克拉默法则

§7克拉默法则★克拉默法则★利用克拉默法则解方程组★齐次线性方程组有非零解的充分必要条件下页关闭本节主要介绍n元一次线性方程组的克拉默法则解法，齐次或非齐次线性方程组中系数行列式与解之间的关系我们知道，二、三元线性方程组的解可以用行列式表示，那么含有n个未知数x1,x2,…,xn的n个线性方程的方程组)8(,,,,22112222212111212111nnnnnnnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa的解能否用行列式表示？回答是肯定的，即有上页下页返回如果线性方程组(8)的系数行列式不等于零，即,01111nnnnaaaaD那么方程(4)有唯一解)9(,,,,2211DDxDDxDDxnn其中Dj(j=1,2,…,n)是把系数行列式中第j列的元素用方程右端的自由项代替后所得到的n阶行列式，即克拉默法则上页下页返回证用D中第j列元素代数余子式A1j,A2j,…,Anj依次乘方程组(8)的n个方程，再把它们相加，得,111111nkkjknnkknknjnkkjkjnkkjkAbxAaxAaxAa上页下页返回.,,,,nnjnjnnnjjjaaaaaaaaD11111111111bnb当D≠0时，方程组(10)有唯一的一个解(9)。由于方程组(10)是由方程组(8)经乘数与相加两种运算而得，故(8)的解一定是(10)的解，今(10)仅有一个解(9)，故(8)如果有解的话，就只可能是解(9)。,111111nkkjknnkknknjnkkjkjnkkjkAbxAaxAaxAa根据代数余子式的重要性质可知，上式中xj的系数等于D，而其余xi(i≠j)的系数均为零;又等式右端即是Dj，于是Dxj=Dj,(j=1,2,…,n).(10)上页下页返回下面验证解(9)是方程组(8)的解。也就是要证明).,,2,1(,2211nibDDaDDaDDaininii为此考虑两行相同的n+1阶行列式),,,2,1(111111niaabaabaabnnnnninii它的值等于0，上页下页返回把它按第一行展开，由于第1行中aij的代数余子式为nnjnjnnnnjjjaaaabaaaab1,1,111,11,111111)1(,)1()1(12jjjjDD,011niniiDaDaDb所以有).,,2,1(,2211nibDDaDDaDDaininii即上页下页返回.0674,522,963,85243214324214321xxxxxxxxxxxxxx解系数行列式6741212060311512D例12解线性方程组上页下页返回6741212060311512D12770212060311357022421rrrr12772121357277010353222321cccc,0272733上页下页返回,8167402125603915181D,10867012150609115822D,2760412520693118123D,2707415120903185124D于是得.12727,12727,427108,3278144332211DDxDDxDDxDDx上页下页返回Ex.7解方程组,44,63,7232,232432143243214321xxxxxxxxxxxxxxx解系数行列式,0394111113023123121D上页下页返回,3941141136231731221D,11741411160237231212D,7844111630271232213D,3941116130731221214D于是得,13939,23978,339117,1393944332211DDxDDxDDxDDx上页下页返回定理4如果线性方程组(8)的系数行列式D≠0，则(8)一定有解，且解是唯一的。定理4ˊ如果线性方程组(8)无解，或有两个以上的解，则它的系数行列式必为0。线性方程组(8)右端的自由项b1,b2,…,bn不全为0时，线性方程组称为非齐次方程组，当b1,b2,…,bn全为0时，线性方程组称为齐次方程组。上页下页返回对于齐次线性方程组)11(,0,,0,0221122221211212111nnnnnnnnnxaxaxaxaxaxaxaxaxax1=x2=…=xn=0一定是它的解。称为齐次方程组(11)的零解。如果一组不全为零的数是(11)的解，则叫做齐次方程组的非零解。方程组(11)一定有零解，但不一定有非零解。上页下页返回定理5如果齐次线性方程组(11)的系数行列式D≠0，则齐次线性方程组(11)只有零解。定理5ˊ如果齐次线性方程组(11)有非零解，则它的系数行列式必为零。系数行列式D=0是齐次线性方程组有非零解的充分必要条件。上页下页返回问λ取何值时，齐次方程)12(0)4(2,0)6(2,022)5(zxyxzyx有非零解？例13解由定理5ˊ可知，若齐次线性方程组(12)有非零解，则(12)的系数行列式D=0。而它的系数行列式是：402062225D上页下页返回402062225D)6(4)4()4)(6)(5(),8)(2)(5(由D=0，得λ=2、λ=5或λ=8。不难验证，当λ=2、5或8时，方程组(12)确有非零解。上页下页返回Ex.8,问取何值时，齐次线性方程组,02,0,0321321321xxxxxxxxx有非零解？解由系数行列式1211111D21120)2(.20或得上页返回下页第一章小结本章从解二元一次线性方程组入手，引入了二、三阶行列式的概念，并给出了对角线法则的行列式求解方法，以此进一步扩展到n阶行列式的定义。为了求解一般的n阶行列式，我们研究了行列式的性质以及行列式按行（列）展开。通过这些性质，可以将一个n阶行列式转化成等价的对角行列式或上下三角形行列式，或者通过展开，将高阶的行列式转化成低阶的行列式，从而更易求解。最后，我们给出了求解n元一次线性方程组的克拉默法则，并且讨论了非齐次线性方程组的系数行列式与解的唯一性之间的关系以及齐次线性方程组非零解与系数行列式之间的关系。下页上页返回第一章主要方法一）四阶行列式的计算：1）利用行列式性质化为目标行列式计算；2）行列式按行（列）展开法则；二）阶行列式的计算：1）推递法：找出阶行列式的关系式；2）数学归纳法（已知等式）三）判断齐次线性方程组（方程个数等于未知量个数）有非零解：系数行列式是否不等于零；nn上页返回