概率论与数理统计教程(茆诗松)第1章

第一章随机事件与概率华东师范大学5February2020第1页•直观定义——事件A出现的可能性大小.•统计定义——事件A在大量重复试验下出现的频率的稳定值称为该事件的概率.•古典定义；几何定义.§1.2概率的定义及其确定方法第一章随机事件与概率华东师范大学5February2020第2页•非负性公理：P(A)0;•正则性公理：P(Ω)=1;•可列可加性公理：若A1,A2,……,An……互不相容，则1.2.1概率的公理化定义11()iiiiPAPA第一章随机事件与概率华东师范大学5February2020第3页随机试验可大量重复进行.1.2.3确定概率的频率方法()()nnAfAn进行n次重复试验，记n(A)为事件A的频数，称为事件A的频率.频率fn(A)会稳定于某一常数(稳定值).用频率的稳定值作为该事件的概率.第一章随机事件与概率华东师范大学5February2020第4页古典方法设为样本空间，若①只含有限个样本点;②每个样本点出现的可能性相等，则事件A的概率为:P(A)=A中样本点的个数/样本点总数1.2.4确定概率的古典方法第一章随机事件与概率华东师范大学5February2020第5页1.2.5确定概率的几何方法若①样本空间充满某个区域，其度量(长度、面积、体积)为S；②落在中的任一子区域A的概率，只与子区域的度量SA有关，而与子区域的位置无关(等可能的).则事件A的概率为:P(A)=SA/S第一章随机事件与概率华东师范大学5February2020第6页几何方法的例子例1.2.3蒲丰投针问题平面上画有间隔为d的等距平行线，向平面任意投掷一枚长为l的针，求针与平行线相交的概率.第一章随机事件与概率华东师范大学5February2020第7页蒲丰投针问题(续1)解：以x表示针的中点与最近一条平行线的距离，又以表示针与此直线间的交角.易知样本空间满足：0xd/2;0.形成x-平面上的一个矩形，其面积为：S=d(/2).第一章随机事件与概率华东师范大学5February2020第8页蒲丰投针问题(续2)A=“针与平行线相交”的充要条件是:xl/2sin.针是任意投掷的，所以这个问题可用几何方法求解得0sin22()(/2)AldSlPASdd第一章随机事件与概率华东师范大学5February2020第9页性质1.3.1P(φ)=0.注意:逆不一定成立.§1.3概率的性质第一章随机事件与概率华东师范大学5February2020第10页性质1.3.2(有限可加性)若AB=φ，则P(AB)=P(A)+P(B).可推广到n个互不相容事件.性质1.3.3(对立事件公式)P()=1P(A).1.3.1概率的可加性A第一章随机事件与概率华东师范大学5February2020第11页购买：从01，……，35中选7个号码.开奖：7个基本号码，1个特殊号码.彩票问题——幸运35选7第一章随机事件与概率华东师范大学5February2020第12页中奖规则1)7个基本号码2)6个基本号码+1个特殊号码3)6个基本号码4)5个基本号码+1个特殊号码5)5个基本号码6)4个基本号码+1个特殊号码7)4个基本号码，或3个基本号码+1个特殊号码第一章随机事件与概率华东师范大学5February2020第13页中奖概率中所含样本点个数：735C1270061077127127773535,ppCCCCCCCC将35个号分成三类：7个基本号码、1个特殊号码、27个无用号码记pi为中i等奖的概率。利用抽样模型得：第一章随机事件与概率华东师范大学5February2020第14页中奖概率如下：12317189,,672452067245206724520ppp456567737112285,,672452067245206724520ppp72047506724520,p64993500.966515.6724520不中奖的概率为：p0=1p1p2p3p4p5p6p7第一章随机事件与概率华东师范大学5February2020第15页求n个人（n小于等于365）中至少有两人生日相同的概率.看成n个球放入N=365个盒子中.P(至少两人生日相同)=1P(生日全不相同)用盒子模型得：pn=P(至少两人生日相同)=生日问题365!1365(365)!nnp20=0.4058,p30=0.6963,p50=0.9651,p60=0.9922第一章随机事件与概率华东师范大学5February2020第16页定义1.4.1对于事件A、B，若P(B)0，则称P(A|B)=P(AB)/P(B)为在B出现的条件下，A出现的条件概率.1.4.1条件概率的定义第一章随机事件与概率华东师范大学5February2020第17页1)缩减样本空间：将缩减为B=B.2)用定义：P(A|B)=P(AB)/P(B).条件概率P(A|B)的计算第一章随机事件与概率华东师范大学5February2020第18页10个产品中有7个正品、3个次品，从中不放回地抽取两个，已知第一个取到次品，求第二个又取到次品的概率.P(B|A)=P(AB)/P(A)=(1/15)/(3/10)=2/9解：设A={第一个取到次品}，B={第二个取到次品}，例1.4.1第一章随机事件与概率华东师范大学5February2020第19页乘法公式;全概率公式；贝叶斯公式.条件概率的三大公式第一章随机事件与概率华东师范大学5February2020第20页性质1.4.2(1)若P(B)0，则P(AB)=P(B)P(A|B)；若P(A)0，则P(AB)=P(A)P(B|A).(2)若P(A1A2······An1)0，则P(A1A2······An)=P(A1)P(A2|A1)······P(An|A1A2······An1)1.4.2乘法公式第一章随机事件与概率华东师范大学5February2020第21页性质1.4.3若事件B1,B2,······,Bn是样本空间的一组分割，且P(Bi)0，则1.4.3全概率公式11()()(|)()nniiiiiPABPBPABPA第一章随机事件与概率华东师范大学5February2020第22页全概率公式用于求复杂事件的概率.使用全概率公式关键在于寻找另一组事件来“分割”样本空间.全概率公式最简单的形式：注意点(1)()()(|)()(|)PAPBPABPBPAB第一章随机事件与概率华东师范大学5February2020第23页设10件产品中有3件不合格品，从中不放回地取两次，每次一件，求取出的第二件为不合格品的概率。解：设A=“第一次取得不合格品”，B=“第二次取得不合格品”.由全概率公式得：()()(|)()(|)PBPAPBAPAPBA=(3/10)×(2/9)+(7/10)×(3/9)=3/10例1.4.2第一章随机事件与概率华东师范大学5February2020第24页乘法公式是求“几个事件同时发生”的概率；全概率公式是求“最后结果”的概率；贝叶斯公式是已知“最后结果”，求“原因”的概率.1.4.4贝叶斯公式第一章随机事件与概率华东师范大学5February2020第25页某人从甲地到乙地，乘飞机、火车、汽车迟到的概率分别为0.1、0.2、0.3，他等可能地选择这三种交通工具。若已知他最后迟到了，求他分别是乘飞机、火车、汽车的概率.（1/6，2/6，3/6）已知“结果”，求“原因”第一章随机事件与概率华东师范大学5February2020第26页若事件B1,B2,······,Bn是样本空间的一组分割，且P(A)0,P(Bi)0，则1()()(|)(|)()()()(|)1,2,...,()(|)iiiiiinjjjPABPBPABPBAPAPAPBPABinPBPAB贝叶斯（Bayes）公式第一章随机事件与概率华东师范大学5February2020第27页1)B1,B2,...,Bn可以看作是导致A发生的原因;2)P(Bj|A)是在事件A发生的条件下,某个原因Bj发生的概率,称为“后验概率”;3)Bayes公式又称为“后验概率公式”或“逆概公式”;4)称P(Bj)为“先验概率”.注意点第一章随机事件与概率华东师范大学5February2020第28页事件的独立性直观说法：对于两事件，若其中任何一个事件的发生不影响另一个事件的发生，则这两事件是独立的.P(A|B)=P(A)P(AB)/P(B)=P(A)P(AB)=P(A)P(B)§1.5独立性第一章随机事件与概率华东师范大学5February2020第29页•定义1.5.1若事件A与B满足：P(AB)=P(A)P(B),则称A与B相互独立，简称A与B独立.•结论A、B为两个事件，若P(A)0,则A与B独立等价于P(B|A)=P(B).•性质1.5.1若事件A与B独立，则A与独立、与B独立、与独立.1.5.1两个事件的独立性BABA第一章随机事件与概率华东师范大学5February2020第30页1.5.2多个事件的相互独立性对于A、B、C三个事件，称满足：P(AB)=P(A)P(B),P(AC)=P(A)P(C),P(BC)=P(B)P(C)为A、B、C两两独立.称满足：P(ABC)=P(A)P(B)P(C)为A、B、C三三独立.定义1.5.3若事件A1,A2,……,An满足：两两独立、三三独立、……、nn独立则称A1,A2,……,An相互独立.第一章随机事件与概率华东师范大学5February2020第31页若A、B、C相互独立，则AB与C独立,AB与C独立,AB与C独立.一些结论第一章随机事件与概率华东师范大学5February2020第32页例1.5.1两射手独立地向同一目标射击一次，其命中率分别为0.9和0.8，求目标被击中的概率.解:设A=“甲中”,B=“乙中”,C=“目标被击中”,所以解法i)P(C)=P(AB)=P(A)+P(B)P(A)P(B)=0.9+0.80.90.8=0.98.解法ii)用对立事件公式P(C)=P(AB)=1(10.9)(10.8)=10.02=0.98.第一章随机事件与概率华东师范大学5February2020第33页伯努里试验：若某种试验只有两个结果(成功、失败；黑球、白球；正面、反面)，则称这个试验为伯努里试验.在伯努里试验中，一般记“成功”的概率为p.n重伯努里试验：n次独立重复的伯努里试验.n重伯努里试验第一章随机事件与概率华东师范大学5February2020第34页在n重伯努里试验中，记成功的次数为X.X的可能取值为：0，1，……，n.X取值为k的概率为：n重伯努里试验成功的次数(k)(1)nknkPXppk