云师堂,高考数学,2017一轮复习第二章第13讲

第13讲导数与函数的极值、最值及实际应用第二章基本初等函数、导数及其应用栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提示典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第二章基本初等函数、导数及其应用1．函数的极值函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0；而且在点x＝a附近的左侧________，右侧________，则点a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值．f′(x)＜0f′(x)＞0栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提示典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第二章基本初等函数、导数及其应用函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0；而且在点x＝b附近的左侧________，右侧________，则点b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值．极大值点、极小值点统称为极值点，极大值、极小值统称为极值．f′(x)＞0f′(x)＜0栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提示典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第二章基本初等函数、导数及其应用2．函数的最值(1)在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值．(2)若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则________为函数的最小值，________为函数的最大值；若函数f(x)在[a，b]上单调递减，则________为函数的最大值，________为函数的最小值．f(a)f(b)f(a)f(b)栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提示典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第二章基本初等函数、导数及其应用1．辨明两个易误点(1)求函数极值时，误把导数为0的点作为极值点；(2)易混极值与最值，注意函数最值是个“整体”概念，而极值是个“局部”概念．2．明确两个条件一是f′(x)0在(a，b)上成立，是f(x)在(a，b)上单调递增的充分不必要条件．二是对于可导函数f(x)，f′(x0)＝0是函数f(x)在x＝x0处有极值的必要不充分条件．栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提示典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第二章基本初等函数、导数及其应用1．(选修2­2P32习题1.3A组T4改编)函数f(x)的定义域为R，导函数f′(x)的图象如图所示，则函数f(x)()A．无极大值点、有四个极小值点B．有三个极大值点、一个极小值点C．有两个极大值点、两个极小值点D．有四个极大值点、无极小值点C栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提示典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第二章基本初等函数、导数及其应用解析：设f′(x)的图象与x轴的4个交点从左至右依次为x1、x2、x3、x4.当xx1时，f′(x)0，f(x)为增函数，当x1xx2时，f′(x)0，f(x)为减函数，则x＝x1为极大值点，同理，x＝x3为极大值点，x＝x2，x＝x4为极小值点，故选C.栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提示典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第二章基本初等函数、导数及其应用2．设函数f(x)＝xex，则()A．x＝1为f(x)的极大值点B．x＝1为f(x)的极小值点C．x＝－1为f(x)的极大值点D．x＝－1为f(x)的极小值点D解析：求导得f′(x)＝ex＋xex＝ex(x＋1)，令f′(x)＝ex(x＋1)＝0，解得x＝－1，易知x＝－1是函数f(x)的极小值点，所以选D.栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提示典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第二章基本初等函数、导数及其应用3．函数y＝lnx－x在x∈(0，e]上的最大值为()A．eB．1C．－1D．－eC解析：函数y＝lnx－x的定义域为(0，＋∞)，又y′＝1x－1＝1－xx，令y′＝0得x＝1，当x∈(0，1)时，y′0，函数单调递增；当x∈(1，e)时，y′0，函数单调递减．当x＝1时，函数取得最大值－1.栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提示典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第二章基本初等函数、导数及其应用4．(选修22P30例5改编)函数y＝2x3－2x2在区间[－1，2]上的最大值是________．解析：y′＝6x2－4x，令y′＝0，得x＝0或x＝23.因为f(－1)＝－4，f(0)＝0，f23＝－827，f(2)＝8.所以最大值为8.8栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提示典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第二章基本初等函数、导数及其应用解析：f′(x)＝ax＋2x－10，由f′(3)＝a3＋6－10＝0，得a＝12，经检验满足条件．5．已知x＝3是函数f(x)＝alnx＋x2－10x的一个极值点，则实数a＝________．12栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提示典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第二章基本初等函数、导数及其应用函数的极值是每年高考的热点，一般为中高档题，三种题型都有，高考对函数极值的考查主要有以下三个命题角度：(1)知图判断函数极值的情况；(2)已知函数解析式求极值；(3)已知函数极值求参数值．考点一函数的极值问题(高频考点)栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提示典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第二章基本初等函数、导数及其应用设函数f(x)＝ax3－2x2＋x＋c(a≥0)．(1)当a＝1，且函数图象过点(0，1)时，求函数的极小值；(2)若f(x)在(－∞，＋∞)上无极值点，求a的取值范围．栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提示典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第二章基本初等函数、导数及其应用[解]f′(x)＝3ax2－4x＋1.(1)函数图象过点(0，1)时，有f(0)＝c＝1.当a＝1时，f′(x)＝3x2－4x＋1，令f′(x)0，解得x13，或x1；令f′(x)0，解得13x1.所以函数f(x)在－∞，13和(1，＋∞)上单调递增；在13，1上单调递减，极小值是f(1)＝13－2×12＋1＋1＝1.栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提示典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第二章基本初等函数、导数及其应用(2)若f(x)在(－∞，＋∞)上无极值点，则f(x)在(－∞，＋∞)上是单调函数，即f′(x)≥0或f′(x)≤0恒成立．①当a＝0时，f′(x)＝－4x＋1，显然不满足条件；②当a0时，f′(x)≥0或f′(x)≤0恒成立的充要条件是Δ＝(－4)2－4×3a×1≤0，即16－12a≤0，解得a≥43.综上，a的取值范围为43，＋∞.栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提示典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第二章基本初等函数、导数及其应用运用导数求可导函数y＝f(x)的极值的步骤(1)先求函数的定义域，再求函数y＝f(x)的导数f′(x)；(2)求方程f′(x)＝0的根；(3)检查f′(x)在方程根的左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值，如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值．如果左右符号相同，则此根处不是极值点．栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提示典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第二章基本初等函数、导数及其应用1.(1)设函数f(x)＝2x＋lnx，则()A．x＝12为f(x)的极大值点B．x＝12为f(x)的极小值点C．x＝2为f(x)的极大值点D．x＝2为f(x)的极小值点(2)已知a，b是实数，1和－1是函数f(x)＝x3＋ax2＋bx的两个极值点．①求a和b的值；②设函数g(x)的导函数g′(x)＝f(x)＋2，求g(x)的极值点．D栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提示典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第二章基本初等函数、导数及其应用解：(1)选D.因为f(x)＝2x＋lnx，所以f′(x)＝－2x2＋1x(x0)，由f′(x)＝0得x＝2.当x∈(0，2)时，f′(x)0，f(x)为减函数；当x∈(2，＋∞)时，f′(x)0，f(x)为增函数．所以x＝2为f(x)的极小值点．栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提示典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第二章基本初等函数、导数及其应用(2)①由题设知f′(x)＝3x2＋2ax＋b，且f′(－1)＝3－2a＋b＝0，f′(1)＝3＋2a＋b＝0，解得a＝0，b＝－3.将a＝0，b＝－3代入检验知符合题意．②由①知f(x)＝x3－3x.因为f(x)＋2＝(x－1)2(x＋2)，所以g′(x)＝0的根为x1＝x2＝1，x3＝－2，于是函数g(x)的极值点只可能是x＝1或x＝－2.当x－2时，g′(x)0；当－2x1时，g′(x)0，故x＝－2是g(x)的极小值点．当－2x1或x1时，g′(x)0，故x＝1不是g(x)的极值点．所以g(x)的极小值点为x＝－2，无极大值点．栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提示典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第二章基本初等函数、导数及其应用(2016·大连双基测试)已知函数f(x)＝x－eax(a0)．(1)求函数f(x)的单调区间；(2)求函数f(x)在1a，2a上的最大值．考点二函数的最值问题栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提示典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第二章基本初等函数、导数及其应用[解](1)f(x)＝x－eax(a0)，则f′(x)＝1－aeax，令f′(x)＝1－aeax＝0，则x＝1aln1a.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x－∞，1aln1a1aln1a1aln1a，＋∞f′(x)＋0－f(x)↗极大值↘故函数f(x)的增区间为－∞，1aln1a；减区间为1aln1a，＋∞.栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提示典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第二章基本初等函数、导数及其应用(2)当1aln1a≥2a，即0a≤1e2时，f(x)max＝f2a＝2a－e2，当1a1aln1a2a，即1e2a1e时，f(x)max＝f1aln1a＝1aln1a－1a，当1aln1a≤1a，即a≥1e时，f(x)max＝f1a＝1a－e.栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提示典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第二章基本初等函数、导数及其应用求函数f(x)在[a，b]上的最大值和最小值的步骤(1)求函数在(a，b)内的极值；(2)求函数在区间端点处的函数值f(a)，f(b)；(3)将函数f(x)的各极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值．栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提示典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第二章基本初等函数、导数及其应用2.设函数f(x)＝alnx－bx2(x0)，若函数f(x)在x＝1处与直线y＝－12相切．(1)求实数a，b的值；(2)求函数f(x)在1e，e上的最大值．解：(1)f′(x)＝ax－2bx，因为函数f(x)在x＝1处与直线y＝－12相切，所以f′（1）＝a－2b＝0，f（1）＝－b＝－12，解得a＝1，b＝12.栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提示典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第二章基本初等函数、导数及其应用(2)f(x)＝lnx－12x2，f′(x)＝1x－x＝1－x2x，因为当1e≤x≤e时，令f′(x)0，得1e≤x1；令f′(x)0，得1x≤e，所以f(x)在1e，1上单调递增，在[1，e]上单调递减，所以f(x)max＝f(1)＝－12.栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提示典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第二章基本初等函数、导数及其应用某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度)．设该蓄水池的底面半径为r米，高为h米，体积为V立方米．假设建造成本仅与表面积有关，侧面的建造成本为100元/平方米，底面的建造成本为160元/平方米，该蓄水池的总建造成本为12000π元(π为圆周率)．(1)将V表示成r的函