终点的不同取法共有C28＝28种,当X＝0时,两向量夹角为直角共有8种情形,所以小波参加学校合唱团的概率为P(X＝0)＝828＝27.4分(2)两向量数量积X的所以可能取值为－2,－1,0,1X＝－2时,有2种情形;X＝1时,有8种情形;X＝－1时,有10种情形.8分所以X的分布列为:X－2－101P114514272710分E(X)＝(－2)×114＋(－1)×514＋0×27＋1×27＝－31412分抓关键促规范正确求出28种两向量的数量积,是正确求解的先决条件．确定随机变量X的值为－2,－1,0,1是解题的关键．利用公式求E(X)时易出现计算错误．跟踪训练5．运动员射击一次所得环数X的分布列如下:现进行两次射击,以该运动员两次射击中最高环数作为他的成绩,记为ξ.(1)求ξ的分布列;(2)求ξ的均值．X0～678910P00.20.30.30.2解:(1)ξ的可能取值为7、8、9、10,P(ξ＝7)＝0.04,P(ξ＝8)＝2×0.2×0.3＋0.32＝0.21,P(ξ＝9)＝2×0.2×0.3＋2×0.3×0.3＋0.32＝0.39,P(ξ＝10)＝2×0.2×0.2＋2×0.3×0.2＋2×0.3×0.2＋0.22＝0.36,ξ的分布列为(2)ξ的均值为E(ξ)＝7×0.04＋8×0.21＋9×0.39＋10×0.36＝9.07.ξ78910P0.040.210.390.36