云师堂,高考数学,2017一轮复习第二章第12讲

第12讲导数与函数的单调性第二章基本初等函数、导数及其应用栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提示典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第二章基本初等函数、导数及其应用函数的单调性在(a，b)内函数f(x)可导，f′(x)在(a，b)任意子区间内都不恒等于0.f′(x)≥0⇔f(x)在(a，b)上为________．f′(x)≤0⇔f(x)在(a，b)上为________．增函数减函数栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提示典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第二章基本初等函数、导数及其应用辨明导数与函数单调性的关系(1)f′(x)0(或0)是f(x)在(a，b)内单调递增(或递减)的充分不必要条件；(2)f′(x)≥0(或≤0)是f(x)在(a，b)内单调递增(或递减)的必要不充分条件．注意：由函数f(x)在区间[a，b]内单调递增(或递减)，可得f′(x)≥0(或≤0)在该区间恒成立，而不是f′(x)0(或0)恒成立，“＝”不能少．栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提示典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第二章基本初等函数、导数及其应用1．如图所示是函数f(x)的导函数f′(x)的图象，则下列判断中正确的是()A．函数f(x)在区间(－3，0)上是减函数B．函数f(x)在区间(－3，2)上是减函数C．函数f(x)在区间(0，2)上是减函数D．函数f(x)在区间(－3，2)上是单调函数A栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提示典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第二章基本初等函数、导数及其应用2．函数f(x)＝x3－3x＋1的单调增区间是()A．(－1，1)B．(－∞，1)C．(－1，＋∞)D．(－∞，－1)，(1，＋∞)D解析：f′(x)＝3x2－3.由f′(x)＞0得，x＜－1或x＞1.故单调增区间为(－∞，－1)，(1，＋∞)，故选D.栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提示典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第二章基本初等函数、导数及其应用3．已知函数f(x)＝xsinx，x∈R，则fπ5，f(1)，f－π3的大小关系为()A．f－π3f(1)fπ5B．f(1)f－π3fπ5C．fπ5f(1)f－π3D．f－π3fπ5f(1)A栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提示典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第二章基本初等函数、导数及其应用解析：因为f(x)＝x·sinx，所以f(－x)＝(－x)·sin(－x)＝xsinx＝f(x)．所以函数f(x)是偶函数，所以f－π3＝fπ3.又x∈0，π2时，得f′(x)＝sinx＋xcosx0，所以此时函数是增函数．所以fπ5f(1)fπ3.所以f－π3f(1)fπ5，故选A.栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提示典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第二章基本初等函数、导数及其应用4．(选修22P26练习T1(2)改编)函数f(x)＝ex－x的单调递增区间是___________．解析：因为f(x)＝ex－x，所以f′(x)＝ex－1，由f′(x)0，得ex－10，即x0.(0，＋∞)栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提示典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第二章基本初等函数、导数及其应用5．已知f(x)＝x3－ax在[1，＋∞)上是增函数，则实数a的最大值是________．解析：f′(x)＝3x2－a≥0，即a≤3x2，又因为x∈[1，＋∞)，所以a≤3，即a的最大值是3.3栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提示典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第二章基本初等函数、导数及其应用(2015·高考重庆卷)已知函数f(x)＝ax3＋x2(a∈R)在x＝－43处取得极值．(1)确定a的值；(2)若g(x)＝f(x)ex，讨论g(x)的单调性．考点一利用导数判断或证明函数的单调性栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提示典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第二章基本初等函数、导数及其应用[解](1)对f(x)求导得f′(x)＝3ax2＋2x，因为f(x)在x＝－43处取得极值，所以f′－43＝0，即3a·169＋2·－43＝16a3－83＝0，解得a＝12.栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提示典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第二章基本初等函数、导数及其应用(2)由(1)得g(x)＝12x3＋x2ex，故g′(x)＝32x2＋2xex＋12x3＋x2ex＝12x3＋52x2＋2xex＝12x(x＋1)(x＋4)ex.令g′(x)＝0，解得x＝0或x＝－1或x＝－4.当x＜－4时，g′(x)＜0，故g(x)为减函数；当－4＜x＜－1时，g′(x)＞0，故g(x)为增函数；当－1＜x＜0时，g′(x)＜0，故g(x)为减函数；当x＞0时，g′(x)＞0，故g(x)为增函数．综上知，g(x)在(－∞，－4)和(－1，0)内为减函数，在(－4，－1)和(0，＋∞)内为增函数．栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提示典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第二章基本初等函数、导数及其应用导数法证明函数f(x)在(a，b)内的单调性的步骤(1)求f′(x)；(2)确认f′(x)在(a，b)内的符号；(3)作出结论：f′(x)0时为增函数；f′(x)0时为减函数.栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提示典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第二章基本初等函数、导数及其应用1.已知函数f(x)＝ln（x＋1）x，x∈(－1，0)∪(0，＋∞)．判断函数f(x)的单调性．解：f′(x)＝xx＋1－ln（x＋1）x2，设g(x)＝xx＋1－ln(x＋1)，x－1，则g′(x)＝1（x＋1）2－1x＋1＝－x（x＋1）2，当x∈(－1，0)时，g′(x)0，g(x)为增函数；当x∈(0，＋∞)时，g′(x)0，g(x)为减函数．所以g(x)≤g(0)＝0，所以在x∈(－1，0)和(0，＋∞)时，f′(x)0，所以f(x)在区间(－1，0)，(0，＋∞)上为减函数．栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提示典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第二章基本初等函数、导数及其应用已知函数f(x)＝x4＋ax－lnx－32，其中a∈R，且曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线垂直于直线y＝12x.(1)求a的值；(2)求函数f(x)的单调区间．考点二求函数的单调区间[解](1)对f(x)求导得f′(x)＝14－ax2－1x，由f(x)在点(1，f(1))处的切线垂直于直线y＝12x，知f′(1)＝－34－a＝－2，解得a＝54.栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提示典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第二章基本初等函数、导数及其应用(2)由(1)知f(x)＝x4＋54x－lnx－32，则f′(x)＝x2－4x－54x2.令f′(x)＝0，解得x＝－1或x＝5.因为x＝－1不在f(x)的定义域(0，＋∞)内，故舍去．当x∈(0，5)时，f′(x)0，故f(x)在(0，5)内为减函数；当x∈(5，＋∞)时，f′(x)0，故f(x)在(5，＋∞)内为增函数．故函数f(x)的单调递增区间为(5，＋∞)，单调递减区间为(0，5)．栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提示典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第二章基本初等函数、导数及其应用导数法求函数单调区间的一般步骤(1)确定函数f(x)的定义域；(2)求导数f′(x)；(3)在函数f(x)的定义域内解不等式f′(x)0和f′(x)0；(4)根据(3)的结果确定函数f(x)的单调区间.栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提示典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第二章基本初等函数、导数及其应用2.(2015·高考四川卷节选)已知函数f(x)＝－2xlnx＋x2－2ax＋a2，其中a0.设g(x)是f(x)的导函数，讨论g(x)的单调性．解：由已知，函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，g(x)＝f′(x)＝2(x－1－lnx－a)，所以g′(x)＝2－2x＝2（x－1）x.当x∈(0，1)时，g′(x)0，g(x)单调递减；当x∈(1，＋∞)时，g′(x)0，g(x)单调递增．栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提示典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第二章基本初等函数、导数及其应用利用导数根据函数的单调性(区间)求参数的取值范围，是高考考查函数单调性的一个重要考向，常以解答题的形式出现．高考对函数单调性的考查主要有以下四个命题角度：(1)根据f(x)在区间A上单调递增(减)，求参数的取值范围；(2)根据f(x)在区间A上存在单调递增(减)区间，求参数的取值范围；(3)根据f(x)在区间A上为单调函数，求参数的取值范围；(4)根据f(x)在区间A上不单调，求参数的取值范围．考点三已知函数的单调性求参数的范围(高频考点)栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提示典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第二章基本初等函数、导数及其应用(1)(2014·高考课标全国卷Ⅱ)若函数f(x)＝kx－lnx在区间(1，＋∞)单调递增，则k的取值范围是()A．(－∞，－2]B．(－∞，－1]C．[2，＋∞)D．[1，＋∞)(2)已知函数g(x)＝13x3－12ax2＋2x.①若g(x)在(－2，－1)内为减函数，求实数a的取值范围；②若g(x)在区间(－2，－1)内不单调，求实数a的取值范围．D栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提示典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第二章基本初等函数、导数及其应用[解](1)选D.由于f′(x)＝k－1x，f(x)＝kx－lnx在区间(1，＋∞)单调递增⇔f′(x)＝k－1x≥0在(1，＋∞)上恒成立．由于k≥1x，而01x1，所以k≥1.即k的取值范围为[1，＋∞)．(2)①因为g′(x)＝x2－ax＋2，且g(x)在(－2，－1)内为减函数，所以g′(x)≤0，即x2－ax＋2≤0在(－2，－1)内恒成立，所以g′（－2）≤0，g′（－1）≤0，即4＋2a＋2≤0，1＋a＋2≤0，栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提示典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第二章基本初等函数、导数及其应用解之得a≤－3，即实数a的取值范围为(－∞，－3]．②因为g(x)在(－2，－1)内不单调，g′(x)＝x2－ax＋2，所以g′(－2)·g′(－1)0或－2a2－1，Δ0，g′（－2）0，g′（－1）0.由g′(－2)·g′(－1)0，得(6＋2a)·(3＋a)0，无解．栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提示典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第二章基本初等函数、导数及其应用由－2a2－1，Δ0，g′（－2）0，g′（－1）0，得－4a－2，a2－80，6＋2a0，3＋a0，即－4a－2，a22或a－22，a－3，解之得－3a－22，即实数a的取值范围为(－3，－22)．栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提示典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第二章基本初等函数、导数及其应用根据函数单调性确定参数范围的方法(1)利用集合间的包含关系处理：y＝f(x)在(a，b)上单调，则区间(a，b)是相应单调区间的子集．(2)转化为不等式的恒成立问题，即“若函数单调递增，则f′(x)≥0；若函数单调递减，则f′(x)≤0”来求解.栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提示典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第二章基本初等函数、导数及其应用3.(1)(2016·九江第一次统考)已知函数f(x)＝12x2＋2ax－lnx，若f(x)在区间13，2上是增函数，则实数a的取值范围为____________________．(2)设f(x)＝－13x3＋12x2＋2ax.若f(x)在23，＋∞上存在